J-интеграл

Расчет скорости энерговыделения деформации

J -интеграл представляет собой способ расчета скорости выделения энергии деформации или работы ( энергии ) на единицу площади поверхности разрушения в материале. ^[1] Теоретическая концепция J-интеграла была развита в 1967 году Г.П. Черепановым ^[2] и независимо в 1968 году Джеймсом Р. Райсом , ^[3] который показал, что энергетический контурный интеграл пути (называемый J ) не зависит от пути вокруг трещины .

Экспериментальные методы были разработаны с использованием интеграла, который позволил измерить критические свойства разрушения в размерах выборок, которые слишком малы для того, чтобы линейная механика упругого разрушения (LEFM) была достоверной. ^[4] Эти эксперименты позволяют определить вязкость разрушения по критическому значению энергии разрушения J _Ic , которое определяет точку, в которой происходит крупномасштабная пластическая текучесть во время распространения при нагрузке режима I. ^{[1] [5]}

J-интеграл равен скорости выделения энергии деформации для трещины в теле, подвергнутом монотонному нагружению. ^[6] В квазистатических условиях это вообще верно только для линейно-упругих материалов. Для материалов, которые испытывают небольшую текучесть на вершине трещины, J можно использовать для расчета скорости выделения энергии в особых обстоятельствах, таких как монотонная нагрузка в режиме III ( антиплоский сдвиг ). Скорость выделения энергии деформации также можно рассчитать по величине J для чисто степенных пластмассовых материалов, которые подвергаются небольшой текучести на вершине трещины.

Величина J не является независимой от траектории для монотонного режима I и режима II нагружения упругопластических материалов, поэтому только контур, очень близкий к вершине трещины, дает скорость энерговыделения. Кроме того, Райс показала, что J не зависит от пути в пластиковых материалах, когда нет непропорциональной нагрузки. Разгрузка является частным случаем этого, но непропорциональная пластическая загрузка также лишает законной силы независимость от пути. Такое непропорциональное нагружение является причиной траекторной зависимости режимов плоскостного нагружения упругопластических материалов.

Двумерный J-интеграл

Рисунок 1. Линия J-интеграла вокруг выреза в двух измерениях.

Двумерный J-интеграл первоначально был определен как ^[3] (иллюстрацию см. на рисунке 1).

${\displaystyle J:=\int _{\Gamma }\left(W~\mathrm {d} x_{2}-\mathbf {t} \cdot {\cfrac {\partial \mathbf {u} }{\partial x_{1}}}~\mathrm {d} s\right)=\int _{\Gamma }\left(W~\mathrm {d} x_{2}-t_{i}\,{\cfrac {\partial u_{i}}{\partial x_{1}}}~\mathrm {d} s\right)}$

где W ( x ₁ , x ₂ ) – плотность энергии деформации, x ₁ , x ₂ – координатные направления, t  = [ σ ] n – вектор поверхностного сцепления , n – нормаль к кривой Γ, [ σ ] – тензор напряжений Коши , u — вектор смещения . Плотность энергии деформации определяется выражением

${\displaystyle W=\int _{0}^{[\varepsilon ]}[{\boldsymbol {\sigma }}]:d[{\boldsymbol {\varepsilon }}]~;~~[{\boldsymbol {\varepsilon }}]={\tfrac {1}{2}}\left[{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} +({\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} )^{T}\right]~.}$

J-интеграл вокруг вершины трещины часто выражается в более общей форме ^{[ нужна ссылка ]} (и в индексных обозначениях ) как

${\displaystyle J_{i}:=\lim _{\varepsilon \rightarrow 0}\int _{\Gamma _{\varepsilon }}\left(W(\Gamma )n_{i}-n_{j}\sigma _{jk}~{\cfrac {\partial u_{k}(\Gamma ,x_{i})}{\partial x_{i}}}\right)\,d\Gamma }$

где – составляющая J-интеграла раскрытия трещины по направлению, – небольшая область вокруг вершины трещины. Используя теорему Грина, мы можем показать, что этот интеграл равен нулю, когда граница замкнута и охватывает область, не содержащую особенностей и односвязную . Если на берегах трещины нет поверхностного сцепления , то J-интеграл также не зависит от пути . ${\displaystyle J_{i}}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \Gamma }$

Райс также показал, что значение J-интеграла представляет собой скорость выделения энергии при росте плоской трещины. J-интеграл был разработан из-за трудностей расчета напряжений вблизи трещины в нелинейно- упругом или упругопластическом материале . Райс показал, что если предположить монотонную нагрузку (без какой-либо пластической разгрузки), то J-интеграл можно использовать и для расчета скорости энерговыделения пластиковых материалов.

J-интеграл и вязкость разрушения

Для изотропных, совершенно хрупких, линейно-упругих материалов J-интеграл может быть напрямую связан с вязкостью разрушения, если трещина распространяется прямо вперед по отношению к ее первоначальной ориентации. ^[6]

Для плоской деформации в условиях нагружения режима I это соотношение имеет вид

${\displaystyle J_{\rm {Ic}}=G_{\rm {Ic}}=K_{\rm {Ic}}^{2}\left({\frac {1-\nu ^{2}}{E}}\right)}$

где – критическая скорость выделения энергии деформации, – вязкость разрушения при нагружении в режиме I, – коэффициент Пуассона, а E – модуль Юнга материала. ${\displaystyle G_{\rm {Ic}}}$ ${\displaystyle K_{\rm {Ic}}}$ ${\displaystyle \nu }$

Для режима нагрузки II соотношение между J-интегралом и вязкостью разрушения в режиме II ( ) равно ${\displaystyle K_{\rm {IIc}}}$

${\displaystyle J_{\rm {IIc}}=G_{\rm {IIc}}=K_{\rm {IIc}}^{2}\left[{\frac {1-\nu ^{2}}{E}}\right]}$

Для загрузки в режиме III соотношение

${\displaystyle J_{\rm {IIIc}}=G_{\rm {IIIc}}=K_{\rm {IIIc}}^{2}\left({\frac {1+\nu }{E}}\right)}$

Эластопластиковые материалы и решение HRR

Пути расчета J-интеграла вокруг трещины в двумерном упругопластическом материале.

Хатчинсон, Райс и Розенгрен ^{[7] [8]} впоследствии показали, что J характеризует сингулярные поля напряжений и деформаций в вершине трещины в нелинейных (степенных упрочняющих) упругопластических материалах, где размер пластической зоны мал по сравнению с длина трещины. Хатчинсон использовал материальный конститутивный закон вида, предложенного У. Рамбергом и У. Осгудом : ^[9]

${\displaystyle {\frac {\varepsilon }{\varepsilon _{y}}}={\frac {\sigma }{\sigma _{y}}}+\alpha \left({\frac {\sigma }{\sigma _{y}}}\right)^{n}}$

где σ — напряжение при одноосном растяжении, σ _y — предел текучести , ε — деформация , а ε _y = σ _y / E — соответствующая деформация текучести. Величина E представляет собой модуль упругости материала. Модель параметризуется α , безразмерной постоянной характеристикой материала, и n , коэффициентом наклепа . Эта модель применима только для ситуаций, когда напряжение возрастает монотонно, компоненты напряжений остаются примерно в тех же соотношениях по мере развития нагружения (пропорциональное нагружение), а разгрузка отсутствует .

Если к телу, показанному на соседнем рисунке, приложено растягивающее напряжение σfar _{в дальней зоне, J-интеграл по пути Γ 1} (выбранному полностью внутри упругой зоны) определяется выражением

${\displaystyle J_{\Gamma _{1}}=\pi \,(\sigma _{\text{far}})^{2}\,.}$

Поскольку полный интеграл вокруг трещины равен нулю, а вклады вдоль поверхности трещины равны нулю, имеем

${\displaystyle J_{\Gamma _{1}}=-J_{\Gamma _{2}}\,.}$

Если путь Γ ₂ выбран так, что он находится внутри полностью пластической области, Хатчинсон показал, что

${\displaystyle J_{\Gamma _{2}}=-\alpha \,K^{n+1}\,r^{(n+1)(s-2)+1}\,I}$

где K — амплитуда напряжений, ( r , θ ) — полярная система координат с началом в вершине трещины, s — константа, определяемая из асимптотического разложения поля напряжений вокруг трещины, а I — безразмерный интеграл. Связь между J-интегралами вокруг Γ ₁ и Γ ₂ приводит к ограничению

${\displaystyle s={\frac {2n+1}{n+1}}}$

и выражение для K через напряжение в дальней зоне

${\displaystyle K=\left({\frac {\beta \,\pi }{\alpha \,I}}\right)^{\frac {1}{n+1}}\,(\sigma _{\text{far}})^{\frac {2}{n+1}}}$

где β = 1 для плоского напряжения и β = 1 − ν ² для плоской деформации ( ν — коэффициент Пуассона ).

Асимптотическое разложение поля напряжений и изложенные выше идеи можно использовать для определения полей напряжений и деформаций в терминах J-интеграла:

${\displaystyle \sigma _{ij}=\sigma _{y}\left({\frac {EJ}{r\,\alpha \sigma _{y}^{2}I}}\right)^{{1} \over {n+1}}{\tilde {\sigma }}_{ij}(n,\theta )}$

${\displaystyle \varepsilon _{ij}={\frac {\alpha \varepsilon _{y}}{E}}\left({\frac {EJ}{r\,\alpha \sigma _{y}^{2}I}}\right)^{{n} \over {n+1}}{\tilde {\varepsilon }}_{ij}(n,\theta )}$

где и – безразмерные функции. ${\displaystyle {\tilde {\sigma }}_{ij}}$ ${\displaystyle {\tilde {\varepsilon }}_{ij}}$

Эти выражения показывают, что J можно интерпретировать как пластический аналог коэффициента интенсивности напряжений ( K ), который используется в линейной механике упругого разрушения, т. е. мы можем использовать такой критерий, как J > J _Ic , в качестве критерия роста трещины.

Смотрите также

• Вязкость разрушения
• Прочность
• Механика разрушения
• Коэффициент интенсивности напряжения
• Природа локального поля полосы скольжения

Рекомендации

1. Ван Влит, Кристин Дж. (2006); «3.032 Механическое поведение материалов»
2. Г. П. Черепанов, Распространение трещин в сплошной среде , Журнал прикладной математики и механики, 31 (3), 1967, стр. 503–512.
3. Дж. Р. Райс, Независимый от траектории интеграл и приблизительный анализ концентрации деформации по выемкам и трещинам , Журнал прикладной механики, 35, 1968, стр. 379–386.
4. Ли, РФ, и Донован, Дж.А. (1987). J-интеграл и смещение раскрытия трещины как критерии возникновения трещин в натуральном каучуке в образцах, подвергнутых чистому сдвигу и растяжению. Химия и технология резины, 60 (4), 674–688. [1]
5. Мейерс и Чавла (1999): «Механическое поведение материалов», 445–448.
6. Йода, М., 1980, J-интегральная вязкость разрушения для режима II , Int. J. Fracture, 16(4), стр. R175–R178.
7. Хатчинсон, Дж. В. (1968), «Особое поведение в конце трещины растяжения в затвердевающем материале» (PDF) , Журнал механики и физики твердых тел , 16 (1): 13–31, Бибкод : 1968JMPSo.. 16...13H, дои : 10.1016/0022-5096(68)90014-8
8. Райс, младший; Розенгрен, Г.Ф. (1968), «Плоская деформация вблизи вершины трещины в степенном упрочняющемся материале», Журнал механики и физики твердого тела , 16 (1): 1–12, Бибкод : 1968JMPSo..16.. ..1R, doi :10.1016/0022-5096(68)90013-6, заархивировано из оригинала 4 сентября 2013 г.
9. Рамберг, Уолтер; Осгуд, Уильям Р. (1943), «Описание кривых напряжения-деформации по трем параметрам», Национальный консультативный комитет США по аэронавтике , 902.

Внешние ссылки

• Дж. Р. Райс, «Независимый от траектории интеграл и приблизительный анализ концентрации деформации по выемкам и трещинам», Журнал прикладной механики, 35, 1968, стр. 379–386.
• Ван Влит, Кристин Дж. (2006); «3.032 Механическое поведение материалов», [2]
• X. Чен (2014), «Независимый от траектории интеграл», В: Энциклопедия термических напряжений, под редакцией Р.Б. Хетнарски, Springer, ISBN 978-9400727380 . 
• Заметки профессора Джона Хатчинсона (из Гарвардского университета) по нелинейной механике разрушения.
• Заметки о разрушении тонких пленок и многослойных материалов профессора Джона Хатчинсона (из Гарвардского университета)
• Смешанное растрескивание в слоистых материалах проф. Джон Хатчинсон и Чжиган Суо (из Гарвардского университета)
• «Механика разрушения», Пит Шрёрс (из ТУ Эйндховена, Нидерланды)
• Введение в механику разрушения, доктор Ч. Ван (DSTO, Австралия)
• Конспекты курса механики разрушения профессора Руи Хуанга (из Техасского университета в Остине)
• Решения HRR Людовика Ноэлса (Льежский университет)