Матрица Якоби и определитель

Матрица всех частных производных первого порядка векторнозначной функции

В векторном исчислении матрица Якоби ( / dʒ ə ˈ k oʊ b i ə n / , ^{[1] [2] [3]} / dʒ ɪ -, j ɪ -/ ) векторной функции нескольких переменных является матрицей всех ее частных производных первого порядка . Когда эта матрица является квадратной , то есть когда функция принимает то же количество переменных в качестве входных данных, что и количество векторных компонентов ее выходных данных, ее определитель называется определителем Якоби . И матрица, и (если применимо) определитель часто упоминаются просто как якобиан в литературе. ^[4] Они названы в честь Карла Густава Якоби .

Определение

Предположим, что f  : R ⁿ → R ^m — функция, такая, что каждая из ее частных производных первого порядка существует на R ⁿ . Эта функция принимает точку x ∈ R ⁿ в качестве входных данных и производит вектор f ( x ) ∈ R ^m в качестве выходных данных. Тогда матрица Якоби функции f , обозначаемая J _f ∈ R ^{m × n} , определяется таким образом, что ее ( i , j ) ^-й элемент равен , или явно, где — транспонированный (вектор-строка) градиента -го компонента . ${\textstyle {\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}}$ $${\displaystyle \mathbf {J_{f}} ={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial \mathbf {f} }{\partial x_{1}}}&\cdots &{\dfrac {\partial \mathbf {f} }{\partial x_{n}}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\nabla ^{\mathrm {T} }f_{1}\\\vdots \\\nabla ^{\mathrm {T} }f_{m}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\dfrac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\dfrac {\partial f_{m}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\dfrac {\partial f_{m}}{\partial x_{n}}}\end{bmatrix}}}$$ ${\displaystyle \nabla ^{\mathrm {T} }f_{i}}$ ${\displaystyle i}$

Матрица Якоби, элементы которой являются функциями x , обозначается различными способами; другие распространенные обозначения включают D f , , и . ^{[5] [6]} Некоторые авторы определяют якобиан как транспонированную форму приведенной выше. ${\displaystyle \nabla \mathbf {f} }$ ${\displaystyle {\frac {\partial (f_{1},..,f_{m})}{\partial (x_{1},..,x_{n})}}}$

Матрица Якоби представляет дифференциал f в каждой точке, где f дифференцируема. Подробно, если h — вектор смещения, представленный матрицей-столбцом , матричное произведение J ( x ) ⋅ h — другой вектор смещения, который является наилучшим линейным приближением изменения f в окрестности x , если f ( x ) дифференцируема в точке x . ^[a] Это означает, что функция, которая отображает y в f ( x ) + J ( x ) ⋅ ( y – x ) является наилучшим линейным приближением f ( y ) для всех точек y близких к x . Линейное отображение h → J ( x ) ⋅ h известно как производная или дифференциал f в точке x .

Когда m = n , матрица Якоби является квадратной, поэтому ее определитель является четко определенной функцией x , известной как определитель Якоби для f . Он несет важную информацию о локальном поведении f . В частности, функция f имеет дифференцируемую обратную функцию в окрестности точки x тогда и только тогда, когда определитель Якоби отличен от нуля в точке x (см. гипотезу Якобиана для связанной проблемы глобальной обратимости). Определитель Якоби также появляется при замене переменных в кратных интегралах (см. правило подстановки для кратных переменных ).

Когда m = 1 , то есть когда f  : R ⁿ → R является скалярной функцией , матрица Якоби сводится к вектору-строке ; этот вектор-строка всех частных производных первого порядка от f является транспонированным градиентом от f , то есть . Конкретизируя далее, когда m = n = 1 , то есть когда f  : R → R является скалярной функцией одной переменной, матрица Якоби имеет единственный элемент; этот элемент является производной функции f . ${\displaystyle \nabla ^{\mathrm {T} }f}$ ${\displaystyle \mathbf {J} _{f}=\nabla ^{T}f}$

Эти концепции названы в честь математика Карла Густава Якоба Якоби (1804–1851).

Матрица Якоби

Якобиан векторной функции от нескольких переменных обобщает градиент скалярной функции от нескольких переменных, которая в свою очередь обобщает производную скалярной функции от одной переменной. Другими словами, матрица Якоби скалярной функции от нескольких переменных является (транспонированной) ее градиентом, а градиент скалярной функции от одной переменной является ее производной.

В каждой точке, где функция дифференцируема, ее матрицу Якоби можно также рассматривать как описание величины «растяжения», «поворота» или «преобразования», которое функция накладывает локально вблизи этой точки. Например, если ( x ′, y ′) = f ( x , y ) используется для плавного преобразования изображения, матрица Якоби J _f ( x , y ) описывает, как преобразуется изображение в окрестности ( x , y ) .

Если функция дифференцируема в точке, ее дифференциал задается в координатах матрицей Якоби. Однако функция не обязательно должна быть дифференцируемой для определения ее матрицы Якоби, поскольку требуется существование только ее частных производных первого порядка.

Если f дифференцируема в точке p в R ⁿ , то ее дифференциал представлен как J _f ( p ) . В этом случае линейное преобразование , представленное как J _f ( p ), является наилучшим линейным приближением f вблизи точки p , в том смысле, что

$${\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {x} )-\mathbf {f} (\mathbf {p} )=\mathbf {J} _{\mathbf {f} }(\mathbf {p} )(\mathbf {x} -\mathbf {p} )+o(\|\mathbf {x} -\mathbf {p} \|)\quad ({\text{as }}\mathbf {x} \to \mathbf {p} ),}$$

где o (‖ x − p ‖) — величина , которая стремится к нулю гораздо быстрее, чем расстояние между x и p , когда x приближается к p . Это приближение специализируется на приближении скалярной функции одной переменной ее полиномом Тейлора первой степени, а именно

$${\displaystyle f(x)-f(p)=f'(p)(x-p)+o(x-p)\quad ({\text{as }}x\to p).}$$

В этом смысле якобиан можно рассматривать как своего рода « производную первого порядка » векторной функции многих переменных. В частности, это означает, что градиент скалярной функции многих переменных также можно рассматривать как ее «производную первого порядка».

Компонуемые дифференцируемые функции f  : R ⁿ → R ^m и g  : R ^m → R ^k удовлетворяют правилу цепочки , а именно для x из R ⁿ . ${\displaystyle \mathbf {J} _{\mathbf {g} \circ \mathbf {f} }(\mathbf {x} )=\mathbf {J} _{\mathbf {g} }(\mathbf {f} (\mathbf {x} ))\mathbf {J} _{\mathbf {f} }(\mathbf {x} )}$

Якобиан градиента скалярной функции нескольких переменных имеет специальное название: матрица Гессе , которая в некотором смысле является « второй производной » рассматриваемой функции.

определитель Якоби

Нелинейное отображение отправляет небольшой квадрат (слева, в красном) в искаженный параллелограмм (справа, в красном). Якобиан в точке дает наилучшее линейное приближение искаженного параллелограмма вблизи этой точки (справа, в полупрозрачном белом), а определитель Якобиана дает отношение площади аппроксимирующего параллелограмма к площади исходного квадрата. ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}}$

Если m = n , то f — функция из R ⁿ в себя, а матрица Якоби — квадратная матрица . Затем мы можем сформировать ее определитель , известный как определитель Якоби . Определитель Якоби иногда просто называют «якобианом».

Определитель Якоби в заданной точке дает важную информацию о поведении f вблизи этой точки. Например, непрерывно дифференцируемая функция f обратима вблизи точки p ∈ R n ^, если определитель Якоби в точке p не равен нулю. Это теорема об обратной функции . Более того, если определитель Якоби в точке p положителен , то f сохраняет ориентацию вблизи точки p ; если он отрицателен , то f меняет ориентацию. Абсолютное значение определителя Якоби в точке p дает нам множитель, на который функция f расширяет или сжимает объемы вблизи точки p ; вот почему это встречается в общем правиле подстановки .

Определитель Якоби используется при замене переменных при оценке кратного интеграла функции по области внутри ее области. Чтобы учесть изменение координат, величина определителя Якоби возникает как мультипликативный множитель внутри интеграла. Это происходит потому, что n -мерный элемент dV в общем случае является параллелепипедом в новой системе координат, а n -объем параллелепипеда является определителем его граничных векторов.

Якобиан также можно использовать для определения устойчивости равновесий систем дифференциальных уравнений путем аппроксимации поведения вблизи точки равновесия.

Обратный

Согласно теореме об обратной функции , матрица, обратная матрице Якоби обратимой функции f :  R n ^→ R n ^, есть матрица Якоби обратной функции . То есть матрица Якоби обратной функции в точке p равна а определитель Якоби равен $${\displaystyle \mathbf {J} _{\mathbf {f} ^{-1}}(\mathbf {p} )={\mathbf {J} _{\mathbf {f} }^{-1}(\mathbf {f} ^{-1}(\mathbf {p} ))},}$$

${\displaystyle \det(\mathbf {J} _{\mathbf {f} ^{-1}}(\mathbf {p} ))={\frac {1}{\det(\mathbf {J} _{\mathbf {f} }(\mathbf {f} ^{-1}(\mathbf {p} )))}}}$.

Если якобиан непрерывен и невырожден в точке p в R n , то f обратима при ограничении на некоторую окрестность p . Другими словами ^, если определитель якобиана не равен нулю в точке, то функция локально обратима вблизи этой точки.

(Недоказанная) гипотеза Якобиана связана с глобальной обратимостью в случае полиномиальной функции, то есть функции, определяемой n полиномами от n переменных. Она утверждает, что если определитель Якобиана является ненулевой константой (или, что то же самое, что он не имеет комплексного нуля), то функция обратима, а ее обратная функция является полиномиальной функцией.

Критические точки

Если f  : R ⁿ → R ^m — дифференцируемая функция , то критическая точка f — это точка, в которой ранг матрицы Якоби не максимален. Это означает, что ранг в критической точке ниже ранга в некоторой соседней точке. Другими словами, пусть k — максимальная размерность открытых шаров, содержащихся в образе f ; тогда точка является критической, если все миноры ранга k функции f равны нулю.

В случае, когда m = n = k , точка является критической, если определитель Якоби равен нулю.

Примеры

Пример 1

Рассмотрим функцию f  : R ² → R ² , где ( x , y ) ↦ ( f ₁ ( x , y ), f ₂ ( x , y )), заданную как $${\displaystyle \mathbf {f} \left({\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}\right)={\begin{bmatrix}f_{1}(x,y)\\f_{2}(x,y)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}x^{2}y\\5x+\sin y\end{bmatrix}}.}$$

Тогда мы имеем и матрица Якоби f равна и определитель Якоби равен $${\displaystyle f_{1}(x,y)=x^{2}y}$$ $${\displaystyle f_{2}(x,y)=5x+\sin y}$$ $${\displaystyle \mathbf {J} _{\mathbf {f} }(x,y)={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial f_{1}}{\partial x}}&{\dfrac {\partial f_{1}}{\partial y}}\\[1em]{\dfrac {\partial f_{2}}{\partial x}}&{\dfrac {\partial f_{2}}{\partial y}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2xy&x^{2}\\5&\cos y\end{bmatrix}}}$$ $${\displaystyle \det(\mathbf {J} _{\mathbf {f} }(x,y))=2xy\cos y-5x^{2}.}$$

Пример 2: полярно-декартово преобразование

Преобразование из полярных координат ( r , φ ) в декартовы координаты ( x , y ) задается функцией F : R ⁺ × [0, 2 π ) → R ² с компонентами: $${\displaystyle {\begin{aligned}x&=r\cos \varphi ;\\y&=r\sin \varphi .\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle \mathbf {J} _{\mathbf {F} }(r,\varphi )={\begin{bmatrix}{\frac {\partial x}{\partial r}}&{\frac {\partial x}{\partial \varphi }}\\[0.5ex]{\frac {\partial y}{\partial r}}&{\frac {\partial y}{\partial \varphi }}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \varphi &-r\sin \varphi \\\sin \varphi &r\cos \varphi \end{bmatrix}}}$$

Определитель Якоби равен r . Это можно использовать для преобразования интегралов между двумя системами координат: $${\displaystyle \iint _{\mathbf {F} (A)}f(x,y)\,dx\,dy=\iint _{A}f(r\cos \varphi ,r\sin \varphi )\,r\,dr\,d\varphi .}$$

Пример 3: сферически-декартово преобразование

Преобразование из сферических координат ( ρ , φ , θ ) ^[7] в декартовы координаты ( x , y , z ) задается функцией F : R ⁺ × [0, π ) × [0, 2 π ) → R ³ с компонентами: $${\displaystyle {\begin{aligned}x&=\rho \sin \varphi \cos \theta ;\\y&=\rho \sin \varphi \sin \theta ;\\z&=\rho \cos \varphi .\end{aligned}}}$$

Матрица Якоби для этого изменения координат имеет вид Определитель равен ρ 2 ^sin φ . Поскольку dV = dx dy dz — это объем для прямоугольного элемента дифференциального объема (потому что объем прямоугольной призмы является произведением ее сторон), мы можем интерпретировать dV = ρ ² sin φ dρ dφ dθ как объем сферического элемента дифференциального объема . В отличие от объема прямоугольного элемента дифференциального объема, объем этого элемента дифференциального объема не является константой и изменяется в зависимости от координат ( ρ и φ ). Его можно использовать для преобразования интегралов между двумя системами координат: $${\displaystyle \mathbf {J} _{\mathbf {F} }(\rho ,\varphi ,\theta )={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial x}{\partial \rho }}&{\dfrac {\partial x}{\partial \varphi }}&{\dfrac {\partial x}{\partial \theta }}\\[1em]{\dfrac {\partial y}{\partial \rho }}&{\dfrac {\partial y}{\partial \varphi }}&{\dfrac {\partial y}{\partial \theta }}\\[1em]{\dfrac {\partial z}{\partial \rho }}&{\dfrac {\partial z}{\partial \varphi }}&{\dfrac {\partial z}{\partial \theta }}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\sin \varphi \cos \theta &\rho \cos \varphi \cos \theta &-\rho \sin \varphi \sin \theta \\\sin \varphi \sin \theta &\rho \cos \varphi \sin \theta &\rho \sin \varphi \cos \theta \\\cos \varphi &-\rho \sin \varphi &0\end{bmatrix}}.}$$ $${\displaystyle \iiint _{\mathbf {F} (U)}f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz=\iiint _{U}f(\rho \sin \varphi \cos \theta ,\rho \sin \varphi \sin \theta ,\rho \cos \varphi )\,\rho ^{2}\sin \varphi \,d\rho \,d\varphi \,d\theta .}$$

Пример 4

Матрица Якоби функции F  : R ³ → R ⁴ с компонентами имеет вид $${\displaystyle {\begin{aligned}y_{1}&=x_{1}\\y_{2}&=5x_{3}\\y_{3}&=4x_{2}^{2}-2x_{3}\\y_{4}&=x_{3}\sin x_{1}\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle \mathbf {J} _{\mathbf {F} }(x_{1},x_{2},x_{3})={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial y_{1}}{\partial x_{1}}}&{\dfrac {\partial y_{1}}{\partial x_{2}}}&{\dfrac {\partial y_{1}}{\partial x_{3}}}\\[1em]{\dfrac {\partial y_{2}}{\partial x_{1}}}&{\dfrac {\partial y_{2}}{\partial x_{2}}}&{\dfrac {\partial y_{2}}{\partial x_{3}}}\\[1em]{\dfrac {\partial y_{3}}{\partial x_{1}}}&{\dfrac {\partial y_{3}}{\partial x_{2}}}&{\dfrac {\partial y_{3}}{\partial x_{3}}}\\[1em]{\dfrac {\partial y_{4}}{\partial x_{1}}}&{\dfrac {\partial y_{4}}{\partial x_{2}}}&{\dfrac {\partial y_{4}}{\partial x_{3}}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&0&5\\0&8x_{2}&-2\\x_{3}\cos x_{1}&0&\sin x_{1}\end{bmatrix}}.}$$

Этот пример показывает, что матрица Якоби не обязательно должна быть квадратной.

Пример 5

Определитель Якоби функции F  : R ³ → R ³ с компонентами равен $${\displaystyle {\begin{aligned}y_{1}&=5x_{2}\\y_{2}&=4x_{1}^{2}-2\sin(x_{2}x_{3})\\y_{3}&=x_{2}x_{3}\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{vmatrix}0&5&0\\8x_{1}&-2x_{3}\cos(x_{2}x_{3})&-2x_{2}\cos(x_{2}x_{3})\\0&x_{3}&x_{2}\end{vmatrix}}=-8x_{1}{\begin{vmatrix}5&0\\x_{3}&x_{2}\end{vmatrix}}=-40x_{1}x_{2}.}$$

Из этого мы видим, что F меняет ориентацию вблизи тех точек, где x ₁ и x ₂ имеют одинаковый знак; функция локально обратима всюду, за исключением точек, где x ₁ = 0 или x ₂ = 0. Интуитивно понятно, что если начать с крошечного объекта около точки (1, 2, 3) и применить F к этому объекту, то получится результирующий объект, объем которого примерно в 40 × 1 × 2 = 80 раз больше исходного, с обратной ориентацией.

Другие применения

Динамические системы

Рассмотрим динамическую систему вида , где — (покомпонентная) производная от по параметру эволюции (времени), и дифференцируема. Если , то — стационарная точка (также называемая устойчивым состоянием ). По теореме Хартмана–Гробмана поведение системы вблизи стационарной точки связано с собственными значениями , якобианом в стационарной точке. ^[8] В частности, если все собственные значения имеют действительные части, которые отрицательны, то система устойчива вблизи стационарной точки. Если какое-либо собственное значение имеет действительную часть, которая положительна, то точка неустойчива. Если наибольшая действительная часть собственных значений равна нулю, матрица Якоби не позволяет оценить устойчивость. ^[9] ${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}=F(\mathbf {x} )}$ ${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}}$ ${\displaystyle \mathbf {x} }$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle F\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle F(\mathbf {x} _{0})=0}$ ${\displaystyle \mathbf {x} _{0}}$ ${\displaystyle \mathbf {J} _{F}\left(\mathbf {x} _{0}\right)}$ ${\displaystyle F}$

Метод Ньютона

Квадратная система связанных нелинейных уравнений может быть решена итеративно методом Ньютона . Этот метод использует матрицу Якоби системы уравнений.

Регрессия и подгонка методом наименьших квадратов

Якобиан служит линеаризованной матрицей дизайна в статистической регрессии и подгонке кривой ; см. нелинейные наименьшие квадраты . Якобиан также используется в случайных матрицах, моментах, локальной чувствительности и статистической диагностике. ^{[10] [11]}

Смотрите также

• Центральный коллектор
• Матрица Гессе
• Pushforward (дифференциал)

Примечания

1. Дифференцируемость в точке x подразумевает, но не вытекает из существования всех частных производных первого порядка в точке x , и, следовательно, является более сильным условием.

Ссылки

1. "Якобианский - Определение якобианского на английском языке по Оксфордским словарям". Oxford Dictionaries - English . Архивировано из оригинала 1 декабря 2017 года . Получено 2 мая 2018 года .
2. "определение якобианского". Dictionary.com . Архивировано из оригинала 1 декабря 2017 . Получено 2 мая 2018 .
3. Команда, Forvo. "Произношение Jacobian: Как произносится Jacobian на английском языке". forvo.com . Получено 2 мая 2018 г. .
4. W., Weisstein, Eric. "Якобиан". mathworld.wolfram.com . Архивировано из оригинала 3 ноября 2017 г. . Получено 2 мая 2018 г. .{{cite web}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
5. Холдер, Аллен; Эйххольц, Джозеф (2019). Введение в вычислительную науку . Международная серия по исследованию операций и науке управления. Хам, Швейцария: Springer. стр. 53. ISBN 978-3-030-15679-4.
6. Ловетт, Стивен (2019-12-16). Дифференциальная геометрия многообразий. CRC Press. стр. 16. ISBN 978-0-429-60782-0.
7. Джоэл Хасс, Кристофер Хейл и Морис Вейр. Исчисление ранних трансценденталов Томаса, 14e . Пирсон, 2018, стр. 959.
8. Эрроусмит, Д.К.; Плейс, К.М. (1992). «Теорема линеаризации». Динамические системы: дифференциальные уравнения, отображения и хаотическое поведение . Лондон: Chapman & Hall. стр. 77–81. ISBN 0-412-39080-9.
9. Хирш, Моррис; Смейл, Стивен (1974). Дифференциальные уравнения, динамические системы и линейная алгебра . ISBN 0-12-349550-4.
10. Лю, Шуанчжэ; Лейва, Виктор; Чжуан, Дэн; Ма, Тиефенг; Фигероа-Сунига, Хорхе И. (март 2022 г.). «Матричное дифференциальное исчисление с приложениями в многомерной линейной модели и его диагностика». Журнал многомерного анализа . 188 : 104849. doi : 10.1016/j.jmva.2021.104849 .
11. Лю, Шуанчжэ; Тренклер, Гетц; Колло, Тыну; фон Розен, Дитрих; Баксалари, Оскар Мария (2023). «Профессор Хайнц Нойдекер и матричное дифференциальное исчисление». Статистические документы . doi : 10.1007/s00362-023-01499-w. S2CID  263661094.

Дальнейшее чтение

• Гандольфо, Джанкарло (1996). «Сравнительная статика и принцип соответствия». Экономическая динамика (третье изд.). Берлин: Springer. С. 305–330. ISBN 3-540-60988-1.
• Protter, Murray H. ; Morrey, Charles B. Jr. (1985). «Преобразования и якобианы». Intermediate Calculus (Второе изд.). Нью-Йорк: Springer. С. 412–420. ISBN 0-387-96058-9.

Внешние ссылки

• «Якобиан», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Mathworld Более техническое объяснение якобианов