Джон Пенн Мейберри (18 ноября 1939 г. – 19 августа 2016 г.) был американским философом-математиком и создателем самобытной аристотелевской философии математики , которую он изложил в своей книге «Основы математики в теории множеств» . [1] После получения докторской степени в Иллинойсе под руководством Гаиси Такеути в 1966 году он занял должность на математическом факультете Бристольского университета . Он оставался там до выхода на пенсию в 2004 году в качестве доцента по математике.
Философия Мэйберри отвергает платоновскую традицию, которая считает математику трансцендентальной наукой, занимающейся открытием истин о нематериальных, но интеллигибельных, объективных сущностях, как метафизически тщеславную. Эта позиция отличает его от того, что, вероятно, является взглядом «молчаливого большинства» среди практикующих математиков. Роджер Пенроуз красноречиво выражает типичную платоновскую позицию.
С другой стороны, Мейберри также яростно отвергает любое понимание математики, испорченное, как он бы это себе представлял, операционализмом. Он пишет:
Наиболее архетипичной и наиболее универсально распространенной из таких операционалистских доктрин является то, что натуральные числа могут быть построены, начиная с 1, прибавляя 1, чтобы получить 2, прибавляя 1 снова, чтобы получить 3, и продолжая до бесконечности. Это выражается обозначением N = 1, 2, 3 ……. где точки обозначают неопределенное повторение «прибавления 1». Принимая эти точки многоточия, человек принимает понятность неопределенной итерации. Мейберри не считает, что определение этого типа достаточно ясно и достаточно отделено от наивных и, возможно, ошибочных интуиций о природе времени, чтобы оправдать его включение в математику без дальнейшего обоснования. Он пишет:
Его позиция ставит его в противоречие не только с педагогической практикой последних нескольких столетий, но и с традицией, восходящей к античности. В Определении 4 Книги V своих Элементов Евклид определяет две величины одного типа, A и B, как «имеющие отношение друг к другу» следующим образом:
Другими словами, если многократное прибавление одного из них, скажем, A, к самому себе приводит к величине, которая превышает другое, скажем, B, то есть для некоторого натурального числа n , n A > B. Наоборот, A и B не имеют отношения друг к другу, если бесконечное многократное прибавление одного из них к самому себе никогда не даст величины, превышающей другое. В Книге V Евклид развивает общую теорию отношений, а в Книге VI демонстрирует силу концепции отношения как для значительного упрощения выводов, приведенных в Книгах I–IV, так и для расширения сферы действия некоторых теорем Книг I–IV. Особенно примечательными примерами являются Книга III Предл. 35, где сразу доступно гораздо более простое доказательство с использованием подобных треугольников, и Книга VI Предл. 31, где он распространяет теорему Пифагора с квадратов на общие подобные фигуры.
В Книге VII Евклид вводит, как еще один тип величины наряду со своими геометрическими величинами линии, угла и фигуры, понятие «арифмос». Его следует понимать как «множество единиц», где единица — это «то, посредством чего мы называем что-либо одним». С некоторыми оговорками относительно статуса синглтонов и пустого множества, греческое понятие «арифмос» таким образом, по сути, является современным понятием «множества». Мейберри отмечает, что его поразила сила откровения, что значение Общего понятия 5 Евклида — «целое больше части» — применительно к арифмоям заключается в том, что арифмос не может быть конгруэнтным, где это слово понимается вслед за Хитом как «может быть помещено с точной посадкой» [6] на любую собственную часть самого себя, или, другими словами, что множество конечно в современном смысле, когда нет соответствия 1-1 между множеством и собственным подмножеством самого себя. Тот факт, что греческая арифметика, и в частности VII-IX книги Евклида, на самом деле являются изучением конечных множеств, был затемнен повсеместным переводом «arithmos» как «число» и трансформацией понятия числа из его первоначального значения «arithmos» в «ratio», которая произошла в 17 веке. Трансформация смысла была ясно выражена Ньютоном в его «Лекциях».
Убеждения Мэйберри относительно истинной исторической последовательности событий в развитии ключевых математических концепций являются центральными для его философской ориентации. К ним его привело чтение «Греческой математической мысли и происхождения алгебры» Якоба Клейна [8] и мемуаров Ричарда Дедекинда «Was sind und was sollen die Zahlen» [9] .
С середины XVII по XIX век натуральные числа и понятие неограниченной итерации, на котором они основаны, приобрели основополагающий статус в математике, как с прагматической, так и с философской точки зрения. С философской стороны Кант классифицировал арифметические предложения как синтетическое априорное знание и, параллельно с аналогичным анализом геометрических теорем, которые он проследил до нашей интуиции пространства, проследил их убедительную природу до нашей интуиции времени. Общая позиция Канта в отношении арифметики получила одобрение величайших практикующих математиков XIX века. Даже Гаусс, хотя и не соглашался с позицией Канта относительно статуса геометрии, одобрил его позицию по арифметике.
Почти столетие спустя Пуанкаре пишет:
Из значительных фигур XIX века, похоже, только Дедекинд выступал против кантовского консенсуса. В своей работе Was sind und was sollen die Zahlen он хладнокровно пишет:
Дедекинд , которым Мейберри очень восхищался, показал, что натуральные числа могут быть установлены без какой-либо зависимости от кантовской интуиции времени или опоры на бесконечно повторяющиеся операции. Однако он сделал это на основе явного принятия аксиомы бесконечности Кантора, которую, как указывает Мейберри, лучше всего понимать просто как противоречие общему понятию 5 Евклида применительно к арифмо. Однако работа Дедекинда не привела к тому, что мнение о том, что натуральные числа и итерационные процессы имеют особый основополагающий статус, утратило доверие большинства математиков. Движение интуиционистов , разделяя с Мейберри неприятие платоновского понимания смысла математики, прибегло к операционалистскому пониманию предмета, загоняя принятие бесконечно длительных итерационных процессов в самую сердцевину своего мышления. Формалистское движение, следуя программе Гильберта по сохранению математических плодов аксиомы бесконечности Кантора посредством доказательств финитной непротиворечивости, также в самих определениях формальных систем и установлении их свойств придавало особый статус неопределенной итерации и связанным с ней определениям посредством рекурсии и доказательствам посредством индукции.
Позиция Мэйберри заключается в том, что все это, начиная с Книги V Евклида, представляет собой отклонение от истинного духа математики, как это показано в Книгах I-IV Евклида. Основная цель его книги - объяснить свою позицию и показать, что она не разъедает основное содержание или современную практику математики, но, в своей рекомендации более ясного аристотелевского понимания того, что такое математика, и стандарта строгости, соответствующего его более взыскательному пониманию смысла, он следует традиции, начатой Кантором, восстановления смысла математики после трех столетий формализма. Однако, в глазах Мэйберри современная платоновская доктрина, которая утверждает, что, скажем, надлежащие классы объективно существуют, является таким же отходом от здравого смысла и вероятной истинности, как, скажем, формалистически вдохновленная доктрина начала 19 века, « Принцип эквивалентности постоянных форм » Пикока. [13]
Позитивные философские взгляды Мейберри вытекают из его решительной приверженности небольшому числу философских доктрин, частично вдохновленных Аристотелем, а частично — размышлениями над почти двумя с половиной тысячелетиями математического опыта, особенно опыта XIX века.
Он является реалистом-аристотелевцем, в основном согласным с мнением Аристотеля о том, что математика, и в частности изучение арифм, является естественной наукой, занимающей свое место среди других специальных научных дисциплин, таких как энтомология или орнитология, и занимающейся объективно существующими вещами этого мира. Аристотель пишет:
(Аристотель имеет в виду, что в геометрии конкретные размеры конкретных объектов рассматриваются как случайные и не имеющие значения для геометра, а в арифметике аналогичным образом игнорируется тот факт, что конкретные единицы — люди, камешки и т. д. — на самом деле могут быть делимыми.)
и в других местах:
Наука, которой занимается Мейберри, — это арифметика, понимаемая как в очищенном варианте смысла, который Евклид придает этому слову в книгах VII–IX, так и, как он утверждает, в смысле, который Кантор придает этому слову. Первая из основных позиций Мейберри — согласие с Аристотелем в том, что арифметик изучает вещи и определенные множества вещей как единицы и арифмои по сути аналогично изучению энтомологом вещей и определенных множеств вещей как насекомых и колоний насекомых. Он принимает лапидарное определение Евклида «единицы», возражая только против перевода Хитом «εκαστον των οντων» как «каждая из вещей, которые существуют», как философски перегруженного. Что касается определения «арифмоса», Мэйберри принципиально предпочел бы слово «множество» в определении Евклида — «Арифмос — это множество, состоящее из единиц» — словом «определенный». Под этим он подразумевает, что арифмои имеют определенные объективно существующие границы или пределы — не в том смысле, что арифмои ограничены по размеру или поддаются какой-либо операционной процедуре, такой как подсчет, или включают в себя именно те вещи, для которых выполняется некоторое лингвистически сформулированное условие, но только в том смысле, что для любой отдельной вещи верно, что она либо находится в арифмосе, либо не находится в нем. В частности, соответствие общему понятию 5 (целое больше части) не подразумевается в самом понятии «арифмос», а лишь суждение о том, что все арифмои обладают, как это и происходит, этим свойством. Для множественностей, определяемых соответствием некоторому условию или соответствием некоторому общему существительному — например, «арифмои с более чем тремя единицами» или «лошади» — Мэйберри использует аристотелевское слово «вид». Вид существует просто потому, что мы можем его постичь: это не объективная вещь в мире, а мысль в наших головах, в то время как вещи, которые попадают в вид, могут совпадать или не совпадать с арифмосом. Аналогичные замечания применимы к другим концепциям, таким как «свойство» — например, бытие и порядковая или «глобальная функция», например операторы Power Set и Union. Мэйберри пишет:
Вторая из основных философских доктрин Мэйберри заключается в том, что вещи и арифмои вещей объективно существуют и являются частью структуры внешней реальности. Онтологические полномочия арифмоса в точности соответствуют полномочиям его составляющих единиц. Однако задача математика не в том, чтобы исследовать или рассуждать о том, достаточно ли четко индивидуализированы вещи, входящие в вид, например, облака в небе, оттенки красного, эмоциональные состояния человека, люди 22-го века, чтобы составлять единицы возможных арифмои, или достаточно ли четко очерчены границы множеств вещей, например, следует ли считать кентавров и русалок, входящих в вид «человеческий род»? Точно ли определено, когда заканчиваются оттенки красного и начинаются оттенки фиолетового?, чтобы составлять арифмос. Работа арифметика может начинаться с простого предположения, что существуют объективные четко индивидуализированные вещи, которые он может принять в качестве единиц, и определенные множества таких вещей, которые он может принять в качестве арифмои. Мэйберри пишет:
и, немного позже:
Третьей из основных философских доктрин Мэйберри является то, что определения, определяемые свойства и аргументы, построенные с использованием квантификаций «Для всех» и «Существуют», понятны как утверждения объективного факта только в том случае, если область действия каждого квантификатора ограничена определенным арифмом. Так, например, если мы имеем дело с девочками, как единицами, и знаем, как сравнивать двух девочек по свойству «умная», мы можем разумно сказать «Джоан — самая умная девочка в своем классе», но не «Джоан — самая умная девочка» tout court, поскольку последнее утверждение подразумевает квантификацию по всем вещам, попадающим в вид «девочка». Эта позиция дает ему дополнительную причину отвергнуть основополагающие претензии двух классических аксиоматических систем первого порядка — арифметики Пеано и теории множеств Цермело-Френкеля. Он не только возражает против операционализма, присущего самому построению таких формальных систем, но теперь он также отвергает понятность свободного использования неограниченных квантификаторов при формировании предикатов в аксиоматических схемах индукции и замены.
Четвертая основная доктрина Мэйберри связана с его третьей. Он утверждает, что при работе с единицами и арифмами — т. е. с вещами — мы можем без проблем использовать классическую логику, тогда как при работе с мыслями — такими как виды, глобальные функции, общие свойства конструкций и т. д. — подходящей логикой является интуиционистская. В частности, если мы знаем, что предположение «Все члены арифмоса a обладают свойством P» подразумевает абсурд, то мы можем законно вывести «существует некоторый член a, x, для которого P(x) не выполняется». Однако, если мы делаем утверждение, используя квантификатор по виду, например, «существует некоторая вещь, обладающая P» или «P выполняется для всех вещей», мы больше не сообщаем об объективном факте, который должен быть либо верным, либо нет. Утверждающий такое утверждение должен пониматься как делающий заявление о том, что он имеет в виду его обоснование – т. е. в случае универсального квантификатора, основания для веры в то, что задана любая мыслимая вещь P, касающаяся его, или в случае квантификатора существования, он знает пример вида, для которого P выполняется. Поскольку утверждения, включающие неограниченные квантификаторы, должны пониматься субъективно, ясно, что принцип исключенного третьего тогда просто недействителен. Например, если значение «Для всех вещей P выполняется» заключается в том, что «я имею в виду общую конструкцию, чтобы произвести для каждой вещи аргумент, что P выполняется для этой вещи», а значение «существует вещь, для которой P не выполняется» заключается в том, что «я имею в виду конструкцию, чтобы произвести вещь, для которой P не выполняется». то я не могу обязательно утверждать, что дизъюнкция истинна, поскольку я могу, например, вообще не иметь в виду никаких конструкций. По этой теме Мэйберри пишет:
Пятая основная доктрина Мэйберри заключается в том, что, в целом по аналогии с постулатами Евклида для геометрии, постулаты для арифметики могут быть установлены, что делает хорошим недостаток в Элементах, которые, вопреки ожиданиям, созданным структурой Общих понятий и постулатов для геометрии, не содержат никаких таких постулатов. Мэйберри реализует эту программу в Главе 4 своей книги. Его постулаты следуют, в некоторой степени, Евклиду по форме, но аксиоматическим идеям о множествах, исходящим из 19-го и начала 20-го веков, по содержанию. В целом аналогично постулатам Евклида о построении окружности по точке и линии или построении уникальной прямой по двум точкам постулаты, связанные с Объединением, Множеством Сил и Декартовым произведением, которые постулируют глобальные конструкции, производящие новые арифмои из одного или нескольких данных. Однако несколько иными являются его постулаты о Замене и Понимании. Они не излагают отдельные конструкции, которые просто должны быть поняты, а скорее делают утверждения о всех возможных конструкциях и всех мыслимых свойствах. В некотором смысле их можно понимать как утверждающие существование общих мостов от мыслей к вещам. Однако оба они, как и постулаты, касающиеся конкретных конструкций, могут быть поняты как «принципы конечности», утверждающие существование новых арифм. «Исправленный» Евклид Мэйберри, таким образом, подкрепил бы родственные дисциплины Геометрию и Арифметику Общими Понятиями, применимыми к обеим, дополненными двумя наборами Постулатов, по одному для каждой дисциплины. Действительно, в той мере, в какой Геометрия действительно опирается на понятие арифмоса — она делает это даже при определении треугольников, четырехугольников, пятиугольников и т. д., но более настоятельно в некоторых Предложениях, например. Книга VI Предл. 31, в которых делаются утверждения об общих многоугольниках — «исправленный» Евклид поставил бы изучение Арифм перед изучением Геометрии.
Последним пунктом основной философии Мэйберри является его убеждение в том, что из-за неспособности Евклида распознать силу Общего понятия 5 — применительно к арифмоникам — была упущена большая историческая возможность, и, позволив себе определение итерацией, он совершил огромную ошибку, последствия которой разветвились на всю историю математики. Вооруженный надлежащим пониманием Общего понятия 5 и избегая итерации, «исправленный» Евклид занялся бы теми частями математики, которые связаны с конечным — в дополнение к фактическому скромному содержанию Книг 7–9, теории натуральных чисел, конечной комбинаторики, теории конечных групп и поля и, в более общем плане, изучения конечных структур. Мэйберри называет этот предмет Евклидовой арифметикой и посвящает значительную часть своей книги разработке ее основ. Он, в частности, озабочен установлением того, в какой степени доказательство индукцией и определение рекурсией вообще оправданы. Он показывает, что, в отличие от евклидовой теории арифм, которая является незначительной переработкой современной теории натуральных чисел, на самом деле в евклидовой арифметике не может быть установлено жизнеспособное понятие натуральных чисел. Дополняя свой взгляд на евклидову арифметику, Мэйберри придерживается мнения, что так же, как альтернативные геометрии были созданы путем отрицания аксиомы Евклида о параллельных, альтернативная арифметика создается путем отрицания общего понятия 5 и утверждения существования по крайней мере одного арифмоса, для которого целое может быть поставлено в соответствие 1-1 с частью. Эта теория, которую Мэйберри предпочел бы назвать арифметикой Кантора, конечно, является современной теорией множеств, которая показала себя способной (возможно) включить в себя всю математику и, в частности, геометрию, которая в евклидовом устроении приверженности общему понятию 5 является отдельной родственной дисциплиной арифметики.
Философия Мэйберри стремится навязать новый стандарт, вытекающий из его онтологических и семантических убеждений, ясности и строгости в математике, который должен быть достигнут в первую очередь посредством программы систематического разделения евклидовой и канторовой математики. В случае евклидовой математики этот стандарт потребовал бы от практиков как геометрии, так и арифметики избегать любых обращений к итеративным процессам. Последующая самая непосредственная задача в геометрии — «исправить» Евклида, установив теоремы Книги VI на основе методов и приемов Книг I–IV, избегая использования концепции отношения, введенной в Книге V. Для арифметики соответствующая задача — установить результаты Книг VII–IX, не прибегая к той итеративной процедуре, которую Евклид допускает себе в определении умножения. (Книга VII, Определение 15.) Для арифметики Кантора главной задачей было бы показать, что большая часть бесконечной математики — дисциплины, вытекающие тем или иным образом из исчисления — не требует неограниченных кванторов и, следовательно, что примеры схемы замены аксиом Цермело -Френкеля для теории множеств, включающие такие кванторы, являются, а также не допускаются общей философией Мейберри, в любом случае технически избыточными.