Заболеваемость (геометрия)

В геометрии отношение инцидентности — это гетерогенное отношение , которое фиксирует идею, выражаемую при использовании таких фраз, как «точка лежит на прямой» или «линия содержится в плоскости». Самым основным отношением инцидентности является отношение между точкой $P$ и линией $l$ , иногда обозначаемой $P$ $I$ $l$ . Если $P$ $I$ $l,$ пара $($ $P$ $,$ $l$ $)$ называется флагом . В обычном языке используется множество выражений для описания падения (например, линия проходит через точку, точка лежит в плоскости и т. д.), но термин «падение» предпочтительнее, поскольку он не имеет дополнительных коннотаций, которые эти термины имеют. есть и в других терминах, и его можно использовать симметрично. Такие утверждения, как «прямая $l$ $1$ пересекает прямую $l$ $2$ », также являются утверждениями об отношениях инцидентности, но в данном случае это потому, что это сокращенный способ сказать, что «существует точка $P$ , которая инцидентна как прямой l 1, так и прямой $l$ $1$ и прямой l 2». линия $л$ $2$ ". Когда один тип объекта можно рассматривать как набор объектов другого типа ( а именно , плоскость — это набор точек), тогда отношение инцидентности можно рассматривать как вложение .

Такие утверждения, как «любые две прямые на плоскости встречаются», называются утверждениями об инцидентности . Это конкретное утверждение верно в проективной плоскости , но неверно в евклидовой плоскости , где прямые могут быть параллельны . Исторически проективная геометрия была разработана для того, чтобы сделать утверждения об инцидентности истинными без исключений, например тех, которые вызваны существованием параллелей. С точки зрения синтетической геометрии , проективная геометрия должна развиваться с использованием таких положений, как аксиомы . Это наиболее важно для проективных плоскостей из-за универсальной применимости теоремы Дезарга в более высоких измерениях.

Напротив, аналитический подход заключается в определении проективного пространства на основе линейной алгебры и использовании однородных координат . Предложения об инцидентности выводятся из следующего основного результата о векторных пространствах : для данных подпространств $U$ и $W$ (конечномерного) векторного пространства $V$ размерность их пересечения равна $dim U + dim W - dim (U + W)$ . Принимая во внимание, что геометрическая размерность проективного пространства $P (V)$ , связанного с $V$ , равна $dim V - 1$ и что геометрическая размерность любого подпространства положительна, основное утверждение об инцидентности в этой ситуации может принять форму: линейные подпространства $L$ и $M$ проективного пространства $P$ встречаются при условии, что $dim L + dim M \geq dim P$ . ^[1]

Следующие разделы ограничены проективными плоскостями , определенными над полями , часто обозначаемыми $PG(2, F)$ , где $F$ — поле, или $P 2 F.$ Однако эти вычисления можно естественным образом распространить на проективные пространства более высокой размерности, а поле можно заменить телом ( или телом) при условии, что в этом случае умножение не является коммутативным .

ПГ(2, Ф )

Пусть $V$ — трехмерное векторное пространство, определенное над полем $F.$ Проективная плоскость $P (V) = PG(2, F)$ состоит из одномерных векторных подпространств $V$ , называемых точками , и двумерных векторных подпространств $V$ , называемых линиями . Инцидентность точки и линии задается содержанием одномерного подпространства в двумерном подпространстве.

Зафиксируйте базис для $V$ , чтобы мы могли описывать его векторы как тройки координат (относительно этого базиса). Одномерное векторное подпространство состоит из ненулевого вектора и всех его скалярных кратных. Ненулевые скалярные кратные, записанные в виде троек координат, представляют собой однородные координаты данной точки, называемые координатами точки . По отношению к этому базису пространство решений одного линейного уравнения ${(x, y, z) | ax + by + cz = 0$ } — двумерное подпространство $V$ и, следовательно, линия $P (V)$ . Эта линия может быть обозначена координатами линии $[a, b, c]$ , которые также являются однородными координатами, поскольку ненулевые скалярные кратные дадут одну и ту же линию. Широко используются и другие обозначения. Координаты точек могут быть записаны как векторы-столбцы $(x, y, z)$ ^T , с двоеточиями $(x : y : z)$ или с индексом $(x, y, z) P$ . Соответственно, координаты линии могут быть записаны как векторы - строки $(a, b, c)$ , с двоеточиями, $[a : b : c]$ или с индексом $(a, b, c) L.$ Возможны и другие варианты.

Заболеваемость, выраженная алгебраически

Учитывая точку $P = (x, y, z)$ и линию $l = [a, b, c]$ , записанные в терминах координат точки и линии, точка инцидентна прямой (часто пишется как $P I l$ ), если и только если,

топор + by + cz знак равно 0

Это можно выразить и в других обозначениях:

{\displaystyle ax+by+cz=[a,b,c]\cdot (x,y,z)=(a,b,c)_{L} \cdot (x,y,z)_{P} "="

=[a:b:c]\cdot (x:y:z)=(a,b,c)\left({\begin{matrix}x\\y\\z\end{matrix}} \право)=0.

Независимо от того, какие обозначения используются, когда однородные координаты точки и линии рассматриваются просто как упорядоченные тройки, их инцидентность выражается как скалярное произведение, равное 0.

Прямая, инцидентная паре различных точек

Пусть $P1$ и $P2$ $—$ пара $различных$ $точек$ $с$ $однородными$ $координатами$ $($ $x1$ $,$ $y1$ $,$ $z1$ $)$ $и$ ( $x2$ $,$ $y2$ $, z2$ $)$ $соответственно$ . $$ Эти точки определяют единственную линию $l$ с уравнением вида $ax + by + cz = 0$ и должны удовлетворять уравнениям:

ax 1 + by 1 + cz 1 = 0

топор 2 + на 2 + cz 2 знак равно 0

В матричной форме эту систему одновременных линейных уравнений можно выразить так:

\left({\begin{matrix}x&y&z\\x_{1}&y_{1}&z_{1}\\x_{2}&y_{2}&z_{2}\end{matrix}}\right) \left({\begin{matrix}a\\b\\c\end{matrix}}\right)=\left({\begin{matrix}0\\0\\0\end{matrix}}\right ).

Эта система имеет нетривиальное решение тогда и только тогда, когда определитель ,

\left|{\begin{matrix}x&y&z\\x_{1}&y_{1}&z_{1}\\x_{2}&y_{2}&z_{2}\end{matrix}}\right| =0.

Разложение этого детерминантного уравнения дает однородное линейное уравнение, которое должно быть уравнением линии $l$ . Следовательно, с точностью до общего ненулевого постоянного множителя имеем $l = [a, b, c]$ , где:

а знак равно у 1 z 2 - у 2 z 1

б знак равно Икс 2 z 1 - Икс 1 z 2

, и

c знак равно Икс 1 y 2 - Икс 2 y 1

В терминах обозначения скалярного тройного произведения для векторов уравнение этой линии можно записать как:

п \cdot п 1 \times п 2 знак равно 0

где $P = (x, y, z)$ — точка общего положения.

Коллинеарность

Точки, инцидентные одной прямой, называются коллинеарными . Совокупность всех точек, инцидентных одной прямой, называется диапазоном .

Если $P 1 = (x 1, y 1, z 1), P 2 = (x 2, y 2, z 2)$ и $P 3 = (x 3, y 3, z 3)$ , то эти точки лежат на одной прямой, если и только если

\left|{\begin{matrix}x_{1}&y_{1}&z_{1} \\x_{2}&y_{2}&z_{2}\\x_{3}&y_{3}&z_{ 3}\end{matrix}}\right|=0,

т. е. тогда и только тогда, когда определитель однородных координат точек равен нулю.

Пересечение пары прямых

Пусть $l 1 = [a 1, b 1, c 1]$ и $l 2 = [a 2, b 2, c 2]$ — пара различных прямых. Тогда пересечение прямых $l 1$ и $l 2$ является точкой a $P = (x 0, y 0, z 0)$ , которая является совместным решением (с точностью до скалярного множителя) системы линейных уравнений:

a 1 x + b 1 y + c 1 z = 0

а 2 Икс + б 2 y + c 2 z знак равно 0

Решение этой системы дает:

Икс 0 знак равно б 1 c 2 - б 2 c 1

y 0 = a 2 c 1 - a 1 c 2

, и

z 0 знак равно а 1 б 2 - а 2 б 1

Альтернативно, рассмотрим другую линию $l = [a, b, c]$ , проходящую через точку $P$ , то есть однородные координаты $P$ удовлетворяют уравнению:

топор + by + cz знак равно 0

Объединив это уравнение с двумя, определяющими $P$ , мы можем найти нетривиальное решение матричного уравнения:

\left({\begin{matrix}a&b&c\\a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\end{matrix}}\right) \left({\begin{matrix}x\\y\\z\end{matrix}}\right)=\left({\begin{matrix}0\\0\\0\end{matrix}}\right ).

Такое решение существует при условии, что определитель

\left|{\begin{matrix}a&b&c\\a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\end{matrix}}\right| =0.

Коэффициенты $a, b$ и $c$ в этом уравнении дают однородные координаты $P.$

Уравнение общей линии, проходящей через точку $P$ , в обозначениях скалярного тройного произведения:

л \cdot л 1 \times л 2 знак равно 0

Совпадение

Линии, пересекающиеся в одной точке, называются параллельными . Совокупность всех прямых на плоскости, инцидентных одной и той же точке, называется пучком прямых с центром в этой точке. Вычисление пересечения двух линий показывает, что весь пучок линий с центром в точке определяется любыми двумя линиями, пересекающимися в этой точке. Отсюда сразу следует, что алгебраическим условием совмещения трех прямых $[a 1, b 1, c 1], [a 2, b 2, c 2], [a 3, b 3, c 3]$ является то, что определитель ,

\left|{\begin{matrix}a_{1}&b_{1}&c_{1} \\a_{2}&b_{2}&c_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{ 3}\end{matrix}}\right|=0.