Последовательность жонглера

Целочисленная последовательность в теории чисел

В теории чисел последовательность жонглера — это целочисленная последовательность , которая начинается с положительного целого числа a ₀ , причем каждый последующий член последовательности определяется рекуррентным соотношением : $${\displaystyle a_{k+1}={\begin{cases}\left\lfloor a_{k}^{\frac {1}{2}}\right\rfloor ,&{\text{if }}a_{k}{\text{ is even}}\\\\\left\lfloor a_{k}^{\frac {3}{2}}\right\rfloor ,&{\text{if }}a_{k}{\text{ is odd}}.\end{cases}}}$$

Фон

Последовательности жонглера были опубликованы американским математиком и писателем Клиффордом А. Пиковером . ^[1] Название происходит от характера этих последовательностей, которые то поднимаются, то опускаются, подобно мячам в руках жонглера . [ ^2]

Например, последовательность жонглера, начинающаяся с 0 = 3, выглядит так _:

${\displaystyle a_{1}=\lfloor 3^{\frac {3}{2}}\rfloor =\lfloor 5.196\dots \rfloor =5,}$

${\displaystyle a_{2}=\lfloor 5^{\frac {3}{2}}\rfloor =\lfloor 11.180\dots \rfloor =11,}$

${\displaystyle a_{3}=\lfloor 11^{\frac {3}{2}}\rfloor =\lfloor 36.482\dots \rfloor =36,}$

${\displaystyle a_{4}=\lfloor 36^{\frac {1}{2}}\rfloor =\lfloor 6\rfloor =6,}$

${\displaystyle a_{5}=\lfloor 6^{\frac {1}{2}}\rfloor =\lfloor 2.449\dots \rfloor =2,}$

${\displaystyle a_{6}=\lfloor 2^{\frac {1}{2}}\rfloor =\lfloor 1.414\dots \rfloor =1.}$

Если последовательность жонглера достигает 1, то все последующие члены равны 1. Предполагается, что все последовательности жонглера в конечном итоге достигают 1. Эта гипотеза была проверена для начальных членов до 10 ⁶ , ^[3] но не была доказана. Поэтому последовательности жонглера представляют собой проблему, которая похожа на гипотезу Коллатца , о которой Пол Эрдёш заявил, что «математика еще не готова к таким проблемам».

Для заданного начального термина n , мы определяем l ( n ) как число шагов, которые последовательность жонглера, начинающаяся с n , предпринимает, чтобы впервые достичь 1, а h ( n ) как максимальное значение в последовательности жонглера, начинающейся с n . Для малых значений n мы имеем:

Последовательности жонглера могут достигать очень больших значений, прежде чем снизятся до 1. Например, последовательность жонглера, начинающаяся с 0 = 37 _, достигает максимального значения 24906114455136. Гарри Дж. Смит определил, что последовательность жонглера, начинающаяся с 0 _{= 48443, достигает} максимального значения в ₆₀ с 972 463 цифрами, прежде чем достичь 1 в 157. ^[4 ]

Смотрите также

• Арифметическая динамика
• гипотеза Коллатца
• Рекуррентное соотношение

Ссылки

1. Пиковер, Клиффорд А. (1992). "Глава 40". Компьютеры и воображение . St. Martin's Press. ISBN 978-0-312-08343-4.
2. Pickover, Clifford A. (2002). "Глава 45: Жонглер числами". Математика страны Оз: гимнастика для ума из-за края . Cambridge University Press. С. 102–106. ISBN 978-0-521-01678-0.
3. Вайсштейн, Эрик В. «Последовательность жонглера». MathWorld .
4. Письмо Гарри Дж. Смита Клиффорду А. Пиковеру, 27 июня 1992 г.

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. "Последовательность жонглера". MathWorld .
• Последовательность жонглера (A094683) в On-Line Encyclopedia of Integer Sequences . См. также:
  • Количество шагов, необходимых для последовательности жонглера (A094683), начиная с n и дойдя до 1.
  • n устанавливает новый рекорд по количеству итераций для достижения 1 в задаче о последовательности жонглера.
  • Количество шагов, на которых последовательность «Жонглер» достигает нового рекорда.
  • Наименьшее число, требующее n итераций для достижения 1 в задаче о последовательности жонглера.
  • Начальные значения, которые дают большее число жонглера, чем меньшие начальные значения.
• Калькулятор последовательности жонглера в Центре вычислений гипотез Коллатца
• Страницы с числами «Жонглер» Гарри Дж. Смита