Мнимое число

Квадратный корень из неположительного действительного числа

Мнимое число — это произведение действительного числа и мнимой единицы i , ^{[примечание 1]} которое определяется его свойством i ² = −1 . ^{[1] [2]} Квадрат мнимого числа bi равен − b ² . Например, 5 i — мнимое число, а его квадрат равен −25 . Число ноль считается как действительным, так и мнимым. ^[3 ]

Первоначально введенное в употребление в XVII веке Рене Декартом ^[4] как уничижительный термин и считавшееся вымышленным или бесполезным, это понятие получило широкое распространение после работ Леонарда Эйлера (в XVIII веке), Огюстена-Луи Коши и Карла Фридриха Гаусса (в начале XIX века).

Мнимое число bi можно прибавить к действительному числу a, чтобы получить комплексное число вида a + bi , где действительные числа a и b называются соответственно действительной и мнимой частью комплексного числа. ^[5]

История

Иллюстрация комплексной плоскости. Мнимые числа находятся на вертикальной оси координат.

Хотя греческий математик и инженер Герон Александрийский считается первым, кто представил расчет, включающий квадратный корень из отрицательного числа, ^{[6] [7]} именно Рафаэль Бомбелли первым установил правила умножения комплексных чисел в 1572 году. Эта концепция появилась в печати ранее, например, в работе Джероламо Кардано . В то время мнимые числа и отрицательные числа были плохо поняты и считались некоторыми фиктивными или бесполезными, как когда-то ноль. Многие другие математики не спешили принимать использование мнимых чисел, включая Рене Декарта , который писал о них в своей La Géométrie , в которой он ввел термин «мнимый» и имел в виду его уничижительный смысл. ^{[8] [9]} Использование мнимых чисел не было широко принято до работ Леонарда Эйлера (1707–1783) и Карла Фридриха Гаусса (1777–1855). Геометрическое значение комплексных чисел как точек на плоскости впервые описал Каспар Вессель (1745–1818). ^[10]

В 1843 году Уильям Роуэн Гамильтон распространил идею оси мнимых чисел на плоскости на четырехмерное пространство кватернионных мнимых чисел , в котором три измерения аналогичны мнимым числам в комплексном поле.

Геометрическая интерпретация

Повороты на 90 градусов в комплексной плоскости

Геометрически мнимые числа находятся на вертикальной оси комплексной числовой плоскости , что позволяет представлять их перпендикулярно действительной оси. Один из способов рассмотрения мнимых чисел — рассмотреть стандартную числовую прямую, положительно увеличивающуюся по величине вправо и отрицательно увеличивающуюся по величине влево. В точке 0 на оси x можно провести ось y с «положительным» направлением, идущим вверх; «положительные» мнимые числа затем увеличиваются по величине вверх, а «отрицательные» мнимые числа увеличиваются по величине вниз. Эту вертикальную ось часто называют «мнимой осью» ^[11] и обозначают или ℑ . ^[12] ${\displaystyle i\mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {I} ,}$

В этом представлении умножение на  i соответствует повороту против часовой стрелки на 90 градусов вокруг начала координат, что составляет четверть круга. Умножение на  − i соответствует повороту по часовой стрелке на 90 градусов вокруг начала координат. Аналогично, умножение на чисто мнимое число bi , где b — действительное число, вызывает поворот против часовой стрелки вокруг начала координат на 90 градусов и масштабирует ответ на коэффициент b . Когда b < 0 , это можно вместо этого описать как поворот по часовой стрелке на 90 градусов и масштабирование на | b | . ^[13]

Квадратные корни отрицательных чисел

Необходимо соблюдать осторожность при работе с мнимыми числами, которые выражаются как главные значения квадратных корней отрицательных чисел . [ ^14] Например, если x и y являются положительными действительными числами, следующая цепочка равенств на первый взгляд кажется разумной:

${\displaystyle \textstyle {\sqrt {x\cdot y{\vphantom {t}}}}={\sqrt {(-x)\cdot (-y)}}\mathrel {\stackrel {\text{ (fallacy) }}{=}} {\sqrt {-x{\vphantom {ty}}}}\cdot {\sqrt {-y{\vphantom {ty}}}}=i{\sqrt {x{\vphantom {ty}}}}\cdot i{\sqrt {y{\vphantom {ty}}}}=-{\sqrt {x\cdot y{\vphantom {ty}}}}\,.}$

Но результат — явная бессмыслица. Шаг, где квадратный корень был разбит на части, был незаконным. (См. Математическая ошибка .)

Смотрите также

• −1
• Двойное число
• Раздельно-комплексное число

Примечания

1. j обычно используется в инженерном контексте, где i имеет другие значения (например, электрический ток)

Ссылки

1. Уно Ингард, К. (1988). "Глава 2". Основы волн и колебаний . Cambridge University Press. стр. 38. ISBN 0-521-33957-X.
2. Weisstein, Eric W. "Imaginary Number". mathworld.wolfram.com . Получено 10 августа 2020 г.
3. Синха, К. С. (2008). Учебник математики для XI класса (второе издание). Rastogi Publications. стр. 11.2. ISBN 978-81-7133-912-9.
4. Джаквинта, Мариано; Модика, Джузеппе (2004). Математический анализ: аппроксимация и дискретные процессы (иллюстрированное издание). Springer Science & Business Media. стр. 121. ISBN 978-0-8176-4337-9.Выдержка из страницы 121
5. Ауфманн, Ричард; Баркер, Вернон С.; Нейшн, Ричард (2009). College Algebra: Enhanced Edition (6-е изд.). Cengage Learning. стр. 66. ISBN 978-1-4390-4379-0.
6. Харгиттай, Иштван (1992). Пятикратная симметрия (2-е изд.). Всемирная научная. п. 153. ИСБН 981-02-0600-3.
7. Рой, Стивен Кэмпбелл (2007). Комплексные числа: моделирование решетки и приложения дзета-функции. Хорвуд. стр. 1. ISBN 978-1-904275-25-1.
8. Декарт, Рене , Discours de la méthode (Лейден, (Нидерланды): Ян Мэр, 1637), прилагаемая книга: La Géométrie , книга третья, стр. 380. Со страницы 380: «Au reste tant les vrayes racines que les fausses ne sont pas tousjours reelles; mais quelquefois seulement imaginaires; c'est a dire qu'on peut bien tousjours en Imagineer autant que jay dit en chasque Equation; mais qu 'il n'y a quelquefois aucune quantité, который соответствует клеткам, которые представляют себе, comme encore qu'on en puisse Imaginer trois en celle cy, x ³ – 6xx + 13x – 10 = 0, il n'y en a toutefois qu'une reelle, qui est 2, и pour les deux autres, qu'on les augmente, ou diminue, ou multiplie en la façon que je viens d'expliquer, on ne sçauroit les rendre autres qu'imaginaires." (Более того, истинные корни, как и ложные [корни], не всегда являются действительными; но иногда только мнимыми [величинами]; то есть, всегда можно представить себе столько из них в каждом уравнении, сколько я сказал; но иногда нет количества, которое соответствовало бы тому, что мы воображаем, так же как хотя можно представить себе три из них в этом [уравнении], x ³ – 6xx + 13x – 10 = 0, однако только одно из них является действительным, а именно 2, а что касается двух других, хотя можно увеличить, уменьшить или умножить их таким образом, как я только что объяснил, это не позволит (чтобы сделать их отличными от воображаемых [величин].)
9. Мартинес, Альберт А. (2006), Отрицательная математика: как математические правила могут быть сложены в положительную форму , Принстон: Princeton University Press, ISBN 0-691-12309-8, обсуждает неоднозначность смысла воображаемых выражений в историческом контексте.
10. Розенфельд, Борис Абрамович (1988). "Глава 10". История неевклидовой геометрии: эволюция концепции геометрического пространства . Springer. стр. 382. ISBN 0-387-96458-4.
11. фон Майер, Александра (2006). Электроэнергетические системы – Концептуальное введение. John Wiley & Sons . С. 61–62. ISBN 0-471-17859-4. Получено 13.01.2022 .
12. Уэбб, Стивен (2018). "5. Бессмысленные знаки на бумаге". Столкновение символов – поездка сквозь богатства глифов . Springer Science+Business Media . стр. 204–205. doi :10.1007/978-3-319-71350-2_5. ISBN 978-3-319-71350-2.
13. Kuipers, JB (1999). Кватернионы и последовательности вращения: учебник с приложениями к орбитам, аэрокосмической отрасли и виртуальной реальности. Princeton University Press . стр. 10–11. ISBN 0-691-10298-8. Получено 13.01.2022 .
14. Нахин, Пол Дж. (2010). Воображаемая история: история «i» [квадратный корень из минус одного]. Princeton University Press. стр. 12. ISBN 978-1-4008-3029-9.Выдержка из страницы 12

Библиография

• Нахин, Пол (1998). Воображаемая сказка: история квадратного корня из −1 . Принстон: Издательство Принстонского университета. ISBN 0-691-02795-1., объясняет многие применения воображаемых выражений.

Внешние ссылки

• Как можно доказать, что мнимые числа действительно существуют? – статья, в которой обсуждается существование мнимых чисел.
• 5Программа номеров 4 Программа BBC Radio 4
• Зачем использовать мнимые числа? Архивировано 25.08.2019 в Wayback Machine Базовое объяснение и использование мнимых чисел