Принцип Гюйгенса-Френеля

Метод анализа

Преломление волн по Гюйгенсу

Дифракция волн по Гюйгенсу и Френелю

Принцип Гюйгенса-Френеля (названный в честь голландского физика Христиана Гюйгенса и французского физика Огюстена-Жана Френеля ) утверждает, что каждая точка на волновом фронте сама по себе является источником сферических вейвлетов, а вторичные вейвлеты, исходящие из разных точек, взаимно интерферируют. ^[1] Сумма этих сферических вейвлетов образует новый волновой фронт. Таким образом, принцип Гюйгенса-Френеля является методом анализа, применяемым к проблемам распространения световых волн как в пределе дальней зоны , так и в пределе дифракции и отражения в ближней зоне .

История

Дифракция плоской волны, когда ширина щели равна длине волны

В 1678 году Гюйгенс предположил, что каждая точка, достигаемая световым возмущением, становится источником сферической волны; сумма этих вторичных волн определяет форму волны в любой последующий момент времени. ^[2] Он предположил, что вторичные волны распространяются только в «прямом» направлении, и в теории не объясняется, почему это так. Он смог дать качественное объяснение линейному и сферическому распространению волн и вывести законы отражения и преломления, используя этот принцип, но не смог объяснить отклонения от прямолинейного распространения, которые возникают, когда свет сталкивается с краями, отверстиями и экранами, обычно известные как эффекты дифракции . ^[3] Разрешение этой ошибки было окончательно объяснено Дэвидом А. Б. Миллером в 1991 году. ^[4] Разрешение заключается в том, что источником является диполь (а не монополь, предполагаемый Гюйгенсом), который нейтрализует в отраженном направлении.

В 1818 году Френель ^[5] показал, что принцип Гюйгенса, вместе с его собственным принципом интерференции , может объяснить как прямолинейное распространение света, так и дифракционные эффекты. Чтобы получить согласие с экспериментальными результатами, ему пришлось включить дополнительные произвольные предположения о фазе и амплитуде вторичных волн, а также фактор наклона. Эти предположения не имеют очевидного физического обоснования, но привели к предсказаниям, которые согласуются со многими экспериментальными наблюдениями, включая пятно Пуассона .

Пуассон был членом Французской академии, которая рассматривала работу Френеля. ^[6] Он использовал теорию Френеля, чтобы предсказать, что яркое пятно должно появиться в центре тени небольшого диска, и сделал из этого вывод, что теория неверна. Однако Араго, другой член комитета, провел эксперимент и показал, что предсказание было верным . (Лайл наблюдал это пятьдесят лет назад. ^{[3] [ сомнительно – обсудить ]} ) Это было одно из исследований, которое привело к победе волновой теории света над господствовавшей тогда корпускулярной теорией .

В теории и технике антенн переформулировка принципа Гюйгенса-Френеля для излучающих источников тока известна как принцип эквивалентности поверхностей . ^{[7] [8]}

Принцип Гюйгенса как микроскопическая модель

Принцип Гюйгенса-Френеля обеспечивает разумную основу для понимания и предсказания классического распространения волн света. Однако существуют ограничения этого принципа, а именно те же приближения, которые были сделаны для вывода формулы дифракции Кирхгофа , и приближения ближнего поля Френеля. Их можно суммировать в том факте, что длина волны света намного меньше размеров любых встречающихся оптических компонентов. ^[6]

Формула дифракции Кирхгофа обеспечивает строгую математическую основу для дифракции, основанную на волновом уравнении. Произвольные предположения, сделанные Френелем для получения уравнения Гюйгенса–Френеля, автоматически возникают из математики в этом выводе. ^[9]

Простой пример действия принципа можно увидеть, когда открытая дверь соединяет две комнаты, и звук возникает в дальнем углу одной из них. Человек в другой комнате услышит звук, как будто он исходит из дверного проема. Что касается второй комнаты, то источником звука является вибрирующий воздух в дверном проеме.

Современные физические интерпретации

Не все эксперты согласны с тем, что принцип Гюйгенса является точным микроскопическим представлением реальности. Например, Мелвин Шварц утверждал, что «принцип Гюйгенса на самом деле дает правильный ответ, но по неправильным причинам». ^[1]

Это можно выразить следующими фактами:

• Микроскопическая механика создания и испускания фотонов, в общем, по сути, представляет собой ускорение электронов. ^[1]
• Первоначальный анализ Гюйгенса ^[10] рассматривал только волновые фронты с одинаковой частотой, фазой и скоростью распространения и, следовательно, не мог должным образом учитывать такие эффекты, как интерференция или дисперсия .
• Первоначальный принцип Гюйгенса также не учитывает поляризацию света, которая потребовала бы векторного потенциала, в отличие от скалярного потенциала простой океанской волны или звуковой волны ^[11] , и, следовательно, не может учитывать такие эффекты, как двойное лучепреломление .
• В описании Гюйгенса нет объяснения, почему мы выбираем только идущую вперед ( запаздывающую волну или прямую огибающую волновых фронтов) по сравнению с распространяющейся назад опережающей волной (обратную огибающую). ^[11]
• В приближении Френеля существует концепция нелокального поведения, обусловленного суммой сферических волн с различными фазами, которые исходят из разных точек волнового фронта, а нелокальные теории являются предметом многочисленных дискуссий (например, не являются ковариантными Лоренцу ) и активных исследований. ^{[ необходима ссылка ]}
• Приближение Френеля можно интерпретировать квантово-вероятностным образом, но неясно, в какой степени эта сумма состояний (т. е. вейвлетов на волновом фронте) представляет собой полный список состояний , имеющих физический смысл, или представляет собой скорее приближение на общей основе , как в методе линейной комбинации атомных орбиталей (ЛКАО).

Принцип Гюйгенса по существу совместим с квантовой теорией поля в приближении дальнего поля , рассматривая эффективные поля в центре рассеяния, рассматривая малые возмущения , и в том же смысле, в котором квантовая оптика совместима с классической оптикой , другие интерпретации являются предметом дискуссий и активных исследований.

Модель Фейнмана, в которой каждая точка воображаемого волнового фронта размером с комнату генерирует вейвлет, также должна интерпретироваться в этих приближениях ^[12] и в вероятностном контексте; в этом контексте удаленные точки могут вносить лишь минимальный вклад в общую амплитуду вероятности.

Квантовая теория поля не включает в себя какую-либо микроскопическую модель создания фотона, а концепция отдельного фотона также подвергается тщательному изучению на теоретическом уровне.

Математическое выражение принципа

Геометрическая схема для расчета Френеля

Рассмотрим случай точечного источника, расположенного в точке P ₀ , вибрирующего с частотой f . Возмущение может быть описано комплексной переменной U _{0 ,} известной как комплексная амплитуда . Она создает сферическую волну с длиной волны λ, волновое число k = 2 π / λ . В пределах константы пропорциональности комплексная амплитуда первичной волны в точке Q , расположенной на расстоянии r ₀ от P _{0 ,} равна:

${\displaystyle U(r_{0})\propto {\frac {U_{0}e^{ikr_{0}}}{r_{0}}}.}$

Обратите внимание, что величина уменьшается обратно пропорционально пройденному расстоянию, а фаза изменяется пропорционально пройденному расстоянию, умноженному на k .

Используя теорию Гюйгенса и принцип суперпозиции волн, комплексная амплитуда в дальнейшей точке P находится путем суммирования вклада от каждой точки на сфере радиусом r ₀ . Чтобы получить согласие с экспериментальными результатами, Френель обнаружил, что отдельные вклады от вторичных волн на сфере должны быть умножены на константу, − i /λ, и на дополнительный коэффициент наклона, K (χ). Первое предположение означает, что вторичные волны колеблются на четверть цикла вне фазы относительно первичной волны и что величина вторичных волн находится в соотношении 1:λ к первичной волне. Он также предположил, что K (χ) имеет максимальное значение, когда χ = 0, и равна нулю, когда χ = π/2, где χ - угол между нормалью первичного волнового фронта и нормалью вторичного волнового фронта. Комплексная амплитуда в P , обусловленная вкладом вторичных волн, тогда определяется как: ^[13]

${\displaystyle U(P)=-{\frac {i}{\lambda }}U(r_{0})\int _{S}{\frac {e^{iks}}{s}}K(\chi )\,dS}$

где S описывает поверхность сферы, а s — расстояние между Q и P.

Френель использовал метод построения зон для нахождения приблизительных значений K для различных зон, ^[6] , что позволило ему делать предсказания, которые согласуются с экспериментальными результатами. Интегральная теорема Кирхгофа включает в себя основную идею принципа Гюйгенса–Френеля. Кирхгоф показал, что во многих случаях теорему можно аппроксимировать к более простой форме, которая эквивалентна формированию формулировки Френеля. ^[6]

Для апертурного освещения, состоящего из одной расширяющейся сферической волны, если радиус кривизны волны достаточно велик, Кирхгоф дал следующее выражение для K (χ): ^[6]

${\displaystyle ~K(\chi )={\frac {1}{2}}(1+\cos \chi )}$

K имеет максимальное значение при χ = 0, как в принципе Гюйгенса–Френеля; однако K равен нулю не при χ = π/2, а при χ = π.

Вышеприведенный вывод K (χ) предполагал, что дифрагирующая апертура освещается одной сферической волной с достаточно большим радиусом кривизны. Однако этот принцип справедлив и для более общих освещений. ^[13] Произвольное освещение можно разложить на набор точечных источников, и линейность волнового уравнения может быть использована для применения принципа к каждому точечному источнику в отдельности. K (χ) можно в общем случае выразить как: ^[13]

${\displaystyle ~K(\chi )=\cos \chi }$

В этом случае K удовлетворяет условиям, указанным выше (максимальное значение при χ = 0 и ноль при χ = π/2).

Обобщенный принцип Гюйгенса

Во многих книгах и справочниках, например (Greiner, 2002) ^[14] и (Enders, 2009) ^[15] , упоминается обобщенный принцип Гюйгенса, используя определение, данное в ( Feynman , 1948). ^[16]

Фейнман определяет обобщенный принцип следующим образом:

«На самом деле принцип Гюйгенса неверен в оптике. Он заменен модификацией Кирхгофа [sic], которая требует, чтобы и амплитуда, и ее производная были известны на прилегающей поверхности. Это является следствием того факта, что волновое уравнение в оптике имеет второй порядок по времени. Волновое уравнение квантовой механики имеет первый порядок по времени; следовательно, принцип Гюйгенса верен для волн материи, действие заменяет время».

Это проясняет тот факт, что в этом контексте обобщенный принцип отражает линейность квантовой механики и тот факт, что уравнения квантовой механики являются уравнениями первого порядка по времени. Наконец, только в этом случае принцип суперпозиции применяется полностью, т. е. волновая функция в точке P может быть разложена как суперпозиция волн на граничной поверхности, охватывающей P. Волновые функции могут быть интерпретированы в обычном квантово-механическом смысле как плотности вероятности, где применяется формализм функций Грина и пропагаторов . Примечательно, что этот обобщенный принцип применим для «волн материи», а не для световых волн. Фазовый фактор теперь проясняется как заданный действием, и больше нет путаницы, почему фазы вейвлетов отличаются от фазы исходной волны и изменены дополнительными параметрами Френеля.

Согласно Грейнеру ^[14], обобщенный принцип можно выразить в виде: ${\displaystyle t'>t}$

${\displaystyle \psi '(\mathbf {x} ',t')=i\int d^{3}x\,G(\mathbf {x} ',t';\mathbf {x} ,t)\psi (\mathbf {x} ,t)}$

где G — обычная функция Грина, которая распространяет во времени волновую функцию . Это описание напоминает и обобщает исходную формулу Френеля классической модели. ${\displaystyle \psi }$

Теория Гюйгенса, интеграл Фейнмана по траекториям и современная волновая функция фотона

Теория Гюйгенса послужила фундаментальным объяснением волновой природы интерференции света и была далее развита Френелем и Янгом, но не полностью разрешила все наблюдения, такие как эксперимент с низкой интенсивностью и двумя щелями, впервые проведенный Г. И. Тейлором в 1909 году. Только в начале и середине 1900-х годов начались дискуссии по квантовой теории, особенно ранние дискуссии на Брюссельской Сольвеевской конференции 1927 года , где Луи де Бройль предложил свою гипотезу де Бройля о том, что фотон управляется волновой функцией. ^[17]

Волновая функция представляет собой совершенно иное объяснение наблюдаемых светлых и темных полос в эксперименте с двумя щелями. В этой концепции фотон следует по пути, который является вероятностным выбором одного из многих возможных путей в электромагнитном поле. Эти вероятные пути формируют картину: в темных областях фотоны не приземляются, а в ярких областях приземляются многие фотоны. Набор возможных путей фотонов согласуется с теорией интегралов по траекториям Ричарда Фейнмана, пути определяются окружением: исходной точкой фотона (атомом), щелью и экраном, а также отслеживанием и суммированием фаз. Волновая функция является решением этой геометрии. Подход волновой функции был дополнительно поддержан дополнительными экспериментами с двумя щелями в Италии и Японии в 1970-х и 1980-х годах с электронами. ^[18]

Принцип Гюйгенса и квантовая теория поля

Принцип Гюйгенса можно рассматривать как следствие однородности пространства — пространство однородно во всех местах. ^[19] Любое возмущение, созданное в достаточно малой области однородного пространства (или в однородной среде), распространяется из этой области во всех геодезических направлениях. Волны, созданные этим возмущением, в свою очередь, создают возмущения в других областях и так далее. Суперпозиция всех волн приводит к наблюдаемой картине распространения волн.

Однородность пространства является основополагающей для квантовой теории поля (КТП), где волновая функция любого объекта распространяется по всем доступным беспрепятственным путям. При интегрировании по всем возможным путям с фазовым множителем, пропорциональным действию , интерференция волновых функций правильно предсказывает наблюдаемые явления. Каждая точка на волновом фронте действует как источник вторичных вейвлетов, которые распространяются в световом конусе с той же скоростью, что и волна. Новый волновой фронт находится путем построения поверхности, касательной к вторичным вейвлетам.

В других пространственных измерениях

В 1900 году Жак Адамар заметил, что принцип Гюйгенса нарушается, когда число пространственных измерений четное. ^{[20] [21] [22]} Исходя из этого, он разработал ряд гипотез, которые остаются активной темой исследований. ^{[23] [24]} В частности, было обнаружено, что принцип Гюйгенса справедлив для большого класса однородных пространств, полученных из группы Кокстера (например, группы Вейля простых алгебр Ли ). ^{[19] [25]}

Традиционная формулировка принципа Гюйгенса для Д'Аламбера приводит к иерархии КдФ ; аналогично, оператор Дирака приводит к иерархии АКНС . ^{[26] [27]}

Смотрите также

• дифракция Фраунгофера
• Формула дифракции Кирхгофа
• Функция Грина
• Теорема Грина
• Личности Грина
• Картина дифракции в ближнем поле
• Эксперимент с двумя щелями
• Эффект лезвия ножа
• принцип Ферма
• Фурье-оптика
• Принцип эквивалентности поверхностей
• Синтез волнового поля
• Интегральная теорема Кирхгофа

Ссылки

1. "Принцип Гюйгенса". MathPages . Получено 2017-10-03 .
2. Chr. Huygens, Traité de la Lumière (составлено в 1678 г.; опубликовано в Лейдене Ван дер Аа в 1690 г.), переведено Сильванусом П. Томпсоном как Treatise on Light (Лондон: Macmillan, 1912; издание Project Gutenberg, 2005 г.), стр. 19.
3. Heavens, OS; Ditchburn, RW (1987). Взгляд в оптику . Чичестер: Wiley & Sons. ISBN 0-471-92769-4.
4. Миллер, Дэвид АБ (1991). «Исправленный принцип распространения волн Гюйгенса». Optics Letters . 16 (18): 1370–1372. Bibcode : 1991OptL...16.1370M. doi : 10.1364/OL.16.001370. PMID  19776972. S2CID  16872264.
5. A. Fresnel, «Mémoire sur la diffraction de la lumière» (депонировано в 1818 г., «короновано» в 1819 г.), в Oeuvres complètes (Париж: Imprimerie impériale, 1866–70), т. 1, стр. 247–363; частично переведено как «Премия Френеля о дифракции света», в H. Crew (ред.), The Wave Theory of Light: Memoirs by Huygens, Young and Fresnel , American Book Co., 1900, стр. 81–144. (Не путать с более ранней работой с тем же названием в Annales de Chimie et de Physique , 1:238–81, 1816.)
6. Борн, Макс ; Вольф, Эмиль (1999). Принципы оптики . Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-64222-4.
7. Баланис, Константин А. (2012). Advanced Engineering Electromagnetics . John Wiley & Sons. стр. 328–331. ISBN 978-0-470-58948-9.
8. Баланис, Константин А. (2005). Теория антенн: анализ и проектирование (3-е изд.). John Wiley and Sons. стр. 333. ISBN 047166782X.
9. Кляйн, М.В.; Фуртак, Т.Э. (1986). Оптика (2-е изд.). Нью-Йорк: Джон Уайли и сыновья. ISBN 0-471-84311-3.
10. "Гюйгенс". Archive.org . Получено 2020-07-02 .
11. "TheoryOfHuygens". Archive.org . 1939.
12. «Лос-Аламосская наука». 2002.
13. J. Goodman (2005). Введение в Фурье-оптику (3-е изд.). Roberts & Co Publishers. ISBN 978-0-9747077-2-3.
14. Greiner W. Квантовая электродинамика . Springer, 2002.
15. Эндерс, Питер (2009). «Принцип Гюйгенса как универсальная модель распространения» (PDF) . Латиноамериканский журнал физического образования . 3 (1): 19–32.
16. Фейнман, РП (1 апреля 1948 г.). «Пространственно-временной подход к нерелятивистской квантовой механике». Reviews of Modern Physics . 20 (2): 367–387. Bibcode : 1948RvMP...20..367F. doi : 10.1103/RevModPhys.20.367.
17. Багготт, Джим (2011). Квантовая история . Oxford Press. стр. 116. ISBN 978-0-19-965597-7.
18. Питер, Роджерс (сентябрь 2002 г.). «Эксперимент с двумя щелями». www.physicsworld.com . Physics World . Получено 10 сентября 2018 г. .
19. Веселов, Александр П. (1995). "Принцип Гюйгенса и интегрируемые системы". Physica D: Nonlinear Phenomena . 87 (1–4): 9–13. Bibcode :1995PhyD...87....9V. doi :10.1016/0167-2789(95)00166-2.
20. Веселов, Александр П. (2002). "Принцип Гюйгенса" (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 2016-02-21.
21. "Волновое уравнение в высших измерениях" (PDF) . Заметки по классу математики 220a . Стэнфордский университет.
22. Бельгер, М.; Шимминг, Р.; Вюнш, В. (1997). «Обзор принципа Гюйгенса». Zeitschrift für Analysis und ihre Anwendungen . 16 (1): 9–36. дои : 10.4171/ZAA/747 .
23. Асгейрссон, Лейфур (1956). «Некоторые намеки на принцип Гюйгенса и гипотезу Адамара». Сообщения по чистой и прикладной математике . 9 (3): 307–326. doi :10.1002/cpa.3160090304.
24. Гюнтер, Пауль (1991). «Принцип Гюйгенса и гипотеза Адамара». The Mathematical Intelligencer . 13 (2): 56–63. doi :10.1007/BF03024088. S2CID  120446795.
25. Берест, Ю. Ю.; Веселов, А. П. (1994). «Проблема Адамара и группы Кокстера: Новые примеры уравнений Гюйгенса». Функциональный анализ и его приложения . 28 (1): 3–12. doi :10.1007/BF01079005. S2CID  121842251.
26. Chalub, Fabio ACC; Zubelli, Jorge P. (2006). «Принцип Гюйгенса для гиперболических операторов и интегрируемых иерархий». Physica D: Nonlinear Phenomena . 213 (2): 231–245. Bibcode :2006PhyD..213..231C. doi :10.1016/j.physd.2005.11.008.
27. Берест, Юрий Ю.; Луценко, Игорь М. (1997). «Принцип Гюйгенса в пространствах Минковского и солитонные решения уравнения Кортевега-де Фриза». Связь в математической физике . 190 (1): 113–132. arXiv : Solv-int/9704012 . Бибкод : 1997CMaPh.190..113B. дои : 10.1007/s002200050235. S2CID  14271642.

Дальнейшее чтение

• Страттон, Джулиус Адамс: Электромагнитная теория , McGraw-Hill, 1941. (Переиздано Wiley – IEEE Press, ISBN 978-0-470-13153-4 ). 
• Б. Б. Бейкер и Э. Т. Копсон, Математическая теория принципа Гюйгенса , Оксфорд, 1939, 1950; AMS Chelsea, 1987.