Метрика Керра–Ньюмана

Решение уравнений поля Эйнштейна

Метрика Керра –Ньюмена описывает геометрию пространства-времени вокруг электрически заряженной и вращающейся массы. Это вакуумное решение , которое обобщает метрику Керра (описывающую незаряженную вращающуюся массу) путем дополнительного учета энергии электромагнитного поля , что делает его наиболее общим асимптотически плоским и стационарным решением уравнений Эйнштейна–Максвелла в общей теории относительности . Как электровакуумное решение , оно включает только те заряды, которые связаны с магнитным полем; оно не включает никаких свободных электрических зарядов.

Поскольку наблюдаемые астрономические объекты не обладают заметным чистым электрическим зарядом ^{[ требуется ссылка ]} (магнитные поля звезд возникают в результате других процессов), метрика Керра–Ньюмена представляет в первую очередь теоретический интерес. В модели отсутствует описание падающей барионной материи , света ( нуль-пыль ) или темной материи , и, таким образом, она дает неполное описание черных дыр звездной массы и активных ядер галактик . Однако решение представляет математический интерес и дает довольно простой краеугольный камень для дальнейшего исследования. ^{[ требуется ссылка ]}

Решение Керра–Ньюмена является частным случаем более общих точных решений уравнений Эйнштейна–Максвелла с ненулевой космологической постоянной . ^[1]

История

В декабре 1963 года Рой Керр и Альфред Шильд нашли метрику Керра–Шилда, которая дала всем пространствам Эйнштейна , которые являются точными линейными возмущениями пространства Минковского . В начале 1964 года Керр искал все пространства Эйнштейна–Максвелла с этим же свойством. К февралю 1964 года был известен особый случай, когда пространства Керра–Шилда были заряжены (включая решение Керра–Ньюмена), но общий случай, когда особые направления не были геодезическими базового пространства Минковского, оказался очень сложным. Задача была поручена Джорджу Дебни для попытки решения, но была оставлена ​​к марту 1964 года. Примерно в это же время Эзра Т. Ньюмен нашел решение для заряженного Керра путем догадок. В 1965 году Эзра «Тед» Ньюмен нашел осесимметричное решение уравнения поля Эйнштейна для черной дыры, которая одновременно вращается и электрически заряжена. ^{[2] [3]} Эта формула для метрического тензора называется метрикой Керра–Ньюмена. Она является обобщением метрики Керра для незаряженной вращающейся точечной массы, которая была открыта Роем Керром двумя годами ранее. ^[4] ${\displaystyle g_{\mu \nu }\!}$

Четыре взаимосвязанных решения можно обобщить в следующей таблице:

где Q представляет электрический заряд тела , а J представляет его спиновый угловой момент .

Обзор решения

Результат Ньюмена представляет собой простейшее стационарное , осесимметричное , асимптотически плоское решение уравнений Эйнштейна в присутствии электромагнитного поля в четырех измерениях. Иногда его называют «электровакуумным» решением уравнений Эйнштейна.

Любой источник Керра–Ньюмена имеет ось вращения, совмещенную с его магнитной осью. ^[5] Таким образом, источник Керра–Ньюмена отличается от обычно наблюдаемых астрономических тел, для которых существует значительный угол между осью вращения и магнитным моментом . ^[6] В частности, ни Солнце , ни какая-либо из планет Солнечной системы не имеют магнитных полей, совмещенных с осью вращения. Таким образом, в то время как решение Керра описывает гравитационное поле Солнца и планет, магнитные поля возникают в результате другого процесса.

Если рассматривать потенциал Керра-Ньюмена как модель для классического электрона, он предсказывает наличие у электрона не только магнитного дипольного момента, но и других мультипольных моментов, таких как электрический квадрупольный момент. ^[7] Квадрупольный момент электрона пока не был обнаружен экспериментально; по-видимому, он равен нулю. ^[7]

В пределе G  = 0 электромагнитные поля являются полями заряженного вращающегося диска внутри кольца, где поля бесконечны. Полная энергия поля для этого диска бесконечна, и поэтому этот предел G  = 0 не решает проблему бесконечной собственной энергии . ^[8]

Подобно метрике Керра для незаряженной вращающейся массы, внутреннее решение Керра–Ньюмена существует математически, но, вероятно, не является репрезентативным для фактической метрики физически реалистичной вращающейся черной дыры из-за проблем со стабильностью горизонта Коши , вызванного инфляцией массы, вызванной падающей материей. Хотя оно представляет собой обобщение метрики Керра, оно не считается очень важным для астрофизических целей, поскольку не ожидается, что реалистичные черные дыры будут иметь значительный электрический заряд (ожидается, что они будут иметь крошечный положительный заряд, но только потому, что протон имеет гораздо больший импульс, чем электрон, и, таким образом, с большей вероятностью преодолеет электростатическое отталкивание и будет перенесен импульсом через горизонт).

Метрика Керра–Ньюмена определяет черную дыру с горизонтом событий только тогда, когда объединенный заряд и угловой момент достаточно малы: ^[9]

${\displaystyle J^{2}/M^{2}+Q^{2}\leq M^{2}.}$

Угловой момент электрона J и заряд Q (соответствующим образом заданные в геометрических единицах ) оба превышают его массу M , и в этом случае метрика не имеет горизонта событий. Таким образом, не может быть такого явления, как электрон черной дыры — только голая вращающаяся кольцевая сингулярность . ^[10] Такая метрика имеет несколько, казалось бы, нефизических свойств, таких как нарушение кольцом гипотезы космической цензуры , а также появление нарушающих причинность замкнутых времениподобных кривых в непосредственной близости от кольца. ^[11]

В статье 2009 года российский теоретик Александр Буринский рассматривал электрон как обобщение предыдущих моделей Израиля (1970) ^[12] и Лопеса (1984), ^[13], которые обрезали «отрицательный» лист метрики Керра-Ньюмена, получив источник решения Керра-Ньюмена в виде релятивистски вращающегося диска. Обрезание Лопеса регуляризировало метрику Керра-Ньюмена обрезанием в точке : , заменив сингулярность плоским регулярным пространством-временем, так называемым «пузырем». Предполагая, что пузырь Лопеса соответствует фазовому переходу, аналогичному механизму нарушения симметрии Хиггса, Буринский показал, что кольцевая сингулярность, созданная гравитацией, образует посредством регуляризации сверхпроводящее ядро ​​модели электрона ^[14] и должна описываться суперсимметричной полевой моделью Ландау-Гинзбурга фазового перехода: ${\displaystyle r=r_{e}=e^{2}/2M}$

Опуская промежуточную работу Буринского, мы приходим к недавнему новому предложению: рассматривать усеченный Израилем и Лопесом отрицательный лист решения КН как лист позитрона. ^[15]

Эта модификация объединяет решение КН с моделью КЭД и показывает важную роль линий Вильсона, образованных путем перемещения векторного потенциала.

В результате модифицированное решение КН приобретает сильное взаимодействие с гравитацией Керра, вызванное дополнительным энергетическим вкладом электронно-позитронного вакуума, и создает релятивистскую круговую струну Керра–Ньюмена комптоновского размера.

Предельные случаи

Метрика Керра–Ньюмена может быть сведена к другим точным решениям общей теории относительности в предельных случаях. Она сводится к

• метрика Керра , когда заряд Q стремится к нулю;
• метрика Рейсснера –Нордстрема как угловой момент J (или a  =  ⁠Дж./М⁠  ) ​​стремится к нулю;
• метрика Шварцшильда , поскольку и заряд Q , и момент импульса J (или a ) принимаются равными нулю; и
• Пространство Минковского , если масса M , заряд Q и параметр вращения a равны нулю.

С другой стороны, если гравитация должна быть устранена, возникает пространство Минковского, если гравитационная постоянная G равна нулю, без приведения массы и заряда к нулю. В этом случае электрические и магнитные поля сложнее, чем просто поля заряженного магнитного диполя ; предел нулевой гравитации не является тривиальным. ^{[ необходима цитата ]}

Метрика

Метрика Керра–Ньюмена описывает геометрию пространства-времени для вращающейся заряженной черной дыры с массой M , зарядом Q и угловым моментом J. Формула для этой метрики зависит от того, какие координаты или координатные условия выбраны. Ниже приведены две формы: координаты Бойера–Линдквиста и координаты Керра–Шилда. Одной лишь гравитационной метрики недостаточно для определения решения уравнений поля Эйнштейна; необходимо также задать тензор электромагнитного напряжения. Оба они приведены в каждом разделе.

Координаты Бойера–Линдквиста

Одним из способов выражения этой метрики является запись ее линейного элемента в определенном наборе сферических координат ^[16] , также называемых координатами Бойера–Линдквиста :

${\displaystyle c^{2}d\tau ^{2}=-\left({\frac {dr^{2}}{\Delta }}+d\theta ^{2}\right)\rho ^{2}+\left(c\,dt-a\sin ^{2}\theta \,d\phi \right)^{2}{\frac {\Delta }{\rho ^{2}}}-\left(\left(r^{2}+a^{2}\right)d\phi -ac\,dt\right)^{2}{\frac {\sin ^{2}\theta }{\rho ^{2}}},}$

где координаты ( r , θ , ϕ ) являются стандартной сферической системой координат , а масштабы длины:

${\displaystyle a={\frac {J}{Mc}}\,,}$

${\displaystyle \rho ^{2}=r^{2}+a^{2}\cos ^{2}\theta \,,}$

${\displaystyle \Delta =r^{2}-r_{\text{s}}r+a^{2}+r_{Q}^{2}\,,}$

были введены для краткости. Здесь r _s — радиус Шварцшильда массивного тела, который связан с его полной эквивалентной массой M соотношением

${\displaystyle r_{s}={\frac {2GM}{c^{2}}},}$

где G — гравитационная постоянная , а r _Q — масштаб длины, соответствующий электрическому заряду Q массы

${\displaystyle r_{Q}^{2}={\frac {Q^{2}G}{4\pi \epsilon _{0}c^{4}}},}$

где ε ₀ — диэлектрическая проницаемость вакуума .

Тензор электромагнитного поля в форме Бойера–Линдквиста

Электромагнитный потенциал в координатах Бойера–Линдквиста равен ^{[17] [18]}

${\displaystyle A_{\mu }=\left({\frac {r\ r_{Q}}{\rho ^{2}}},0,0,-{\frac {\ a\ r\ r_{Q}\sin ^{2}\theta }{\rho ^{2}}}\right)}$

в то время как тензор Максвелла определяется как

${\displaystyle F_{\mu \nu }={\frac {\partial A_{\nu }}{\partial x^{\mu }}}-{\frac {\partial A_{\mu }}{\partial x^{\nu }}}\ \to \ F^{\mu \nu }=g^{\mu \sigma }\ g^{\nu \kappa }\ F_{\sigma \kappa }}$

В сочетании с символами Кристоффеля уравнения движения второго порядка могут быть выведены с помощью

${\displaystyle {{{\ddot {x}}^{i}=-\Gamma _{jk}^{i}\ {{\dot {x}}^{j}}\ {{\dot {x}}^{k}}+q\ {F^{ik}}\ {{\dot {x}}^{j}}}\ {g_{jk}}},}$

где — заряд на единицу массы пробной частицы. ${\displaystyle q}$

Координаты Керра–Шилда

Метрика Керра–Ньюмена может быть выражена в форме Керра–Шилда , используя определенный набор декартовых координат , предложенный Керром и Шилдом в 1965 году. Метрика выглядит следующим образом. ^{[19] [20] [21]}

${\displaystyle g_{\mu \nu }=\eta _{\mu \nu }+fk_{\mu }k_{\nu }\!}$

${\displaystyle f={\frac {Gr^{2}}{r^{4}+a^{2}z^{2}}}\left[2Mr-Q^{2}\right]}$

${\displaystyle \mathbf {k} =(k_{x},k_{y},k_{z})=\left({\frac {rx+ay}{r^{2}+a^{2}}},{\frac {ry-ax}{r^{2}+a^{2}}},{\frac {z}{r}}\right)}$

${\displaystyle k_{0}=1.\!}$

Обратите внимание, что k — единичный вектор . Здесь M — постоянная масса вращающегося объекта, Q — постоянный заряд вращающегося объекта, η — метрика Минковского , а a  =  J / M — постоянный параметр вращения вращающегося объекта. Подразумевается, что вектор направлен вдоль положительной оси z, т. е . Величина r не является радиусом, а скорее неявно определяется соотношением ${\displaystyle {\vec {a}}}$ ${\displaystyle {\vec {a}}=a{\hat {z}}}$

${\displaystyle 1={\frac {x^{2}+y^{2}}{r^{2}+a^{2}}}+{\frac {z^{2}}{r^{2}}}.}$

Обратите внимание, что величина r становится обычным радиусом R

${\displaystyle r\to R={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}$

когда вращательный параметр a приближается к нулю. В этой форме решения единицы выбираются так, чтобы скорость света была равна единице ( c = 1). Для того чтобы обеспечить полное решение уравнений Эйнштейна–Максвелла , решение Керра–Ньюмана включает не только формулу для метрического тензора, но и формулу для электромагнитного потенциала: ^{[19] [22]}

${\displaystyle A_{\mu }={\frac {Qr^{3}}{r^{4}+a^{2}z^{2}}}k_{\mu }}$

На больших расстояниях от источника ( R  ≫  a ) эти уравнения сводятся к метрике Рейсснера–Нордстрема с:

${\displaystyle A_{\mu }={\frac {Q}{R}}k_{\mu }}$

В форме Керра–Шилда метрики Керра–Ньюмена определитель метрического тензора всюду равен отрицательной единице, даже вблизи источника. ^[1]

Электромагнитные поля в форме Керра–Шилда

Электрические и магнитные поля можно получить обычным способом, дифференцируя четырехпотенциал для получения тензора напряженности электромагнитного поля . Будет удобно перейти к трехмерной векторной записи.

${\displaystyle A_{\mu }=\left(-\phi ,A_{x},A_{y},A_{z}\right)\,}$

Статические электрические и магнитные поля выводятся из векторного потенциала и скалярного потенциала следующим образом:

${\displaystyle {\vec {E}}=-{\vec {\nabla }}\phi \,}$

${\displaystyle {\vec {B}}={\vec {\nabla }}\times {\vec {A}}\,}$

Использование формулы Керра–Ньюмена для четырехпотенциала в форме Керра–Шилда в пределе массы, стремящейся к нулю, дает следующую краткую комплексную формулу для полей: ^[23]

${\displaystyle {\vec {E}}+i{\vec {B}}=-{\vec {\nabla }}\Omega \,}$

${\displaystyle \Omega ={\frac {Q}{\sqrt {({\vec {R}}-i{\vec {a}})^{2}}}}\,}$

Величина омега ( ) в этом последнем уравнении похожа на кулоновский потенциал , за исключением того, что радиус-вектор смещен на мнимую величину. Этот комплексный потенциал обсуждался еще в девятнадцатом веке французским математиком Полем Эмилем Аппелем . ^[24] ${\displaystyle \Omega }$

Неприводимая масса

Полный эквивалент массы M , который содержит энергию электрического поля и энергию вращения , и неприводимая масса M _irr связаны соотношением ^{[25] [26]}

${\displaystyle M_{\rm {irr}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {2M^{2}-r_{Q}^{2}c^{4}/G^{2}+2M{\sqrt {M^{2}-(r_{Q}^{2}+a^{2})c^{4}/G^{2}}}}}}$

который можно инвертировать, чтобы получить

${\displaystyle M={\frac {4M_{\rm {irr}}^{2}+r_{Q}^{2}c^{4}/G^{2}}{2{\sqrt {4M_{\rm {irr}}^{2}-a^{2}c^{4}/G^{2}}}}}}$

Чтобы электрически зарядить и/или раскрутить нейтральное и статическое тело, к системе должна быть приложена энергия. Из-за эквивалентности массы и энергии эта энергия также имеет эквивалент массы; поэтому M всегда больше, чем M _irr . Если, например, вращательная энергия черной дыры извлекается с помощью процессов Пенроуза , ^{[27] [28]} оставшаяся масса-энергия всегда будет оставаться больше или равной M _irr .

Важные поверхности

Горизонты событий и эргосферы заряженной и вращающейся черной дыры в псевдосферических r , θ , φ и декартовых x , y , z координатах.

Приравнивая к 0 и решая для , получаем внутренний и внешний горизонт событий , который расположен в координатах Бойера–Линдквиста ${\displaystyle 1/g_{rr}}$ ${\displaystyle r}$

${\displaystyle r_{\text{H}}^{\pm }={\frac {r_{\rm {s}}}{2}}\pm {\sqrt {{\frac {r_{\rm {s}}^{2}}{4}}-a^{2}-r_{Q}^{2}}}.}$

Повторяя этот шаг, получаем внутреннюю и внешнюю эргосферу. ${\displaystyle g_{tt}}$

${\displaystyle r_{\text{E}}^{\pm }={\frac {r_{\rm {s}}}{2}}\pm {\sqrt {{\frac {r_{\rm {s}}^{2}}{4}}-a^{2}\cos ^{2}\theta -r_{Q}^{2}}}.}$

Тестовая частица на орбите вокруг вращающейся и заряженной черной дыры ( a / M  = 0,9, Q / M  = 0,4)

Уравнения движения

Для краткости мы далее используем безразмерные величины, нормированные относительно , ​​, и , где сводится к и к , а уравнения движения для пробной заряженной частицы становятся ^{[29] [30]} ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle 4\pi \epsilon _{0}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle Jc/G/M^{2}}$ ${\displaystyle Q}$ ${\textstyle Q/(M{\sqrt {4\pi \epsilon _{0}G}})}$ ${\displaystyle q}$

${\displaystyle {\dot {t}}\Delta \rho ^{2}=\csc ^{2}\theta \ ({L_{z}}(a\ \Delta \sin ^{2}\theta -a\ (a^{2}+r^{2})\sin ^{2}\theta )-q\ Q\ r\ (a^{2}+r^{2})\sin ^{2}\theta +E((a^{2}+r^{2})^{2}\sin ^{2}\theta -a^{2}\Delta \sin ^{4}\theta ))}$

${\displaystyle {\dot {r}}\rho ^{2}=\pm \left(((r^{2}+a^{2})\ E-a\ L_{z}-q\ Q\ r)^{2}-\Delta \ (C+r^{2})\right)^{1/2}}$

${\displaystyle {\dot {\theta }}\rho ^{2}=\pm \left(C-(a\cos \theta )^{2}-(a\ \sin ^{2}\theta \ E-L_{z})^{2}/\sin ^{2}\theta \right)^{1/2}}$

${\displaystyle {\dot {\phi }}\rho ^{2}\ \Delta \ \sin ^{2}\theta =E\ (a\ \sin ^{2}\theta \ (r^{2}+a^{2})-a\ \sin ^{2}\theta \ \Delta )+L_{z}\ (\Delta -a^{2}\ \sin ^{2}\theta )-q\ Q\ r\ a\ \sin ^{2}\theta }$

где для полной энергии и для осевого углового момента. — постоянная Картера : ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle L_{z}}$ ${\displaystyle C}$

${\displaystyle C=p_{\theta }^{2}+\cos ^{2}\theta \left(a^{2}(\mu ^{2}-E^{2})+{\frac {L_{z}^{2}}{\sin ^{2}\theta }}\right)=a^{2}\ (\mu ^{2}-E^{2})\ \sin ^{2}\delta +L_{z}^{2}\ \tan ^{2}\delta ={\rm {const}},}$

где — полоидальная составляющая углового момента пробной частицы, а — угол наклона орбиты. ${\displaystyle p_{\theta }={\dot {\theta }}\ \rho ^{2}}$ ${\displaystyle \delta }$

Тень вращающейся и заряженной черной дыры с аккреционным диском, прослеженная лучом, с параметрами a / M = 0,95, Q / M = 0,3. Левая сторона черной дыры вращается в сторону наблюдателя, наклон оси вращения относительно наблюдателя составляет 45°.

${\displaystyle L_{z}=p_{\phi }=-g_{\phi \phi }{\dot {\phi }}-g_{t\phi }{\dot {t}}-q\ A_{\phi }={\frac {v^{\phi }\ {\bar {R}}}{\sqrt {1-\mu ^{2}v^{2}}}}+{\frac {(1-\mu ^{2}v^{2})\ a\ r\ \mho \ q\ \sin ^{2}\theta }{\Sigma }}={\rm {const.}}}$

и

${\displaystyle E=-p_{t}=g_{tt}{\dot {t}}+g_{t\phi }{\dot {\phi }}+q\ A_{t}={\sqrt {\frac {\Delta \ \rho ^{2}}{(1-\mu ^{2}v^{2})\ \chi }}}+\Omega \ L_{z}+{\frac {\mho \ q\ r}{\Sigma }}={\rm {const.}}}$

с и для частиц также являются сохраняющимися величинами. ${\displaystyle \mu ^{2}=0}$ ${\displaystyle \mu ^{2}=1}$

${\displaystyle \Omega =-{\frac {g_{t\phi }}{g_{\phi \phi }}}={\frac {a\left(2r-Q^{2}\right)}{\chi }}}$

- угловая скорость, вызванная перетаскиванием рамки. Сокращенный термин определяется как ${\displaystyle \chi }$

${\displaystyle \chi =\left(a^{2}+r^{2}\right)^{2}-a^{2}\ \sin ^{2}\theta \ \Delta .}$

Связь между производными координат и локальной 3-скоростью имеет вид ${\displaystyle {\dot {r}},\ {\dot {\theta }},\ {\dot {\phi }}}$ ${\displaystyle v}$

${\displaystyle v^{r}={\dot {r}}\ {\sqrt {\frac {\rho ^{2}\ (1-\mu ^{2}v^{2})}{\Delta }}}}$

для радиального,

${\displaystyle v^{\theta }={\dot {\theta }}\ {\sqrt {\rho ^{2}\ (1-\mu ^{2}v^{2})}}}$

для полоидального,

${\displaystyle v^{\phi }={\sqrt {1-\mu ^{2}v^{2}}}\left(L_{z}\ \Sigma -a\ q\ Q\ r\left(1-\mu ^{2}v^{2}\right)\sin ^{2}\theta \right)\cdot ({\bar {R}}\ \Sigma )^{-1}}$

для осевого и

${\displaystyle v={\frac {\sqrt {{\dot {t}}^{2}-\varsigma ^{2}}}{\dot {t}}}={\sqrt {\frac {\chi \ (E-L_{z}\ \Omega )^{2}-\Delta \ \rho ^{2}}{\chi \ (E-L_{z}\ \Omega )^{2}}}}}$

для полной локальной скорости, где

${\displaystyle {\bar {R}}={\sqrt {-g_{\phi \phi }}}={\sqrt {\frac {\chi }{\rho ^{2}}}}\ \sin \theta }$

— осевой радиус инерции (локальная окружность, деленная на 2π), а

${\displaystyle \varsigma ={\sqrt {g^{tt}}}={\frac {\chi }{\Delta \ \rho ^{2}}}}$

компонент гравитационного замедления времени. Локальная радиальная скорость убегания для нейтральной частицы, таким образом, равна

${\displaystyle v_{\rm {esc}}={\frac {\sqrt {\varsigma ^{2}-1}}{\varsigma }}.}$

Ссылки

1. Стефани, Ганс; Крамер, Дитрих; Маккаллум, Малкольм; Хоенселаерс, Корнелиус; Херлт, Эдуард (2009-09-24). Точные решения уравнений поля Эйнштейна. Cambridge University Press. стр. 485. ISBN 978-1-139-43502-4.См. страницу 485 относительно определителя метрического тензора. См. страницу 325 относительно обобщений.
2. Ньюман, Эзра; Дженис, Аллен (1965). «Заметка о метрике вращающихся частиц Керра». Журнал математической физики . 6 (6): 915–917. Bibcode : 1965JMP.....6..915N. doi : 10.1063/1.1704350.
3. Ньюман, Эзра; Коуч, Э.; Чиннапаред, К.; Экстон, А.; Пракаш, А.; Торренс, Р. (1965). «Метрика вращающейся заряженной массы». Журнал математической физики . 6 (6): 918–919. Bibcode : 1965JMP.....6..918N. doi : 10.1063/1.1704351.
4. Керр, РП (1963). «Гравитационное поле вращающейся массы как пример алгебраически специальных метрик». Physical Review Letters . 11 (5): 237–238. Bibcode : 1963PhRvL..11..237K. doi : 10.1103/PhysRevLett.11.237.
5. Punsly, Brian (10 мая 1998 г.). "Высокоэнергетическое гамма-излучение галактических черных дыр Керра–Ньюмена. I. Центральный двигатель". The Astrophysical Journal . 498 (2): 646. Bibcode :1998ApJ...498..640P. doi : 10.1086/305561 . У всех черных дыр Керра–Ньюмена ось вращения и магнитная ось совмещены; они не могут пульсировать.
6. Лэнг, Кеннет (2003). Кембриджский путеводитель по Солнечной системе . Cambridge University Press. стр. 96. ISBN 9780521813068– через Интернет-архив. магнитный дипольный момент и ось и солнце.
7. Rosquist, Kjell (2006). «Гравитационно-индуцированный электромагнетизм в масштабе Комптона». Классическая и квантовая гравитация . 23 (9): 3111–3122. arXiv : gr-qc/0412064 . Bibcode :2006CQGra..23.3111R. doi :10.1088/0264-9381/23/9/021. S2CID  15285753.
8. Линден-Белл, Д. (2004). "Электромагнитная магия: релятивистски вращающийся диск". Physical Review D. 70 ( 10): 105017. arXiv : gr-qc/0410109 . Bibcode :2004PhRvD..70j5017L. doi :10.1103/PhysRevD.70.105017. S2CID  119091075.
9. Meinel, Reinhard (29 октября 2015 г.). "Физический вывод решения Керра–Ньюмена для черной дыры". В Nicolini P.; Kaminski M.; Mureika J.; Bleicher M. (ред.). 1-я конференция Карла Шварцшильда по гравитационной физике . Springer Proceedings in Physics. Т. 170. С. 53–61. arXiv : 1310.0640 . doi :10.1007/978-3-319-20046-0_6. ISBN 978-3-319-20045-3. S2CID  119200468.
10. Буринский, Александр (2008). «Электрон Дирака–Керра». Гравитация и космология . 14 : 109–122. arXiv : hep-th/0507109 . doi :10.1134/S0202289308020011. S2CID  119084073.
11. Картер, Брэндон (1968). «Глобальная структура семейства гравитационных полей Керра». Physical Review . 174 (5): 1559. Bibcode : 1968PhRv..174.1559C. doi : 10.1103/PhysRev.174.1559.
12. Израиль, Вернер (1970). «Источник метрики Керра». Physical Review D. 2 ( 4): 641. Bibcode :1970PhRvD...2..641I. doi :10.1103/PhysRevD.2.641.
13. Лопес, Карлос (1984). «Расширенная модель электрона в общей теории относительности». Physical Review D. 30 ( 2): 313. Bibcode : 1984PhRvD..30..313L. doi : 10.1103/PhysRevD.30.313.
14. Буринский, Александр (2009). «Сверхпроводящий источник электрона Керра-Ньюмена». arXiv : 0910.5388 [hep-th].
15. Буринский, Александр (2022). «Гравитирующий электрон на основе решения сверхвращающегося Керра-Ньюмена». Вселенная . 8 (11): 553. Bibcode : 2022Univ....8..553B. doi : 10.3390/universe8110553 .
16. Гайичек, П.; Мейер, Франк; Мецгер, Ян (2008). Введение в релятивистскую теорию гравитации. Конспект лекций по физике. Берлин: Springer. С. 243. ISBN 978-3-540-78658-0. OCLC  221218012.
17. Картер, Брэндон (1968-10-25). "Глобальная структура семейства гравитационных полей Керра" (PDF) . Physical Review . 174 (5): 1559–1571. doi :10.1103/PhysRev.174.1559.
18. Луонго, Орландо; Кеведо, Эрнандо (2014). «Характеристика отталкивающей гравитации с помощью собственных значений кривизны». Physical Review D. 90 ( 8): 084032. arXiv : 1407.1530 . Bibcode : 2014PhRvD..90h4032L. doi : 10.1103/PhysRevD.90.084032. S2CID  118457584.
19. Debney, GC; Kerr, RP; Schild, A. (1969). «Решения уравнений Эйнштейна и Эйнштейна-Максвелла». Журнал математической физики . 10 (10): 1842–1854. Bibcode :1969JMP....10.1842D. doi :10.1063/1.1664769.См. уравнения (7.10), (7.11) и (7.14).
20. Баласин, Герберт; Нахбагауэр, Герберт (1994). «Распределительный тензор энергии-импульса семейства пространства-времени Керра–Ньюмена». Классическая и квантовая гравитация . 11 (6): 1453–1461. arXiv : gr-qc/9312028 . Bibcode : 1994CQGra..11.1453B. doi : 10.1088/0264-9381/11/6/010. S2CID  6041750.
21. Сэмюэл Берман, Марсело и др. (2006). Крайтлер, Пол В. (ред.). Тенденции в исследовании черных дыр. Нью-Йорк: Nova Science Publishers. стр. 149. ISBN 978-1-59454-475-0. OCLC  60671837.
22. Nieuwenhuizen, Theo M.; Philipp, Walter; Špička, Václav; Mehmani, Bahar; Aghdami, Maryam J.; Khrennikov, Andrei, eds. (2007). Beyond the quantum: материалы семинара Лоренца «Beyond the Quantum», Lorentz Center Leiden, Нидерланды, 29 мая - 2 июня 2006 г. New Jersey NJ: World Scientific. стр. 321. ISBN 978-981-277-117-9. Формула для векторного потенциала Буринского отличается от формулы Дебни и др. только градиентом, который не влияет на поля.
23. Гейр, Джонатан. «Связанные состояния в безмассовом потенциале Керра–Ньюмена». Архивировано 26 сентября 2011 г. на Wayback Machine .
24. Appell, Math. Ann. xxx (1887) стр. 155–156. Обсуждалось Уиттакером, Эдмундом и Уотсоном, Джорджем. Курс современного анализа , стр. 400 (Cambridge University Press, 1927).
25. Тибо Дамур : Черные дыры: Энергетика и термодинамика, стр. 11
26. Ур. 57 в Pradhan, Parthapratim (2014). "Формула массы внутренней черной дыры". The European Physical Journal C . 74 (5): 2887. arXiv : 1310.7126 . Bibcode :2014EPJC...74.2887P. doi :10.1140/epjc/s10052-014-2887-2. S2CID  46448376.
27. Мизнер, Чарльз В .; Торн, Кип С.; Уилер , Джон Арчибальд ; Кайзер, Дэвид (2017). Гравитация (PDF) . Принстон, Нью-Джерси: Princeton University Press. стр. 877, 908. ISBN 978-0-691-17779-3. OCLC  1006427790.
28. Бхат, Манджири; Дхурандхар, Санджив; Дадхич, Нареш (1985). «Энергетика черной дыры Керра–Ньюмена с помощью процесса Пенроуза». Журнал астрофизики и астрономии . 6 (2): 85–100. Bibcode : 1985JApA....6...85B. doi : 10.1007/BF02715080. S2CID  53513572.
29. Cebeci, Hakan; и др. «Движение заряженных тестовых частиц в пространстве-времени Керра–Ньюмана–Тауба–NUT и аналитические решения».
30. Хакманн, Ева; Сюй, Хунсяо (2013). «Движение заряженных частиц в пространстве–времени Керра–Ньюмана». Physical Review D. 87 ( 12): 4. arXiv : 1304.2142 . Bibcode : 2013PhRvD..87l4030H. doi : 10.1103/PhysRevD.87.124030. S2CID  118576540.

Библиография

• Уолд, Роберт М. (1984). Общая теория относительности . Чикаго: Издательство Чикагского университета. С. 312–324. ISBN 978-0-226-87032-8.

Внешние ссылки

• Адамо, Тим; Ньюман, Эзра (2014). «Метрика Керра–Ньюмана». Scholarpedia . 9 (10): 31791. arXiv : 1410.6626 . Bibcode :2014SchpJ...931791N. doi : 10.4249/scholarpedia.31791 .в соавторстве с самим Эзрой Т. Ньюманом
• SR Made Easy, глава 11: Заряженные и вращающиеся черные дыры и их термодинамика