Стабильность входного состояния

Устойчивость от входа к состоянию (ISS) ^{[1] [2] [3] [4] [5] [6]} — это понятие устойчивости, широко используемое для изучения устойчивости нелинейных систем управления с внешними входами. Грубо говоря, система управления является ISS, если она глобально асимптотически устойчива при отсутствии внешних входов и если ее траектории ограничены функцией размера входа для всех достаточно больших времен. Важность ISS обусловлена ​​тем фактом, что эта концепция заполнила разрыв между методами ввода-вывода и пространства состояний , широко используемыми в сообществе систем управления.

ISS объединила теории устойчивости Ляпунова и вход-выход и произвела революцию в наших взглядах на стабилизацию нелинейных систем, проектирование надежных нелинейных наблюдателей , устойчивость нелинейных взаимосвязанных систем управления, нелинейную теорию обнаруживаемости и супервизорное адаптивное управление. Это сделало ISS доминирующей парадигмой устойчивости в теории нелинейного управления с такими разнообразными приложениями, как робототехника, мехатроника, системная биология, электротехника и аэрокосмическая техника, и это лишь некоторые из них.

Понятие МСУ было введено для систем, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями, Эдуардо Зонтагом в 1989 году. ^[7]

С тех пор эта концепция успешно использовалась для многих других классов систем управления, включая системы, управляемые уравнениями в частных производных, запаздывающие системы, гибридные системы и т. д. ^[5]

Определение

Рассмотрим инвариантную во времени систему обыкновенных дифференциальных уравнений вида

где — измеримый по Лебегу существенно ограниченный внешний вход, а — непрерывная по Липшицу функция относительно первого аргумента равномерно относительно второго. Это гарантирует существование единственного абсолютно непрерывного решения системы ( 1 ). ${\displaystyle u:\mathbb {R} _{+}\to \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle f}$

Для определения ISS и связанных с ними свойств мы используем следующие классы функций сравнения . Обозначим через множество непрерывных возрастающих функций с и множество непрерывных строго убывающих функций с . Тогда мы можем обозначить как функции , где для всех и для всех . ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$ ${\displaystyle \gamma :\mathbb {R} _{+}\to \mathbb {R} _{+}}$ ${\displaystyle \gamma (0)=0}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle \gamma :\mathbb {R} _{+}\to \mathbb {R} _{+}}$ ${\displaystyle \lim _{r\to \infty }\gamma (r)=0}$ ${\displaystyle \beta \in {\mathcal {K}}{\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle \beta (\cdot ,t)\in {\mathcal {K}}}$ ${\displaystyle t\geq 0}$ ${\displaystyle \beta (r,\cdot )\in {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle r>0}$

Система ( 1 ) называется глобально асимптотически устойчивой в нуле (0-GAS), если соответствующая система с нулевым входом

является глобально асимптотически устойчивой , то есть существуют такие, что для всех начальных значений и всех времен справедлива следующая оценка для решений ( WithoutInputs ) ${\displaystyle \beta \in {\mathcal {K}}{\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle t\geq 0}$

Система ( 1 ) называется устойчивой по отношению к входному состоянию (УВС), если существуют функции и такие, что для всех начальных значений , всех допустимых входных данных и всех времен выполняется следующее неравенство: ${\displaystyle \gamma \in {\mathcal {K}}}$ ${\displaystyle \beta \in {\mathcal {K}}{\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle t\geq 0}$

Функция в приведенном выше неравенстве называется коэффициентом усиления . ${\displaystyle \gamma }$

Очевидно, что система ISS является 0-GAS, а также BIBO-стабильной (если мы положим выход равным состоянию системы). Обратное следствие в общем случае неверно.

Можно также доказать, что если , то . ${\displaystyle \lim _{t\rightarrow \infty }|u(t)|=0}$ ${\displaystyle \lim _{t\rightarrow \infty }|x(t)|=0}$

Характеристика свойства стабильности входного состояния

Для понимания ISS большое значение имеют ее переформулировки с точки зрения других свойств устойчивости.

Система ( 1 ) называется глобально устойчивой (GS), если существуют такие, что , и выполняется следующее: ${\displaystyle \gamma ,\sigma \in {\mathcal {K}}}$ ${\displaystyle \forall x_{0}}$ ${\displaystyle \forall u}$ ${\displaystyle \forall t\geq 0}$

Система ( 1 ) удовлетворяет свойству асимптотического усиления (AG), если существует : , выполняется следующее: ${\displaystyle \gamma \in {\mathcal {K}}}$ ${\displaystyle \forall x_{0}}$ ${\displaystyle \forall u}$

Следующие утверждения эквивалентны для достаточно регулярной правой части ^[8] ${\displaystyle f}$

1. ( 1 ) это МКС

2. ( 1 ) является GS и имеет свойство AG

3. ( 1 ) является 0-GAS и имеет свойство AG

Доказательство этого результата, а также многие другие характеристики ISS можно найти в статьях ^[8] и ^[9] . Другие характеристики ISS, которые справедливы при очень мягких ограничениях на регулярность правой части и применимы к более общим бесконечномерным системам, были показаны в ^{[10] .} ${\displaystyle f}$

ИСС-функции Ляпунова

Важным инструментом для проверки ИСС являются функции ИСС-Ляпунова.

Гладкая функция называется функцией ИСС-Ляпунова для ( 1 ), если , и положительно определенная функция , такая, что: ${\displaystyle V:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} _{+}}$ ${\displaystyle \exists \psi _{1},\psi _{2}\in {\mathcal {K}}_{\infty }}$ ${\displaystyle \chi \in {\mathcal {K}}}$ ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle \psi _{1}(|x|)\leq V(x)\leq \psi _{2}(|x|),\quad \forall x\in \mathbb {R} ^{n}}$

и он содержит: ${\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} ^{n},\;\forall u\in \mathbb {R} ^{m}}$

${\displaystyle |x|\geq \chi (|u|)\ \Rightarrow \ \nabla V\cdot f(x,u)\leq -\alpha (|x|),}$

Функция называется коэффициентом усиления Ляпунова . ${\displaystyle \chi }$

Если система ( 1 ) не имеет входов (т.е. ), то последнее следствие сводится к условию ${\displaystyle u\equiv 0}$

${\displaystyle \nabla V\cdot f(x,u)\leq -\alpha (|x|),\ \forall x\neq 0,}$

что говорит нам, что является «классической» функцией Ляпунова . ${\displaystyle V}$

Важный результат Э. Зонтаг и Й. Вана состоит в том, что система ( 1 ) является УИУ тогда и только тогда, когда для нее существует гладкая УИУ-функция Ляпунова. ^[9]

Примеры

Рассмотрим систему

${\displaystyle {\dot {x}}=-x^{3}+ux^{2}.}$

Определите потенциальную функцию ИСС-Ляпунова следующим образом: ${\displaystyle V:\mathbb {R} \to \mathbb {R} _{+}}$ ${\displaystyle V(x)={\frac {1}{2}}x^{2},\quad \forall x\in \mathbb {R} .}$

${\displaystyle {\dot {V}}(x)=\nabla V\cdot (-x^{3}+ux^{2})=-x^{4}+ux^{3}.}$

Выберите коэффициент усиления Ляпунова ${\displaystyle \chi }$

${\displaystyle \chi (r):={\frac {1}{1-\epsilon }}r}$.

Тогда получаем, что для него выполняется ${\displaystyle x,u:\ |x|\geq \chi (|u|)}$

${\displaystyle {\dot {V}}(x)\leq -|x|^{4}+(1-\epsilon )|x|^{4}=-\epsilon |x|^{4}.}$

Это показывает, что является функцией УИС-Ляпунова для рассматриваемой системы с коэффициентом усиления Ляпунова . ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \chi }$

Взаимосвязь систем МКС

Одной из основных особенностей фреймворка ISS является возможность изучения свойств устойчивости взаимосвязей входных и выходных стабильных систем.

Рассмотрим систему, заданную

Здесь , и липшицевы по равномерно относительно входов из -й подсистемы. ${\displaystyle u\in L_{\infty }(\mathbb {R} _{+},\mathbb {R} ^{m})}$ ${\displaystyle x_{i}(t)\in \mathbb {R} ^{p_{i}}}$ ${\displaystyle f_{i}}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle i}$

Для -й подсистемы ( WholeSys ) определение функции ИСС-Ляпунова можно записать следующим образом. ${\displaystyle i}$

Гладкая функция является функцией Ляпунова-ИСС (ИСС-ЛФ) для -й подсистемы ( WholeSys ), если существуют функции , , , , и положительно определенная функция , такие, что: ${\displaystyle V_{i}:\mathbb {R} ^{p_{i}}\to \mathbb {R} _{+}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \psi _{i1},\psi _{i2}\in {\mathcal {K}}_{\infty }}$ ${\displaystyle \chi _{ij},\chi _{i}\in {\mathcal {K}}}$ ${\displaystyle j=1,\ldots ,n}$ ${\displaystyle j\neq i}$ ${\displaystyle \chi _{ii}:=0}$ ${\displaystyle \alpha _{i}}$

${\displaystyle \psi _{i1}(|x_{i}|)\leq V_{i}(x_{i})\leq \psi _{i2}(|x_{i}|),\quad \forall x_{i}\in \mathbb {R} ^{p_{i}}}$

и он держит ${\displaystyle \forall x_{i}\in \mathbb {R} ^{p_{i}},\;\forall u\in \mathbb {R} ^{m}}$

${\displaystyle V_{i}(x_{i})\geq \max\{\max _{j=1}^{n}\chi _{ij}(V_{j}(x_{j})),\chi _{i}(|u|)\}\ \Rightarrow \ \nabla V_{i}(x_{i})\cdot f_{i}(x_{1},\ldots ,x_{n},u)\leq -\alpha _{i}(V_{i}(x_{i})).}$

Каскадные соединения

Каскадные взаимосвязи — это особый тип взаимосвязей, где динамика -й подсистемы не зависит от состояний подсистем . Формально каскадную взаимосвязь можно записать как ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle 1,\ldots ,i-1}$

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}{\dot {x}}_{i}=f_{i}(x_{i},\ldots ,x_{n},u),\\i=1,\ldots ,n.\end{array}}\right.}$

Если все подсистемы указанной выше системы являются МКС, то вся каскадная взаимосвязь также является МКС. ^{[7] [4]}

В отличие от каскадов систем ISS, каскадное соединение систем 0-GAS в общем случае не является 0-GAS. Следующий пример иллюстрирует этот факт. Рассмотрим систему, заданную

Обе подсистемы этой системы являются 0-GAS, но для достаточно больших начальных состояний и для определенного конечного времени это справедливо для , т.е. система ( Ex_GAS ) демонстрирует конечное время выхода и, таким образом, не является 0-GAS. ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$ ${\displaystyle t^{*}}$ ${\displaystyle x(t)\to \infty }$ ${\displaystyle t\to t^{*}}$

Взаимосвязь обратной связи

Структура взаимосвязи подсистем характеризуется внутренними коэффициентами усиления Ляпунова . Вопрос о том, является ли взаимосвязь ( WholeSys ) ISS, зависит от свойств оператора усиления, определяемого ${\displaystyle \chi _{ij}}$ ${\displaystyle \Gamma :\mathbb {R} _{+}^{n}\rightarrow \mathbb {R} _{+}^{n}}$

${\displaystyle \Gamma (s):=\left(\max _{j=1}^{n}\chi _{1j}(s_{j}),\ldots ,\max _{j=1}^{n}\chi _{nj}(s_{j})\right),\ s\in \mathbb {R} _{+}^{n}.}$

Следующая теорема о малом выигрыше устанавливает достаточное условие для МСП взаимосвязи систем МСП. Пусть будет МСП-функцией Ляпунова для -й подсистемы ( WholeSys ) с соответствующими выигрышами , . Если нелинейное условие малого выигрыша ${\displaystyle V_{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \chi _{ij}}$ ${\displaystyle i=1,\ldots ,n}$

выполняется, то вся взаимосвязь является МКС. ^{[11] [12]}

Условие малого выигрыша ( SGC ) выполняется тогда и только тогда, когда для каждого цикла в (то есть для всех , где ) и для всех оно выполняется ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle (k_{1},...,k_{p})\in \{1,...,n\}^{p}}$ ${\displaystyle k_{1}=k_{p}}$ ${\displaystyle s>0}$

${\displaystyle \gamma _{k_{1}k_{2}}\circ \gamma _{k_{2}k_{3}}\circ \ldots \circ \gamma _{k_{p-1}k_{p}}(s)<s.}$

Условие малого усиления в этой форме также называется циклическим условием малого усиления.

Сопутствующие концепции устойчивости

Интегральная ИСС (ИИСС)

Система ( 1 ) называется интегрально устойчивой по входному состоянию (УВС), если существуют функции и такие, что для всех начальных значений , всех допустимых входных данных и всех времен выполняется следующее неравенство: ${\displaystyle \alpha ,\gamma \in {\mathcal {K}}}$ ${\displaystyle \beta \in {\mathcal {K}}{\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle t\geq 0}$

В отличие от систем ISS, если система является интегральной ISS, ее траектории могут быть неограниченными даже для ограниченных входов. Чтобы увидеть это, положим для всех и возьмем . Тогда оценка ( 3 ) примет вид ${\displaystyle \alpha (r)=\gamma (r)=r}$ ${\displaystyle r\geq 0}$ ${\displaystyle u\equiv c=const}$

${\displaystyle |x(t)|\leq \beta (|x_{0}|,t)+\int _{0}^{t}cds=\beta (|x_{0}|,t)+ct,}$

а правая часть возрастает до бесконечности как . ${\displaystyle t\to \infty }$

Как и в рамках МСИ, методы Ляпунова играют центральную роль в теории МСИ.

Гладкая функция называется функцией Ляпунова-ИСС для ( 1 ), если , и положительно определенная функция , такая, что: ${\displaystyle V:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} _{+}}$ ${\displaystyle \exists \psi _{1},\psi _{2}\in {\mathcal {K}}_{\infty }}$ ${\displaystyle \chi \in {\mathcal {K}}}$ ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle \psi _{1}(|x|)\leq V(x)\leq \psi _{2}(|x|),\quad \forall x\in \mathbb {R} ^{n}}$

и он содержит: ${\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} ^{n},\;\forall u\in \mathbb {R} ^{m}}$

${\displaystyle {\dot {V}}=\nabla V\cdot f(x,u)\leq -\alpha (|x|)+\gamma (|u|).}$

Важный результат, полученный Д. Анджели, Э. Зонтаг и Й. Ваном, состоит в том, что система ( 1 ) является интегральной УИС тогда и только тогда, когда для нее существует функция УИСС-Ляпунова.

Обратите внимание, что в приведенной выше формуле предполагается только положительно определенное . Можно легко доказать ^[13] , что если является iISS-функцией Ляпунова с , то на самом деле является ISS-функцией Ляпунова для системы ( 1 ). ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \alpha \in {\mathcal {K}}_{\infty }}$ ${\displaystyle V}$

Это показывает, в частности, что каждая система ISS является интегральной ISS. Обратное утверждение неверно, как показывает следующий пример. Рассмотрим систему

${\displaystyle {\dot {x}}=-\arctan {x}+u.}$

Эта система не является ISS, поскольку для достаточно больших входов траектории не ограничены. Однако это интегральная ISS с iISS-функцией Ляпунова, определяемой как ${\displaystyle V}$

${\displaystyle V(x)=x\arctan {x}.}$

Местный МКС (LISS)

Важную роль играют также локальные версии свойства МСС. Система ( 1 ) называется локально МСС (ЛИСС), если существуют константа и функции ${\displaystyle \rho >0}$

${\displaystyle \gamma \in {\mathcal {K}}}$и так, что для всех , всех допустимых входов и всех времен выполняется, что ${\displaystyle \beta \in {\mathcal {K}}{\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} ^{n}:\;|x_{0}|\leq \rho }$ ${\displaystyle u:\|u\|_{\infty }\leq \rho }$ ${\displaystyle t\geq 0}$

Интересное наблюдение заключается в том, что 0-GAS подразумевает LISS. ^[14]

Другие понятия стабильности

Было введено много других понятий, связанных с устойчивостью МПС: инкрементальная устойчивость МПС, динамическая устойчивость «вход-состояние» (ISDS), ^[15] практическая устойчивость «вход-состояние» (ISpS), устойчивость «вход-выход» (IOS) ^[16] и т. д.

ИСС систем задержки времени

Рассмотрим независимую от времени систему с задержкой по времени

Здесь представлено состояние системы ( TDS ) в момент времени , удовлетворяющее определенным предположениям, гарантирующим существование и единственность решений системы ( TDS ). ${\displaystyle x^{t}\in C([-\theta ,0];\mathbb {R} ^{N})}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle x^{t}(\tau )=x(t+\tau ),\ \tau \in [-\theta ,0]}$ ${\displaystyle f:C([-\theta ,0];\mathbb {R} ^{N})\times \mathbb {R} ^{m}}$

Система ( TDS ) является ISS тогда и только тогда, когда существуют функции и такие, что для каждого допустимого входа и для всех выполняется следующее: ${\displaystyle \beta \in {\mathcal {KL}}}$ ${\displaystyle \gamma \in {\mathcal {K}}}$ ${\displaystyle \xi \in C(\left[-\theta ,0\right],\mathbb {R} ^{N})}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle t\in \mathbb {R} _{+}}$

В теории ИСС для систем с запаздыванием предложены два различных достаточных условия типа Ляпунова: через ИСС функции Ляпунова-Разумихина ^[17] и через ИСС функционалы Ляпунова-Красовского. ^[18] Об обратных теоремах Ляпунова для систем с запаздыванием см. ^[19].

ИСС других классов систем

Устойчивость систем на основе инвариантных во времени обыкновенных дифференциальных уравнений по входному состоянию является достаточно развитой теорией, см. недавнюю монографию. ^[6] Однако теория ISS других классов систем также исследуется для систем ОДУ, инвариантных во времени ^[20] и гибридных систем . ^{[21] [22]} В последнее время также были предложены некоторые обобщения концепций ISS на бесконечномерные системы. ^{[23] [24] [3] [25]}

Семинары и онлайн-ресурсы по МКС

1. Онлайн-семинар: Устойчивость входного состояния и ее применение

2. Канал YouTube на МКС

Ссылки

1. Эдуардо Д. Зонтаг. Математическая теория управления: конечномерные системы. Springer-Verlag, Лондон, 1998.
2. Хассан К. Халил. Нелинейные системы. Prentice Hall, 2002.
3. Iasson Karafyllis и Zhong-Ping Jiang. Устойчивость и стабилизация нелинейных систем. Серия Communications and Control Engineering. Springer-Verlag London Ltd., Лондон, 2011.
4. Эдуардо Д. Зонтаг. Ввод в устойчивость состояния: основные концепции и результаты. В Нелинейной и оптимальной теории управления, том 1932 Lecture Notes in Math., страницы 163–220, Берлин, 2008. Springer
5. А. Миронченко, Ч. Приер. Устойчивость входного состояния бесконечномерных систем: последние результаты и открытые вопросы. SIAM Review, 62(3):529–614, 2020.
6. Устойчивость входного сигнала к состоянию. Коммуникации и техника управления. 2023. doi : 10.1007/978-3-031-14674-9. ISBN 978-3-031-14673-2.
7. Эдуардо Д. Зонтаг. Гладкая стабилизация подразумевает взаимно простую факторизацию. IEEE Trans. Autom. Control, 34(4):435–443, 1989.
8. Эдуардо Д. Зонтаг и Юань Ванг . Новые характеристики стабильности вход-состояние. IEEE Trans. Autom. Control, 41(9):1283–1294, 1996.
9. Эдуардо Д. Зонтаг и Юань Ван . О характеристиках свойства стабильности входного сигнала в состоянии Архивировано 03.07.2013 в Wayback Machine . Systems Control Lett., 24(5):351–359, 1995.
10. Андрей Миронченко и Фабиан Вирт. Характеристика устойчивости входного состояния для бесконечномерных систем. IEEE Trans. Autom. Control, 63(6): 1602-1617, 2018.
11. Чжун-Пин Цзян, Айвен МЮ Марелс и Юань Ван . Формулировка Ляпунова нелинейной теоремы о малом коэффициенте усиления для взаимосвязанных систем МКС. Automatica J. IFAC, 32(8):1211–1215, 1996.
12. Сергей Дашковский, Бьорн С. Рюффер и Фабиан Р. Вирт. Функция Ляпунова для сетей систем с МСС. В трудах 17-го Международного симпозиума по математической теории сетей и систем (MTNS), Киото, Япония, 24–28 июля 2006 г., стр. 77–82, 2006 г.
13. См. замечание 2.4. в Eduardo D. Sontag и Yuan Wang . О характеристиках свойства стабильности входного состояния. Systems Control Lett., 24(5):351–359, 1995
14. Лемма I.1, стр. 1285 в Eduardo D. Sontag и Yuan Wang . Новые характеристики стабильности входного сигнала в состоянии. IEEE Trans. Autom. Control, 41(9):1283–1294, 1996
15. Ларс Грюне. Динамическая устойчивость «вход-состояние» и ее характеристика функции Ляпунова. IEEE Trans. Autom. Control, 47(9):1499–1504, 2002.
16. З.-П. Цзян, А. Р. Тил и Л. Прали. Теорема о малом коэффициенте усиления для систем МКС и их приложений. Математика. Системы сигналов управления, 7(2):95–120, 1994.
17. Эндрю Р. Тил. Связи между теоремами типа Разумихина и нелинейной теоремой МКС о малом коэффициенте усиления. IEEE Trans. Autom. Control, 43(7):960–964, 1998.
18. П. Пепе и З.-П. Цзян. Методология Ляпунова-Красовского для ISS и iISS систем с задержкой времени. Systems Control Lett., 55(12):1006–1014, 2006.
19. Яссон Карафиллис. Теоремы Ляпунова для систем, описываемых запаздывающими функционально-дифференциальными уравнениями. Нелинейный анализ: теория, методы и приложения, 64(3):590 – 617, 2006.
20. Юаньдан Линь, Юань Ван и Дайчжан Ченг. О неоднородной и полуоднородной стабильности входного состояния для систем, изменяющихся во времени. На Всемирном конгрессе IFAC, Прага, 2005.
21. Чаохонг Кай и Эндрю Р. Тил. Характеристики стабильности входного сигнала для гибридных систем. Systems & Control Letters, 58(1):47–53, 2009.
22. D. Nesic и AR Teel. Теорема Ляпунова о малом коэффициенте усиления для гибридных систем ISS. В трудах 47-й конференции IEEE по принятию решений и управлению, Канкун, Мексика, 9–11 декабря 2008 г., стр. 3380–3385, 2008 г.
23. Баю Джаявардхана, Хартмут Логеманн и Юджин П. Райан. Бесконечномерные системы обратной связи: критерий круга и устойчивость входа к состоянию. Commun. Inf. Syst., 8(4):413–414, 2008.
24. Дашковский, Сергей; Миронченко, Андрей (2013). «Устойчивость бесконечномерных систем управления по входному состоянию». Математика управления, сигналов и систем . 25 : 1–35. doi :10.1007/s00498-012-0090-2.
25. Ф. Мазенк и К. Приер. Строгие функции Ляпунова для полулинейных параболических уравнений с частными производными. Математическое управление и смежные области, 1:231–250, июнь 2011 г.