В квантовых основах пентаграмма KCBS была обнаружена Александром Клячко, М. Али Джаном, Синем Биничиоглу и Александром Шумовским в качестве примера, опровергающего неконтекстуальные модели скрытых переменных .
Допустим, у нас есть пентаграмма, которая представляет собой граф с 5 вершинами и 5 ребрами. Каждая вершина может быть окрашена либо в красный, либо в синий цвет. Ребро считается совпадающим, если обе его вершины имеют одинаковый цвет. В противном случае это несовпадение. В модели скрытых переменных общее количество несовпадений по всем ребрам должно быть четным числом из-за цикличности, т. е. 0, 2 или 4. Таким образом, при вероятностной смеси по назначениям скрытых переменных ожидаемое значение суммы несовпадений по всем 5 ребрам должно лежать в диапазоне от 0 до 4.
Затем кто-то вручает вам огромное количество пентаграмм KCBS, но сначала все раскраски скрыты. Вам говорят, что вы можете раскрыть максимум 2 вершины, и только если они имеют общее ребро. Итак, для каждой пентаграммы вы случайным образом выбираете ребро и раскрываете цвета на его вершинах. Этот случайный выбор необходим, потому что если бы производители пентаграмм смогли угадать ваш выбор для каждой пентаграммы заранее, он мог бы «сговориться» обмануть вас. Вы обнаруживаете, что независимо от того, какое ребро вы выберете, вы найдете сине-синее с вероятностью , красно-синее с вероятностью и сине-красное с вероятностью . Таким образом, ожидаемое значение суммы несовпадений равно .
Как это было сделано? Каждая пентаграмма представляет собой 3D квантовую систему с ортонормальным базисом . Каждая пентаграмма инициализируется значением . Каждой вершине назначается 1D проектор, проецирующийся на , n = 0, ..., 4 . Соседние проекторы коммутируют. Если мы проецируем, красим вершину в красный цвет. В противном случае красим ее в синий цвет.
![{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {\sqrt {5}}}}|C\rangle +{\sqrt {1-{\frac {1}{\sqrt {5}}}}}\left[\cos \left({\frac {4\pi n}{5}}\right)|A\rangle +\sin \left({\frac {4\pi n}{5}}\right)|B\rangle \right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0824b3bb2065ef0417885c478fc68544b030a9f0)