Функция тотиента Джордана

Функция в математике, теории чисел.

В теории чисел функция тотиента Жордана обозначается как , где — положительное целое число, является функцией положительного целого числа , которая равна количеству кортежей положительных целых чисел , которые меньше или равны и которые вместе с образуют взаимно простой набор целых чисел ${\displaystyle J_{k}(n)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle k+1}$

Тотиент-функция Жордана является обобщением тотиента-функции Эйлера , которая является такой же, как . Функция названа в честь Камиля Жордана . ${\displaystyle J_{1}(n)}$

Определение

Для каждого положительного целого числа функция тотиента Жордана является мультипликативной и может быть оценена как ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle J_{k}}$

${\displaystyle J_{k}(n)=n^{k}\prod _{p|n}\left(1-{\frac {1}{p^{k}}}\right)\,}$, где пробегает простые делители . ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle n}$

Характеристики

• ${\displaystyle \sum _{d|n}J_{k}(d)=n^{k}.\,}$

что можно записать на языке сверток Дирихле как ^[1]

${\displaystyle J_{k}(n)\star 1=n^{k}\,}$

и через инверсию Мёбиуса как

${\displaystyle J_{k}(n)=\mu (n)\star n^{k}}$.

Поскольку производящая функция Дирихле равна , а производящая функция Дирихле равна , ряд для становится ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle 1/\zeta (s)}$ ${\displaystyle n^{k}}$ ${\displaystyle \zeta (s-k)}$ ${\displaystyle J_{k}}$

${\displaystyle \sum _{n\geq 1}{\frac {J_{k}(n)}{n^{s}}}={\frac {\zeta (s-k)}{\zeta (s)}}}$.

• Средний порядок составляет​ ${\displaystyle J_{k}(n)}$

${\displaystyle J_{k}(n)\sim {\frac {n^{k}}{\zeta (k+1)}}}$.

• Пси-функция Дедекинда — это

${\displaystyle \psi (n)={\frac {J_{2}(n)}{J_{1}(n)}}}$,

и путем проверки определения (признавая, что каждый множитель в произведении по простым числам является циклотомическим многочленом от ), можно показать, что арифметические функции, определяемые с помощью или , также являются целочисленными мультипликативными функциями. ${\displaystyle p^{-k}}$ ${\displaystyle {\frac {J_{k}(n)}{J_{1}(n)}}}$ ${\displaystyle {\frac {J_{2k}(n)}{J_{k}(n)}}}$

• ${\displaystyle \sum _{\delta \mid n}\delta ^{s}J_{r}(\delta )J_{s}\left({\frac {n}{\delta }}\right)=J_{r+s}(n)}$. ^[2]

Порядок матричных групп

• Общая линейная группа матриц порядка более имеет порядок ^[3] ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \mathbf {Z} /n}$

${\displaystyle |\operatorname {GL} (m,\mathbf {Z} /n)|=n^{\frac {m(m-1)}{2}}\prod _{k=1}^{m}J_{k}(n).}$

• Специальная линейная группа матриц порядка более имеет порядок ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \mathbf {Z} /n}$

${\displaystyle |\operatorname {SL} (m,\mathbf {Z} /n)|=n^{\frac {m(m-1)}{2}}\prod _{k=2}^{m}J_{k}(n).}$

• Симплектическая группа матриц порядка более имеет порядок ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \mathbf {Z} /n}$

${\displaystyle |\operatorname {Sp} (2m,\mathbf {Z} /n)|=n^{m^{2}}\prod _{k=1}^{m}J_{2k}(n).}$

Первые две формулы были открыты Джорданом.

Примеры

• Явные списки в OEIS : J ₂ в OEIS : A007434 , J ₃ в OEIS : A059376 , J ₄ в OEIS : A059377 , J ₅ в OEIS : A059378 , J ₆ до J ₁₀ в OEIS : A069091 до OEIS : A069095 .
• Мультипликативные функции, определяемые соотношениями, следующие: J ₂ (n)/J ₁ (n) в OEIS : A001615 , J ₃ (n)/J ₁ (n) в OEIS : A160889 , J ₄ (n)/J ₁ (n) в OEIS : A160891 , J ₅ (n)/J ₁ (n) в OEIS : A160893 , J ₆ (n)/J ₁ (n) в OEIS : A160895 , J ₇ (n)/J ₁ (n) в OEIS : A160897 , J ₈ (n)/J ₁ (n) в OEIS : A160908 , J ₉ (n)/J ₁ (n) в OEIS : A160953 , J ₁₀ (n)/J ₁ (n) в OEIS : A160957 , J ₁₁ (n)/J ₁ (n) в OEIS : A160960 .
• Примерами соотношений J _2k (n)/J _k (n) являются J ₄ (n)/J ₂ (n) в OEIS : A065958 , J ₆ (n)/J ₃ (n) в OEIS : A065959 и J ₈ (n)/J ₄ (n) в OEIS : A065960 .

Примечания

1. Шандор и Крстичи (2004) стр.106
2. Холден и др. во внешних ссылках. Формула Гегенбауэра.
3. Все эти формулы взяты из работы Андрики и Питикари в разделе #Внешние ссылки.

Ссылки

• LE Dickson (1971) [1919]. История теории чисел, т. I. Chelsea Publishing . стр. 147. ISBN 0-8284-0086-5. JFM  47.0100.04.
• М. Рам Мурти (2001). Задачи по аналитической теории чисел . Graduate Texts in Mathematics . Vol. 206. Springer-Verlag . стр. 11. ISBN 0-387-95143-1. Збл  0971.11001.
• Шандор, Йожеф; Крстичи, Борислав (2004). Справочник по теории чисел II . Дордрехт: Клювер Академик. стр. 32–36. ISBN 1-4020-2546-7. Збл  1079.11001.

Внешние ссылки

• Андрика, Дорин; Питикари, Михай (2004). «О некоторых расширениях арифметических функций Джордана». Acta Universitatis Apulensis . 7 : 13–22. МР  2157944.
• Holden, Matthew; Orrison, Michael; Vrable, Michael. "Еще одно обобщение функции Эйлера" (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 2016-03-05 . Получено 2011-12-21 .