Кривая пересечения

Кривая, общая для двух геометрических объектов

В геометрии кривая пересечения — это кривая , общая для двух геометрических объектов. В простейшем случае пересечение двух непараллельных плоскостей в евклидовом 3-пространстве — это линия . В общем случае кривая пересечения состоит из общих точек двух трансверсально пересекающихся поверхностей , что означает, что в любой общей точке нормали к поверхности не параллельны. Это ограничение исключает случаи, когда поверхности соприкасаются или имеют общие части поверхности.

Пересечение двух плоскостей

Аналитическое определение кривой пересечения двух поверхностей легко только в простых случаях; например: а) пересечение двух плоскостей, б) плоское сечение квадрики ( сферы, цилиндра, конуса и т. д.), в) пересечение двух квадрики в частных случаях. Для общего случая в литературе приводятся алгоритмы, позволяющие вычислить точки кривой пересечения двух поверхностей. ^[1]

Линия пересечения двух плоскостей

Дано: две плоскости линейно независимы , т.е. плоскости не параллельны. ${\displaystyle \varepsilon _{i}:\quad {\vec {n}}_{i}\cdot {\vec {x}}=d_{i},\quad i=1,2,\quad {\vec {n}}_{1},{\vec {n}}_{2}}$

Требуется: параметрическое представление линии пересечения. ${\displaystyle {\vec {x}}={\vec {p}}+t{\vec {r}}}$

Направление линии получается из векторного произведения векторов нормалей: . ${\displaystyle {\vec {r}}={\vec {n}}_{1}\times {\vec {n}}_{2}}$

Точку линии пересечения можно определить, пересекая заданные плоскости плоскостью , перпендикулярной и . Подстановка параметрического представления в уравнения и дает параметры и . ${\displaystyle P:{\vec {p}}}$ ${\displaystyle \varepsilon _{1},\varepsilon _{2}}$ ${\displaystyle \varepsilon _{3}:{\vec {x}}=s_{1}{\vec {n}}_{1}+s_{2}{\vec {n}}_{2}}$ ${\displaystyle \varepsilon _{1}}$ ${\displaystyle \varepsilon _{2}}$ ${\displaystyle \varepsilon _{3}}$ ${\displaystyle \varepsilon _{1}}$ ${\displaystyle \varepsilon _{2}}$ ${\displaystyle s_{1}}$ ${\displaystyle s_{2}}$

${\displaystyle P:{\vec {p}}={\frac {d_{1}({\vec {n}}_{2}\cdot {\vec {n}}_{2})-d_{2}({\vec {n}}_{1}\cdot {\vec {n}}_{2})}{({\vec {n}}_{1}\cdot {\vec {n}}_{1})({\vec {n}}_{2}\cdot {\vec {n}}_{2})-({\vec {n}}_{1}\cdot {\vec {n}}_{2})^{2}}}{\vec {n}}_{1}+{\frac {d_{2}({\vec {n}}_{1}\cdot {\vec {n}}_{1})-d_{1}({\vec {n}}_{1}\cdot {\vec {n}}_{2})}{({\vec {n}}_{1}\cdot {\vec {n}}_{1})({\vec {n}}_{2}\cdot {\vec {n}}_{2})-({\vec {n}}_{1}\cdot {\vec {n}}_{2})^{2}}}{\vec {n}}_{2}\ .}$

Пример: ${\displaystyle \varepsilon _{1}:\ x+2y+z=1,\quad \varepsilon _{2}:\ 2x-3y+2z=2\ .}$

Нормальные векторы и направление линии пересечения . Для точки , получаем из формулы выше Следовательно ${\displaystyle {\vec {n}}_{1}=(1,2,1)^{\top },\ {\vec {n}}_{2}=(2,-3,2)^{\top }}$ ${\displaystyle {\vec {r}}={\vec {n}}_{1}\times {\vec {n}}_{2}=(7,0,-7)^{\top }}$ ${\displaystyle P:{\vec {p}}}$ ${\displaystyle {\vec {p}}={\tfrac {1}{2}}(1,0,1)^{\top }\ .}$

${\displaystyle {\vec {x}}={\tfrac {1}{2}}(1,0,1)^{\top }+t(7,0,-7)^{\top }}$

представляет собой параметрическое представление линии пересечения.

Замечания:

1. В особых случаях определение линии пересечения методом исключения Гаусса может быть более быстрым.
2. Если одна (или обе) плоскости заданы параметрически с помощью , то получим нормальный вектор и уравнение будет иметь вид: . ${\displaystyle {\vec {x}}={\vec {p}}+s{\vec {v}}+t{\vec {w}}}$ ${\displaystyle {\vec {n}}={\vec {v}}\times {\vec {w}}}$ ${\displaystyle {\vec {n}}\cdot {\vec {x}}={\vec {n}}\cdot {\vec {p}}}$

Кривая пересечения плоскости и квадрики

В любом случае кривая пересечения плоскости и квадрики (сферы, цилиндра, конуса,...) является коническим сечением . Подробности см. в ^[2]. Важное применение плоских сечений квадрик — контурные линии квадрик. В любом случае (параллельная или центральная проекция) контурные линии квадрик являются коническими сечениями. См. ниже и Umrisskonstruktion.

Кривая пересечения цилиндра или конуса и квадрики

Определить точки пересечения прямой с квадрикой (т.е. прямой-сферой ) — простая задача; нужно только решить квадратное уравнение. Так, любая кривая пересечения конуса или цилиндра (они порождены прямыми) с квадрикой состоит из точек пересечения прямых и квадрики (см. рисунки).

На рисунках показаны возможности, возникающие при пересечении цилиндра и сферы:

1. В первом случае существует только одна кривая пересечения.
2. Во втором случае показан пример, когда кривая пересечения состоит из двух частей.
3. В третьем случае сфера и цилиндр касаются друг друга в одной особой точке. Кривая пересечения является самопересекающейся.
4. Если цилиндр и сфера имеют одинаковый радиус, а середина сферы расположена на оси цилиндра, то кривая пересечения состоит только из особых точек (окружности).

• 
  Пересечение сферы и цилиндра: одна часть
• 
  Пересечение сферы и цилиндра: две части

• 
  Пересечение сферы и цилиндра: кривая с одной особой точкой
• 
  Пересечение сферы и цилиндра: касание по особой кривой

Общий случай: маршевый метод

Кривая пересечения: принцип алгоритма марширования

В общем, нет никаких специальных возможностей для использования. Одной из возможностей определения многоугольника точек кривой пересечения двух поверхностей является метод марша (см. раздел Ссылки). Он состоит из двух основных частей:

1. Первая часть — это алгоритм точки кривой , который определяет начальную точку в окрестности двух поверхностей в точке на кривой пересечения. Алгоритм в основном зависит от представления данных поверхностей. Простейшая ситуация — когда обе поверхности неявно заданы уравнениями , поскольку функции предоставляют информацию о расстояниях до поверхностей и показывают через градиенты путь к поверхностям. Если одна или обе поверхности заданы параметрически, то преимущества неявного случая отсутствуют. В этом случае алгоритм точки кривой использует трудоемкие процедуры, такие как определение точки основания перпендикуляра на поверхности. ${\displaystyle f_{1}(x,y,z)=0,\ f_{2}(x,y,z)=0}$
2. Вторая часть метода марширования начинается с первой точки на кривой пересечения, определяет направление кривой пересечения с помощью нормалей поверхности, затем делает шаг с заданной длиной шага в направлении касательной линии, чтобы получить начальную точку для второй точки кривой, ... (см. рисунок).

Подробности алгоритма марша см. ^{[3] .}

Метод марша создает для любой начальной точки многоугольник на кривой пересечения. Если кривая пересечения состоит из двух частей, алгоритм должен быть выполнен с использованием второй удобной начальной точки. Алгоритм довольно надежен. Обычно особые точки не являются проблемой, поскольку вероятность встретить именно особую точку очень мала (см. рисунок: пересечение цилиндра и поверхности ). ${\displaystyle x^{4}+y^{4}+z^{4}=1}$

• 
  Пересечение с цилиндром: две части ${\displaystyle x^{4}+y^{4}+z^{4}=1}$
• 
  Пересечение с цилиндром: одна часть ${\displaystyle x^{4}+y^{4}+z^{4}=1}$
• 
  Пересечение с цилиндром: одна особая точка ${\displaystyle x^{4}+y^{4}+z^{4}=1}$

Применение: контурная линия

Точка контурной линии неявной поверхности с уравнением и параллельной проекцией с направлением должна удовлетворять условию , поскольку должна быть касательным вектором, что означает, что любая контурная точка является точкой пересечения кривой двух неявных поверхностей ${\displaystyle (x,y,z)}$ ${\displaystyle f(x,y,z)=0}$ ${\displaystyle {\vec {v}}}$ ${\displaystyle g(x,y,z)=\nabla f(x,y,z)\cdot {\vec {v}}=0}$ ${\displaystyle {\vec {v}}}$

${\displaystyle f(x,y,z)=0,\ g(x,y,z)=0}$.

Для квадрики всегда линейная функция. Следовательно, контурная линия квадрики всегда является плоским сечением (т.е. коническим сечением). ${\displaystyle g}$

Контур поверхности (см. рисунок) был прочерчен маршевым методом. ${\displaystyle f(x,y,z)=x^{4}+y^{4}+z^{4}-1=0}$

Замечание: Определение контурного многоугольника параметрической поверхности требует построения неявной кривой в плоскости параметров. ^[4] ${\displaystyle {\vec {x}}={\vec {x}}(s,t)}$

Условие для точек контура: . ${\displaystyle g(s,t)=({\vec {x}}_{s}(s,t)\times {\vec {x}}_{t}(s,t))\cdot {\vec {v}}=0}$

Кривая пересечения двух многогранников

Кривая пересечения многогранников: три дома

Пересечение многогранников: два тора

Кривая пересечения двух многогранников представляет собой многоугольник (см. пересечение трех домов). Отображение параметрически заданной поверхности обычно выполняется путем отображения прямоугольной сетки в 3-пространство. Пространственные четырехугольники почти плоские. Поэтому для пересечения двух параметрически заданных поверхностей можно использовать алгоритм пересечения двух многогранников. ^[5] См. изображение пересекающихся торов.

Смотрите также

• Теория пересечений

Ссылки

1. Геометрия и алгоритмы для АВТОМАТИЗИРОВАННОГО ПРОЕКТИРОВАНИЯ, стр. 94
2. CDKG: Computerunterstützte Darstellende und Konstruktive Geometry (TU Darmstadt) (PDF; 3,4 МБ), стр. 87–124
3. Геометрия и алгоритмы для АВТОМАТИЗИРОВАННОГО ПРОЕКТИРОВАНИЯ, стр. 94
4. Геометрия и алгоритмы для АВТОМАТИЗИРОВАННОГО ПРОЕКТИРОВАНИЯ, стр. 99
5. Геометрия и алгоритмы для АВТОМАТИЗИРОВАННОГО ПРОЕКТИРОВАНИЯ стр. 76

Дальнейшее чтение

• C:L: Bajaj, CM Hoffmann, RE Lynch: Трассировка пересечений поверхностей , Comp. Aided Geom. Design 5 (1988), стр. 285-307.
• RE Barnhill, SN Kersey: Маршевый метод для параметрического пересечения поверхностей , Comp. Aided Geom. Design 7 (1990), стр. 257-280.
• Р. Барнхилл, Г. Фарин, М. Джордан, Б. Пайпер: Пересечение поверхности/поверхности , Компьютерное геометрическое проектирование 4 (1987), стр. 3-16.