K-группы поля

В математике, особенно в алгебраической K -теории , алгебраическая K -группа поля важна для вычисления. Для конечного поля полное вычисление было дано Дэниелом Квилленом .

Низкие степени

Отображение, переводящее конечномерное F -векторное пространство в его размерность, индуцирует изоморфизм

${\displaystyle K_{0}(F)\cong \mathbf {Z} }$

для любого поля F. Далее,

${\displaystyle K_{1}(F)=F^{\times },}$

мультипликативная группа поля F. ^[1] Вторая K-группа поля описывается в терминах образующих и соотношений теоремой Мацумото .

Конечные поля

K-группы конечных полей являются одним из немногих случаев, где K-теория известна полностью: ^[2] для , ${\displaystyle n\geq 1}$

${\displaystyle K_{n}(\mathbb {F} _{q})=\pi _{n}(BGL(\mathbb {F} _{q})^{+})\simeq {\begin{cases}\mathbb {Z} /{(q^{i}-1)},&{\text{if }}n=2i-1\\0,&{\text{if }}n{\text{ is even}}\end{cases}}}$

Для n =2 это видно из теоремы Мацумото, в более высоких степенях она была вычислена Квилленом в связи с его работой над гипотезой Адамса . Другое доказательство было дано Жардином (1993).

Локальные и глобальные поля

Вайбель (2005) рассматривает вычисления K-теории глобальных полей (таких как числовые поля и поля функций ), а также локальных полей (таких как p-адические числа ).

Алгебраически замкнутые поля

Суслин (1983) показал, что кручение в K-теории нечувствительно к расширениям алгебраически замкнутых полей. Это утверждение известно как жесткость Суслина .

Смотрите также

• группа класса делителя

Ссылки

1. Вайбель 2013, гл. III, Пример 1.1.2.
2. Вайбель 2013, гл. IV, следствие 1.13.

• Jardine, JF (1993), «K-теория конечных полей, пересмотр», K-Theory , 7 (6): 579–595, doi :10.1007/BF00961219, MR  1268594
• Суслин, Андрей (1983), «О K -теории алгебраически замкнутых полей», Inventiones Mathematicae , 73 (2): 241–245, doi :10.1007/BF01394024, MR  0714090

• Weibel, Charles (2005), «Алгебраическая K-теория колец целых чисел в локальных и глобальных полях», в Friedlander, Eric M.; Grayson, Daniel R. (ред.), Handbook of K-Theory , Springer, стр. 139–190, doi :10.1007/978-3-540-27855-9_5, ISBN 978-3-540-27855-9

• Вайбель, Чарльз А. (2013), K-book, Graduate Studies in Mathematics, т. 145, Американское математическое общество, Провиденс, Род-Айленд, ISBN 978-0-8218-9132-2, МР  3076731