Уравнения Кирхгофа

В гидродинамике уравнения Кирхгофа , названные в честь Густава Кирхгофа , описывают движение твердого тела в идеальной жидкости .

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathrm {d} \over \mathrm {d} t}{{\partial T} \over {\partial {\boldsymbol {\omega }}}}&={{\partial T} \over {\partial {\boldsymbol {\omega }}}}\times {\boldsymbol {\omega }}+{{\partial T} \over {\partial \mathbf {v} }}\times \mathbf {v} +\mathbf {Q} _{h}+\mathbf {Q} ,\\[10pt]{\mathrm {d} \over \mathrm {d} t}{{\partial T} \over {\partial \mathbf {v} }}&={{\partial T} \over {\partial \mathbf {v} }}\times {\boldsymbol {\omega }}+\mathbf {F} _{h}+\mathbf {F} ,\\[10pt]T&={1 \over 2}\left({\boldsymbol {\omega }}^{T}{\tilde {I}}{\boldsymbol {\omega }}+mv^{2}\right)\\[10pt]\mathbf {Q} _{h}&=-\int p\mathbf {x} \times {\hat {\mathbf {n} }}\,d\sigma ,\\[10pt]\mathbf {F} _{h}&=-\int p{\hat {\mathbf {n} }}\,d\sigma \end{aligned}}}$$

где и — векторы угловой и линейной скорости в точке , соответственно; — тензор момента инерции, — масса тела; — единичный вектор нормали к поверхности тела в точке ; — давление в этой точке; и — гидродинамические момент и сила, действующие на тело, соответственно; и аналогичным образом обозначают все остальные моменты и силы, действующие на тело. Интегрирование выполняется по части поверхности тела, открытой для воздействия жидкости. ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \mathbf {x} }$ ${\displaystyle {\tilde {I}}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {n} }}}$ ${\displaystyle \mathbf {x} }$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \mathbf {Q} _{h}}$ ${\displaystyle \mathbf {F} _{h}}$ ${\displaystyle \mathbf {Q} }$ ${\displaystyle \mathbf {F} }$

Если тело полностью погружено в бесконечно большой объем безвихревой, несжимаемой, невязкой жидкости, покоящейся на бесконечности, то векторы и можно найти явным интегрированием, а динамика тела описывается уравнениями Кирхгофа – Клебша : ${\displaystyle \mathbf {Q} _{h}}$ ${\displaystyle \mathbf {F} _{h}}$

$${\displaystyle {\mathrm {d} \over \mathrm {d} t}{{\partial L} \over {\partial {\boldsymbol {\omega }}}}={{\partial L} \over {\partial {\boldsymbol {\omega }}}}\times {\boldsymbol {\omega }}+{{\partial L} \over {\partial \mathbf {v} }}\times \mathbf {v} ,\quad {\mathrm {d} \over \mathrm {d} t}{{\partial L} \over {\partial \mathbf {v} }}={{\partial L} \over {\partial \mathbf {v} }}\times {\boldsymbol {\omega }},}$$

$${\displaystyle L({\boldsymbol {\omega }},\mathbf {v} )={1 \over 2}(A{\boldsymbol {\omega }},{\boldsymbol {\omega }})+(B{\boldsymbol {\omega }},\mathbf {v} )+{1 \over 2}(C\mathbf {v} ,\mathbf {v} )+(\mathbf {k} ,{\boldsymbol {\omega }})+(\mathbf {l} ,\mathbf {v} ).}$$

Их первые интегралы читаются как $${\displaystyle J_{0}=\left({{\partial L} \over {\partial {\boldsymbol {\omega }}}},{\boldsymbol {\omega }}\right)+\left({{\partial L} \over {\partial \mathbf {v} }},\mathbf {v} \right)-L,\quad J_{1}=\left({{\partial L} \over {\partial {\boldsymbol {\omega }}}},{{\partial L} \over {\partial \mathbf {v} }}\right),\quad J_{2}=\left({{\partial L} \over {\partial \mathbf {v} }},{{\partial L} \over {\partial \mathbf {v} }}\right).}$$

Дальнейшее интегрирование дает явные выражения для положения и скорости.

Ссылки

• Кирхгоф Г. Р. Vorlesungen ueber Mathematische Physik, Mechanik . Лекция 19. Лейпциг: Тойбнер. 1877.
• Лэмб, Х., Гидродинамика . Шестое издание. Кембридж (Великобритания): Cambridge University Press. 1932.