Инвариант бинарной формы

В математической теории инвариантов инвариант бинарной формы — это многочлен от коэффициентов бинарной формы от двух переменных x и y , который остается инвариантным относительно специальной линейной группы, действующей на переменные x и y .

Терминология

Бинарная форма (степени n ) является однородным многочленом . Группа действует на эти формы, принимая в и в . Это индуцирует действие на пространстве, охватываемом и на многочленах от этих переменных. Инвариант является многочленом от этих переменных , который инвариантен относительно этого действия. В более общем смысле ковариант является многочленом от , , который инвариантен, поэтому инвариант является особым случаем коварианта, где переменные и не встречаются. Еще в более общем смысле одновременный инвариант является многочленом от коэффициентов нескольких различных форм от и . ${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{\binom {n}{i}}a_{n-i}x^{n-i}y^{i}=a_{n}x^{n}+{\binom {n}{1}}a_{n-1}x^{n-1}y+\cdots +a_{0}y^{n}}$ ${\displaystyle SL_{2}(\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle ax+by}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle cx+dy}$ ${\displaystyle a_{0},\ldots ,a_{n}}$ ${\displaystyle n+1}$ ${\displaystyle a_{0},\ldots ,a_{n}}$ ${\displaystyle a_{0},\ldots ,a_{n}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

В терминах теории представлений , для любого представления группы можно задать кольцо инвариантных многочленов на . Инварианты бинарной формы степени соответствуют взятию в качестве -мерного неприводимого представления, а коварианты соответствуют взятию в качестве суммы неприводимых представлений размерностей 2 и . ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle SL_{2}(\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle (n+1)}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle n+1}$

Инварианты бинарной формы образуют градуированную алгебру , и Гордан (1868) доказал, что эта алгебра конечно порождена, если базовым полем являются комплексные числа.

Формы степеней 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 иногда называются квадриками, кубиками, квартиками, квинтиками, секстиками, септиками или септимиками, октиками или октавиками, нониками и дециками или децимиками. «Квантика» — старое название формы произвольной степени. Формы с 1, 2, 3, 4, ... переменными называются унарными, бинарными, тернарными, кватернарными, ... формами.

Примеры

Форма f сама по себе является ковариантом степени 1 и порядка n .

Дискриминант формы является инвариантом .

Результат двух форм является их одновременным инвариантом.

Ковариант Гессе формы Гильберта (1993, стр.88) — это определитель матрицы Гессе

${\displaystyle H(f)={\begin{bmatrix}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\,\partial y}}\\[10pt]{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\,\partial x}}&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}\end{bmatrix}}.}$

Это ковариант порядка 2 n − 4 и степени 2.

Каталектикант является инвариантом степени n /2+1 двоичной формы четной степени n .

Канонизатор — это ковариант степени и порядка ( n +1)/2 двоичной формы нечетной степени n .

Якобианский​

${\displaystyle \det {\begin{bmatrix}{\frac {\partial f}{\partial x}}&{\frac {\partial f}{\partial y}}\\[10pt]{\frac {\partial g}{\partial x}}&{\frac {\partial g}{\partial y}}\end{bmatrix}}}$

является одновременным ковариантом двух форм f , g .

Кольцо инвариантов

Структура кольца инвариантов была разработана для малых степеней. Сильвестр и Франклин (1879) дали таблицы чисел генераторов инвариантов и ковариантов для форм степени до 10, хотя в таблицах есть несколько незначительных ошибок для больших степеней, в основном там, где опущено несколько инвариантов или ковариантов.

Коварианты бинарной линейной формы

Для линейных форм единственными инвариантами являются константы. Алгебра ковариантов порождается самой формой степени 1 и порядка 1. ${\displaystyle F_{1}(x,y)=Ax+By}$

Коварианты бинарной квадрики

Алгебра инвариантов квадратичной формы — это алгебра многочленов от 1 переменной, порожденная дискриминантом степени 2. Алгебра ковариантов — это алгебра многочленов от 2 переменных, порожденная дискриминантом вместе с самой формой (степени 1 и порядка 2). (Шур 1968, II.8) (Гильберт 1993, XVI, XX) ${\displaystyle F_{2}(x,y)=Ax^{2}+2Bxy+Cy^{2}}$ ${\displaystyle B^{2}-AC}$

Коварианты бинарной кубической

Алгебра инвариантов кубической формы — это алгебра многочленов от 1 переменной, порожденная дискриминантом степени 4. Алгебра ковариантов порождается дискриминантом, самой формой (степень 1, порядок 3), гессианом (степень 2, порядок 2) и ковариантом степени 3 и порядка 3. Они связаны сизигией степени 6 и порядка 6. (Schur 1968, II.8) (Hilbert 1993, XVII, XX) ${\displaystyle F_{3}(x,y)=Ax^{3}+3Bx^{2}y+3Cxy^{2}+Dy^{3}}$ ${\displaystyle \Delta =3B^{2}C^{2}+6ABCD-4B^{3}D-4C^{3}A-A^{2}D^{2}}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle 4H^{3}=Df^{2}-T^{2}}$

Коварианты бинарной квартики

Алгебра инвариантов квартической формы порождается инвариантами степеней 2, 3: ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}F_{4}(x,y)&=Ax^{4}+4Bx^{3}y+6Cx^{2}y^{2}+4Dxy^{3}+Ey^{4}\\i_{F_{4}}&=AE-4BD+3C^{2}\\j_{F_{4}}&=ACE+2BCD-C^{3}-B^{2}E-AD^{2}\end{aligned}}}$$

Это кольцо естественно изоморфно кольцу модулярных форм уровня 1, с двумя генераторами, соответствующими рядам Эйзенштейна и . Алгебра ковариантов порождается этими двумя инвариантами вместе с формой степени 1 и порядка 4, гессианом степени 2 и порядка 4 и ковариантом степени 3 и порядка 6. Они связаны сизигией степени 6 и порядка 12. (Schur 1968, II.8) (Hilbert 1993, XVIII, XXII) ${\displaystyle E_{4}}$ ${\displaystyle E_{6}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle jf^{3}-Hf^{2}i+4H^{3}+T^{2}=0}$

Коварианты бинарной квинтики

Алгебра инвариантов пятой формы была найдена Сильвестром и порождается инвариантами степеней 4, 8, 12, 18. Генераторы степеней 4, 8, 12 порождают кольцо полиномов, которое содержит квадрат косого инварианта Эрмита степени 18. Инварианты довольно сложно выписать явно: Сильвестр показал, что генераторы степеней 4, 8, 12, 18 имеют 12, 59, 228 и 848 членов, часто с очень большими коэффициентами. (Schur 1968, II.9) (Hilbert 1993, XVIII) Кольцо ковариантов порождается 23 ковариантами, один из которых является канонизантом степени 3 и порядка 3.

Коварианты бинарного секстика

Алгебра инвариантов секстической формы порождается инвариантами степени 2, 4, 6, 10, 15. Генераторы степеней 2, 4, 6, 10 порождают кольцо полиномов, которое содержит квадрат генератора степени 15. (Schur 1968, II.9) Кольцо ковариантов порождается 26 ковариантами. Кольцо инвариантов тесно связано с пространством модулей кривых рода 2, поскольку такая кривая может быть представлена ​​как двойное накрытие проективной прямой, разветвленное в 6 точках, а 6 точек могут быть взяты в качестве корней бинарной секстики.

Коварианты бинарного септика

Кольцо инвариантов бинарных септиков является аномальным и вызвало несколько опубликованных ошибок. Кэли неверно утверждал, что кольцо инвариантов не является конечно порожденным. Сильвестр и Франклин (1879) дали нижние границы 26 и 124 для числа генераторов кольца инвариантов и кольца ковариантов и заметили, что недоказанный «фундаментальный постулат» подразумевал бы, что равенство имеет место. Однако фон Галль (1888) показал, что числа Сильвестра не равны числам генераторов, которые равны 30 для кольца инвариантов и по крайней мере 130 для кольца ковариантов, поэтому фундаментальный постулат Сильвестра неверен. Фон Галль (1888) и Диксмье и Лазар (1988) показали, что алгебра инвариантов формы степени 7 порождается набором с 1 инвариантом степени 4, 3 — степени 8, 6 — степени 12, 4 — степени 14, 2 — степени 16, 9 — степени 18 и по одному инварианту каждой из степеней 20, 22, 26, 30. Крёни (2002) приводит 147 генераторов для кольца ковариантов.

Коварианты двоичной октавы

Сильвестр и Франклин (1879) показали, что кольцо инвариантов формы степени 8 порождается 9 инвариантами степеней 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, а кольцо ковариантов порождается 69 ковариантами. Август фон Галль (von Gall (1880)) и Сиода (1967) подтвердили генераторы для кольца инвариантов и показали, что идеал отношений между ними порождается элементами степеней 16, 17, 18, 19, 20.

Коварианты бинарного ноника

Брауэр и Поповичиу (2010a) показали, что алгебра инвариантов формы степени 9 порождается 92 инвариантами. Крёни, Хагедорн и Брауэр ^[1] вычислили 476 ковариантов, а Лерсье и Олив показали, что этот список является полным.

Коварианты бинарного децимического

Сильвестр заявил, что кольцо инвариантов бинарных дециков порождается 104 инвариантами, кольцо ковариантов — 475 ковариантами; его список должен быть правильным для степеней до 16, но неверным для более высоких степеней. Брауэр и Поповичиу (2010b) показали, что алгебра инвариантов формы степени 10 порождается 106 инвариантами. Хагедорн и Брауэр ^[1] вычислили 510 ковариантов, а Лерсье и Олив показали, что этот список является полным.

Коварианты бинарного ундецимика

Кольцо инвариантов бинарных форм степени 11 является сложным и до сих пор не описано явно.

Коварианты бинарного дуодецима

Для форм степени 12 Сильвестр (1881) обнаружил, что в степенях до 14 существует 109 основных инвариантов. В более высоких степенях их не менее 4. Число основных ковариантов составляет не менее 989.

Количество генераторов для инвариантов и ковариантов бинарных форм можно найти в (последовательность A036983 в OEIS ) и (последовательность A036984 в OEIS ) соответственно.

Инварианты нескольких бинарных форм

Коварианты бинарной формы по сути те же самые, что и совместные инварианты бинарной формы и бинарной линейной формы. В более общем смысле, можно запросить совместные инварианты (и коварианты) любой коллекции бинарных форм. Некоторые изученные случаи перечислены ниже.

Примечания:

• Основные инварианты линейной формы по сути совпадают с ее основными ковариантами.
• Для двух квартик существует 8 основных инвариантов (3 степени 2, 4 степени 3 и 1 степени 4) и 28 основных ковариантов. (Гордан дал 30 ковариантов, но Сильвестр показал, что два из них приводимы.)

Несколько форм:

• Коварианты нескольких линейных форм: Кольцо инвариантов линейных форм порождается инвариантами степени 2. Кольцо ковариантов линейных форм по сути то же самое, что и кольцо инвариантов линейных форм. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n(n-1)/2}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n+1}$
• Коварианты нескольких линейных и квадратичных форм:
  • Кольцо инвариантов суммы линейных форм и квадратичных форм порождается генераторами степени 2, степени 3 и степени 4. ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m(m-1)/2+n(n+1)/2}$ ${\displaystyle nm(m+1)/2+n(n-1)(n-2)/6}$ ${\displaystyle m(m+1)n(n-1)/4}$
  • Для числа генераторов кольца ковариантов измените на . ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m+1}$
• Коварианты многих кубических или квартических степеней: см. Young (1898).

Смотрите также

• Тройной кубический
• Тернарный квартик

Ссылки

1. Brouwer, Инварианты и коварианты квантики

• Брауэр, Андриеш Э.; Поповичиу, Михаэла (2010a), «Инварианты двоичного ноника», Журнал символических вычислений , 45 (6): 709–720, arXiv : 1002.0761 , doi : 10.1016/j.jsc.2010.03.003, ISSN  0747-7171, MR  2639312, S2CID  30297
• Брауэр, Андриеш Э.; Поповичиу, Михаэла (2010b), «Инварианты двоичной децимической системы счисления», Журнал символических вычислений , 45 (8): 837–843, arXiv : 1002.1008 , doi : 10.1016/j.jsc.2010.03.002, ISSN  0747-7171, MR  2657667, S2CID  12702092
• Крони, Хольгер (2002), Zur Berechnung von Kovarianten von Quantiken (Диссертация), Саарбрюккен: Univ. Саарланд
• Диксмье, Жак; Лазар, Д. (1988), «Минимальное число фундаментальных инвариантов для двоичной формы степени 7», Журнал символических вычислений , 6 (1): 113–115, doi : 10.1016/S0747-7171(88)80026-9 , ISSN  0747-7171, MR  0961375
• фон Галл, Август Фрейхерр (1880), «Das vollständige Formensystem einer binären Form achter Ordnung», Mathematische Annalen , 17 (1): 31–51, doi : 10.1007/BF01444117, ISSN  0025-5831, MR  1510048, S2CID  120828980
• фон Галл, Август Фрейхерр (1888), «Das vollständige Formensystem der binären Form 7terOrdnung», Mathematische Annalen , 31 (3): 318–336, doi : 10.1007/BF01206218, ISSN  0025-5831, MR  1510486, S2CID  121051862
• Гордан, Пол (1868), «Beweis, dass jede Covariante und Invariante einer binären Form eine ganze Funktion mit numerischen Coeffizienten einer endlichen Anzahl solcher Formen ist», Journal für die reine und angewandte Mathematik , 1868 (69): 323–354, doi :10.1515/crll.1868.69.323, S2CID  120689164
• Гильберт, Дэвид (1993) [1897], Теория алгебраических инвариантов, Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-44457-6, г-н  1266168
• Кунг, Джозеф ПС; Рота, Джан-Карло (1984), «Инвариантная теория бинарных форм», Бюллетень Американского математического общества , Новая серия, 10 (1): 27–85, doi : 10.1090/S0273-0979-1984-15188-7 , ISSN  0002-9904, MR  0722856
• Шур, Иссаи (1968), Грунски, Гельмут (ред.), Vorlesungen über Invariantentheorie , Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, vol. 143, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN. 978-3-540-04139-9, МР  0229674
• Сиода, Тетсуджи (1967), «О градуированном кольце инвариантов двоичных октавиков», American Journal of Mathematics , 89 (4): 1022–1046, doi :10.2307/2373415, ISSN  0002-9327, JSTOR  2373415, MR  0220738
• Штурмфельс, Бернд (1993), Алгоритмы в теории инвариантов , Тексты и монографии по символическим вычислениям, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-3-211-77417-5, ISBN 978-3-211-82445-0, МР  1255980
• Сильвестр, Дж. Дж .; Франклин, Ф. (1879), «Таблицы производящих функций и основных форм для двоичных квантовых функций первых десяти порядков», American Journal of Mathematics , 2 (3): 223–251, doi : 10.2307/2369240, ISSN  0002-9327, JSTOR  2369240, MR  1505222
• Сильвестр, Джеймс Джозеф (1881), «Таблицы производящих функций и основных форм двоичной двенадцатеричной системы с некоторыми общими замечаниями и таблицы неприводимых сизигий некоторых квантических систем», American Journal of Mathematics , 4 (1), Издательство Университета Джонса Хопкинса: 41–61, doi : 10.2307/2369149, ISSN  0002-9327, JSTOR  2369149
• Янг, А. (ноябрь 1898 г.). «Неприводимые сопутствующие элементы любого числа двоичных квартик». Труды Лондонского математического общества . s1-30 (1): 290–307. doi :10.1112/plms/s1-30.1.290.

Внешние ссылки

• Брауэр, Андрис Э., Инварианты бинарных форм