Обратное распределение Дирихле

В статистике инвертированное распределение Дирихле является многомерным обобщением бета-простого распределения и связано с распределением Дирихле . Впервые оно было описано Тиао и Каттманом в 1965 году. ^[1]

Распределение имеет функцию плотности, заданную выражением

${\displaystyle p\left(x_{1},\ldots ,x_{k}\right)={\frac {\Gamma \left(\nu _{1}+\cdots +\nu _{k+1}\right)}{\prod _{j=1}^{k+1}\Gamma \left(\nu _{j}\right)}}x_{1}^{\nu _{1}-1}\cdots x_{k}^{\nu _{k}-1}\times \left(1+\sum _{i=1}^{k}x_{i}\right)^{-\sum _{j=1}^{k+1}\nu _{j}},\qquad x_{i}>0.}$

Распределение имеет приложения в статистической регрессии и возникает естественным образом при рассмотрении многомерного распределения Стьюдента . Его можно охарактеризовать ^[2] его смешанными моментами :

${\displaystyle E\left[\prod _{i=1}^{k}x_{i}^{q_{i}}\right]={\frac {\Gamma \left(\nu _{k+1}-\sum _{j=1}^{k}q_{j}\right)}{\Gamma \left(\nu _{k+1}\right)}}\prod _{j=1}^{k}{\frac {\Gamma \left(\nu _{j}+q_{j}\right)}{\Gamma \left(\nu _{j}\right)}}}$

при условии, что и . ${\displaystyle q_{j}>-\nu _{j},1\leqslant j\leqslant k}$ ${\displaystyle \nu _{k+1}>q_{1}+\ldots +q_{k}}$

Обратное распределение Дирихле сопряжено с отрицательным полиномиальным распределением , если вместо вероятностей категорий использовать обобщенную форму отношения шансов — если вектор параметров отрицательного полиномиального распределения задан как , путем изменения параметров отрицательного полиномиального распределения на , где . ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle x_{i}={\frac {p_{i}}{p_{0}}},i=1\ldots k}$ ${\displaystyle p_{0}=1-\sum _{i=1}^{k}p_{i}}$

T. Bdiri et al. разработали несколько моделей, которые используют инвертированное распределение Дирихле для представления и моделирования негауссовых данных. Они ввели конечные ^{[3] [4]} и бесконечные ^[5] модели смесей инвертированных распределений Дирихле, используя технику Ньютона-Рафсона для оценки параметров и процесс Дирихле для моделирования бесконечных смесей. T. Bdiri et al. также использовали инвертированное распределение Дирихле, чтобы предложить подход к генерации ядер опорных векторов ^[6] на основе байесовского вывода и другой подход к установлению иерархической кластеризации . ^{[7] [8]}

Ссылки

1. Тиао, Джордж (1965). «Обратное распределение Дирихле с приложениями». Журнал Американской статистической ассоциации . 60 (311): 793–805. doi :10.1080/01621459.1965.10480828.
2. Горбель, М. (2010). «Об обратном распределении Дирихле». Сообщения по статистике — теория и методы . 39 : 21–37. doi :10.1080/03610920802627062. S2CID  122956752.
3. Bdiri, Taoufik; Nizar, Bouguila (2012). «Кластеризация положительных векторов с использованием инвертированных моделей конечных смесей Дирихле». Expert Systems with Applications . 39 (2): 1869–1882. doi :10.1016/j.eswa.2011.08.063.
4. Bdiri, Taoufik; Bouguila, Nizar (2011). «Изучение обратных смесей Дирихле для кластеризации положительных данных». Грубые множества, нечеткие множества, интеллектуальный анализ данных и гранулярные вычисления . Конспект лекций по информатике. Том 6743. С. 265–272. doi :10.1007/978-3-642-21881-1_42. ISBN 978-3-642-21880-4.
5. Bdiri, Taoufik; Bouguila, Nizar (2011). "Бесконечная смесь инвертированных распределений Дирихле". Neural Information Processing . Lecture Notes in Computer Science. Vol. 7063. pp. 71–78. doi :10.1007/978-3-642-24958-7_9. ISBN 978-3-642-24957-0.
6. Бдири, Тауфик; Низар, Бугила (2013). «Байесовское обучение инвертированных смесей Дирихле для генерации ядер SVM» (PDF) . Нейронные вычисления и приложения . 23 (5): 1443–1458. doi :10.1007/s00521-012-1094-z. S2CID  254025619.
7. Бдири, Тауфик; Бугила, Низар; Зиу, Джемел (2014). «Кластеризация и распознавание объектов с использованием мультиконечных смесей для семантических классов и иерархического моделирования». Экспертные системы с приложениями . 41 (4): 1218–1235. doi :10.1016/j.eswa.2013.08.005.
8. Bdiri, Taoufik; Bouguila, Nizar; Ziou, Djemel (2013). «Визуальная категоризация сцен с использованием гибкой иерархической смешанной модели, поддерживающей онтологию пользователей». 2013 IEEE 25-я международная конференция по инструментам с искусственным интеллектом . стр. 262–267. doi :10.1109/ICTAI.2013.48. ISBN 978-1-4799-2972-6. S2CID  1236111.