Теория Кермака–Маккендрика

Математическая модель для описания вспышки инфекционного заболевания

Теория Кермака–Маккендрика — это гипотеза , которая предсказывает количество и распределение случаев инфекционного заболевания по мере его передачи среди населения с течением времени. Основываясь на исследованиях Рональда Росса и Хильды Хадсон , А. Г. Маккендрик и У. О. Кермак опубликовали свою теорию в серии из трех статей за 1927, 1932 и 1933 годы. Хотя теория Кермака–Маккендрика действительно была источником моделей SIR и их родственников, Кермак и Маккендрик думали о более тонкой и эмпирически полезной проблеме, чем простые компартментальные модели, обсуждаемые здесь. Текст несколько трудно читать по сравнению с современными статьями, но важной особенностью является то, что это была модель, в которой возраст заражения влиял на скорость передачи и удаления. ^{[ необходима цитата ]}

Ввиду их основополагающей важности для области теоретической эпидемиологии эти статьи были переизданы в « Бюллетене математической биологии» в 1991 году. ^{[1] [2] [3]}

Модель эпидемии (1927)

В своей первоначальной форме теория Кермака-Маккендрика представляет собой модель дифференциальных уравнений в частных производных, которая структурирует инфицированную популяцию с точки зрения возраста заражения, используя простые отсеки для людей, которые восприимчивы (S), инфицированы (I) и выздоровели/удалены (R). Указанные начальные условия будут меняться со временем в соответствии с

${\displaystyle {\frac {dS}{dt}}=-\lambda S,}$

${\displaystyle {\frac {\partial i}{\partial t}}+{\frac {\partial i}{\partial a}}=\delta (a)\lambda S-\gamma (a)i,}$

${\displaystyle I(t)=\int _{0}^{\infty }i(a,t)\,da,}$

${\displaystyle {\frac {dR}{dt}}=\int _{0}^{\infty }\gamma (a)i(a,t)\,da,}$

где дельта -функция Дирака и давление инфекции ${\displaystyle \delta (a)}$

${\displaystyle \lambda =\int _{0}^{\infty }\beta (a)i(a,t)\,da.}$

Эта формулировка эквивалентна определению заболеваемости инфекцией . Только в особом случае, когда скорость удаления и скорость передачи являются постоянными для всех возрастов, динамика эпидемии может быть выражена в терминах распространенности , что приводит к стандартной компартментальной модели SIR . Эта модель учитывает только события заражения и удаления, которых достаточно для описания простой эпидемии, включая пороговое условие, необходимое для начала эпидемии, но не может объяснить передачу эндемичных заболеваний или повторяющиеся эпидемии. ${\displaystyle i(t,0)=\lambda S}$ ${\displaystyle \gamma (a)}$ ${\displaystyle \beta (a)}$ ${\displaystyle I(t)}$

Эндемическое заболевание (1932, 1933)

В своих последующих статьях Кермак и Маккендрик расширили свою теорию, чтобы учесть рождение, миграцию и смерть, а также несовершенный иммунитет. В современной нотации их модель может быть представлена ​​как

${\displaystyle {\frac {dS}{dt}}=b_{0}+b_{S}S+b_{I}I+b_{R}R-\lambda S-m_{S}S,}$

${\displaystyle {\frac {\partial i}{\partial t}}+{\frac {\partial i}{\partial a}}=\delta (a)\lambda (S+\sigma R)-\gamma (a)i-\mu (a)i-m_{i}(a)i,}$

${\displaystyle I(t)=\int _{0}^{\infty }i(a,t)\,da}$

${\displaystyle {\frac {dR}{dt}}=\int _{0}^{\infty }\gamma (a)i(a,t)\,da-\sigma \lambda R-m_{R}R,}$

где - уровень иммиграции восприимчивых лиц, b _j - уровень рождаемости на душу населения для штата j , m _j - уровень смертности на душу населения среди людей в штате j , - относительный риск заражения для выздоровевших людей, имеющих частичный иммунитет, а инфекционное давление ${\displaystyle b_{0}}$ ${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle \lambda =\int _{0}^{\infty }\beta (a)i(a,t)\,da.}$

Кермак и Маккендрик смогли показать, что она допускает стационарное решение, где болезнь носит эндемический характер, пока количество восприимчивых людей достаточно велико. Эту модель трудно анализировать в ее полной общности, и остается ряд открытых вопросов относительно ее динамики.

Смотрите также

• Компартментальные модели в эпидемиологии
• Интегро-дифференциальное уравнение

Ссылки

1. Кермак, В.; Маккендрик, А. (1991). «Вклад в математическую теорию эпидемий – I». Бюллетень математической биологии . 53 (1–2): 33–55. doi :10.1007/BF02464423. PMID  2059741. S2CID  123923690.
2. Кермак, В.; Маккендрик, А. (1991). «Вклад в математическую теорию эпидемий – II. Проблема эндемичности». Бюллетень математической биологии . 53 (1–2): 57–87. doi :10.1007/BF02464424. PMID  2059742.
3. Кермак, В.; Маккендрик, А. (1991). «Вклад в математическую теорию эпидемий – III. Дальнейшие исследования проблемы эндемичности». Бюллетень математической биологии . 53 (1–2): 89–118. doi :10.1007/BF02464425. PMID  2059743. S2CID  24709533.