Формула дифракции Кирхгофа

Формула дифракции Кирхгофа ^{[1] [2]} (также называемая формулой дифракции Френеля–Кирхгофа ) аппроксимируетинтенсивность и фазу света в оптической дифракции : световые поля в граничных областях теней. Приближение может быть использовано для моделирования распространения света в широком диапазоне конфигураций, как аналитически, так и с использованием численного моделирования . Оно дает выражение для волнового возмущения, когда монохроматическая сферическая волна является входящей волной рассматриваемой ситуации. Эта формула выводится путем применения интегральной теоремы Кирхгофа , которая использует второе тождество Грина для вывода решения уравнения однородной скалярной волны , к сферической волне с некоторыми приближениями.

Принцип Гюйгенса–Френеля выводится из формулы дифракции Френеля–Кирхгофа.

Вывод формулы дифракции Кирхгофа

Интегральная теорема Кирхгофа , иногда называемая интегральной теоремой Френеля–Кирхгофа, ^[3] использует второе тождество Грина для вывода решения однородного скалярного волнового уравнения в произвольной пространственной точке P через решение волнового уравнения и его производную первого порядка во всех точках произвольной замкнутой поверхности как границы некоторого объема , включающего P. ${\displaystyle S}$

Решение, предоставляемое интегральной теоремой для монохроматического источника, имеет вид , где — пространственная часть решения однородного скалярного волнового уравнения (т. е. как решение однородного скалярного волнового уравнения), k — волновое число , а s — расстояние от P до (бесконечно малого) интегрального элемента поверхности, и обозначает дифференцирование вдоль единичного вектора нормали интегрального элемента поверхности (т. е. нормальную производную ), т. е . . Обратите внимание, что нормаль поверхности или направление направлено внутрь замкнутого объема в этом интеграле; если используется более обычная внешняя нормаль , интеграл будет иметь противоположный знак. Также обратите внимание, что в интегральной теореме, показанной здесь, и P являются векторными величинами, в то время как другие члены являются скалярными величинами. $${\displaystyle U({\textbf {P}})={\frac {1}{4\pi }}\int _{S}\left[U{\frac {\partial }{\partial {\textbf {n}}}}\left({\frac {e^{iks}}{s}}\right)-{\frac {e^{iks}}{s}}{\frac {\partial U}{\partial {\textbf {n}}}}\right]dS,}$$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle V(\mathbf {r} ,t)=U(\mathbf {r} )e^{-i\omega t}}$ ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial n}}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial n}}=\nabla f\cdot n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

Для приведенных ниже случаев сделаны следующие основные предположения.

• Расстояние между точечным источником волн и интегральной площадкой, расстояние между интегральной площадкой и точкой наблюдения P , а также размер отверстия S намного больше длины волны . ${\displaystyle \lambda }$
• ${\displaystyle U}$и являются прерывистыми на границах отверстия, называемых граничными условиями Кирхгофа . Это может быть связано с другим предположением, что волны на отверстии (или открытой области) такие же, как волны, которые присутствовали бы, если бы не было никаких препятствий для волн. ${\displaystyle {\frac {\partial U}{\partial n}}=\nabla U\cdot n}$

Точечный источник

Геометрическое расположение, используемое при выводе формулы дифракции Кирхгофа. Область, обозначенная A _{1 ,} является апертурой (отверстием), области, обозначенные A _{2 ,} являются непрозрачными областями, а A _{3 ,} является полусферой как частью замкнутой интегральной поверхности (состоящей из областей A ₁ , A ₂ и A ₃ ) для интегральной теоремы Кирхгофа .

Рассмотрим монохроматический точечный источник в точке P ₀ , который освещает отверстие в экране. Интенсивность волны , испускаемой точечным источником, падает обратно пропорционально квадрату пройденного расстояния, поэтому амплитуда падает обратно пропорционально расстоянию. Комплексная амплитуда возмущения на расстоянии определяется как ${\displaystyle r}$

$${\displaystyle U(r)={\frac {ae^{ikr}}{r}},}$$где представляет собой величину возмущения в точечном источнике. ${\displaystyle a}$

Возмущение в пространственной точке P можно найти, применив интегральную теорему Кирхгофа к замкнутой поверхности, образованной пересечением сферы радиуса R с экраном. Интегрирование выполняется по площадям A ₁ , A ₂ и A ₃ , что дает $${\displaystyle U(P)={\frac {1}{4\pi }}\left[\int _{A_{1}}+\int _{A_{2}}+\int _{A_{3}}\right]\left(U{\frac {\partial }{\partial n}}\left({\frac {e^{iks}}{s}}\right)-{\frac {e^{iks}}{s}}{\frac {\partial U}{\partial n}}\right)dS.}$$

Для решения уравнения предполагается, что значения и в области апертуры A ₁ такие же, как и при отсутствии экрана, поэтому в позиции Q , где — длина прямой линии P ₀ Q , а — угол между прямолинейной версией P ₀ Q и (внутренней) нормалью к апертуре. Обратите внимание, что также является положительным действительным числом в A ₁ . ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle {\frac {\partial U}{\partial n}}}$ $${\displaystyle U_{A_{1}}={\frac {ae^{ikr}}{r}},}$$ $${\displaystyle {\frac {\partial U_{A_{1}}}{\partial n}}=\nabla U_{A_{1}}\cdot n={\frac {ae^{ikr}}{r}}\left[ik-{\frac {1}{r}}\right]\cos(n,r),}$$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle (n,r)}$ ${\displaystyle 0<(n,r)<{\frac {\pi }{2}}}$ ${\displaystyle \cos(n,r)}$

В Q мы также имеем, где — длина прямой линии PQ , а — угол между прямолинейной расширенной версией PQ и (внутренней) нормалью к отверстию. Обратите внимание, что также является отрицательным действительным числом на A ₁ . $${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial n}}\left({\frac {e^{iks}}{s}}\right)={\frac {e^{iks}}{s}}\left[ik-{\frac {1}{s}}\right]\cos(n,s),}$$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle (n,s)}$ ${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}<(n,s)<{\frac {3\pi }{2}}}$ ${\displaystyle \cos(n,s)}$

Сделаны еще два следующих предположения.

• В приведенных выше нормальных производных члены и в обеих квадратных скобках предполагаются пренебрежимо малыми по сравнению с волновым числом , то есть и намного больше длины волны . ${\displaystyle {\frac {1}{r}}}$ ${\displaystyle {\frac {1}{s}}}$ ${\displaystyle k={\frac {2\pi }{\lambda }}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle \lambda }$
• Кирхгоф предполагает, что значения и на непрозрачных участках, обозначенных A _{2 ,} равны нулю. Это означает, что и разрывны на краю отверстия A ₁ . Это не так, и это одно из приближений, используемых при выводе формулы дифракции Кирхгофа. ^{[4] [5]} Эти предположения иногда называют граничными условиями Кирхгофа . ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle {\frac {\partial U}{\partial n}}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle {\frac {\partial U}{\partial n}}}$

Ожидается, что вклад полушария A ₃ в интеграл будет равен нулю, и это может быть обосновано одной из следующих причин.

1. Предположим, что источник начинает излучать в определенное время, а затем сделаем R достаточно большим, так что при рассмотрении возмущения в точке P туда не поступит никаких вкладов от A _{3 .} ^[1] Такая волна больше не является монохроматической , поскольку монохроматическая волна должна существовать всегда, но это предположение не является необходимым, и был выведен более формальный аргумент, избегающий его использования. ^[6]
2. Ожидается, что волна, исходящая из отверстия A _{1 ,} будет эволюционировать в сферическую волну по мере своего распространения (примеры этого можно найти на многих фотографиях, показывающих прохождение волны через относительно узкое отверстие). Таким образом, если R достаточно велико, то интеграл по A ₃ становится равным , где и — расстояние от центра отверстия A ₁ до интегрального элемента поверхности и дифференциальный телесный угол в сферической системе координат соответственно. $${\displaystyle U(P)\sim -{\frac {ia}{2\lambda }}\int _{A_{3}}{\frac {e^{2ik(r')}}{r'^{2}}}[\cos(n,r')-\cos(n,r')]d{A_{3}}=-{\frac {ia}{2\lambda }}\int _{A_{3}}e^{2ik(r')}[\cos(n,r')-\cos(n,r')]d{\Omega }=0}$$ ${\displaystyle r'}$ ${\displaystyle d\Omega }$

В результате, наконец, интеграл выше, представляющий комплексную амплитуду в точке P , становится $${\displaystyle U(P)=-{\frac {ia}{2\lambda }}\int _{A_{1}}{\frac {e^{ik(r+s)}}{rs}}[\cos(n,r)-\cos(n,s)]d{A_{1}}.}$$

Это формула дифракции Кирхгофа или Френеля–Кирхгофа .

Эквивалентность принципу Гюйгенса-Френеля

Геометрическое расположение, используемое для выражения формулы Кирхгофа в форме, аналогичной формуле Гюйгенса–Френеля

Принцип Гюйгенса-Френеля может быть получен путем интегрирования по другой замкнутой поверхности (границе некоторого объема, имеющего точку наблюдения P ). Площадь A ₁ выше заменяется частью волнового фронта (испускаемого из P ₀ ) в точке r ₀ , которая находится ближе всего к отверстию, и частью конуса с вершиной в точке P ₀ , которая обозначена как A ₄ на правой диаграмме. Если волновой фронт расположен так, что волновой фронт находится очень близко к краям отверстия, то вкладом от A ₄ можно пренебречь (предполагается здесь). На этой новой A ₁ внутренняя (к объему, заключенному замкнутой интегральной поверхностью, то есть к правой стороне диаграммы) нормаль к A ₁ идет вдоль радиального направления от P ₀ , т. е. направления, перпендикулярного волновому фронту. В результате угол и угол связаны с углом (углом, определенным в принципе Гюйгенса-Френеля ) как ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle (n,r)=0}$ ${\displaystyle (n,s)}$ ${\displaystyle \chi }$ $${\displaystyle (n,s)=\pi -\chi .}$$

Комплексная амплитуда волнового фронта при r ₀ определяется выражением $${\displaystyle U(r_{0})={\frac {ae^{ikr_{0}}}{r_{0}}}.}$$

Итак, формула дифракции становится где интеграл делается по части волнового фронта при r ₀ , которая находится ближе всего к отверстию на диаграмме. Этот интеграл приводит к принципу Гюйгенса-Френеля (с коэффициентом наклона ). $${\displaystyle U(P)=-{\frac {i}{2\lambda }}{\frac {ae^{ikr_{0}}}{r_{0}}}\int _{S}{\frac {e^{iks}}{s}}(1+\cos \chi )dS,}$$ ${\textstyle {\frac {1+\cos \chi }{2}}}$

При выводе этого интеграла вместо геометрии, изображенной на правой диаграмме, можно использовать двойные сферы с центром в точке P ₀ с радиусом внутренней сферы r _{0 и бесконечным радиусом внешней сферы.} ^[7] В этой геометрии точка наблюдения P расположена в объеме, заключенном между двумя сферами, поэтому формула дифракции Френеля-Кирхгофа применяется к двум сферам. (Нормаль поверхности на этих интегральных поверхностях, повторим еще раз, направлена ​​к замкнутому объему в формуле дифракции выше.) При применении формулы интеграл на внешней сфере равен нулю по той же причине, что и интеграл на полусфере, что и ноль выше.

Расширенный источник

Предположим, что апертура освещается протяженной исходной волной. ^[8] Комплексная амплитуда в апертуре определяется как U ₀ ( r ).

Предполагается, как и прежде, что значения и в области A ₁ такие же, как и при отсутствии экрана, что значения и в области A ₂ равны нулю (граничные условия Кирхгофа) и что вклад A ₃ в интеграл также равен нулю. Также предполагается, что 1/ s пренебрежимо мало по сравнению с k . Тогда имеем ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle {\frac {\partial U}{\partial n}}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle {\frac {\partial U}{\partial n}}}$ $${\displaystyle U(P)={\frac {1}{4\pi }}\int _{A_{1}}{\frac {e^{iks}}{s}}\left[ikU_{0}(r)\cos(n,s)-{\frac {\partial U_{0}(r)}{\partial n}}\right]\,dS.}$$

Это наиболее общая форма формулы дифракции Кирхгофа. Чтобы решить это уравнение для протяженного источника, потребуется дополнительное интегрирование для суммирования вкладов, вносимых отдельными точками в источнике. Если, однако, мы предположим, что свет от источника в каждой точке апертуры имеет четко определенное направление, что имеет место, если расстояние между источником и апертурой значительно больше длины волны, то мы можем записать где a ( r ) — величина возмущения в точке r в апертуре. Тогда мы имеем и, таким образом, $${\displaystyle U_{0}(r)\approx a(r)e^{ikr},}$$ $${\displaystyle {\frac {\partial {U_{0}(r)}}{\partial n}}=ika(r)e^{ikr}\cos(n,r)}$$ $${\displaystyle U(P)=-{\frac {i}{2\lambda }}\int _{S}a(r){\frac {e^{ik(s+r)}}{s}}[\cos \chi +\cos(n,r)]\,dS.}$$

Уравнения дифракции Фраунгофера и Френеля

Несмотря на различные приближения, которые были сделаны при получении формулы, она адекватна для описания большинства проблем в инструментальной оптике. Это в основном потому, что длина волны света намного меньше размеров любых встречающихся препятствий. Аналитические решения невозможны для большинства конфигураций, но уравнение дифракции Френеля и уравнение дифракции Фраунгофера , которые являются приближениями формулы Кирхгофа для ближнего и дальнего поля , могут быть применены к очень широкому диапазону оптических систем.

Одно из важных предположений, сделанных при получении формулы дифракции Кирхгофа, заключается в том, что r и s значительно больше λ. Можно сделать еще одно приближение, которое еще больше упрощает уравнение: расстояния P ₀ Q и QP намного больше размеров апертуры. Это позволяет сделать еще два приближения:

• cos( n, r ) − cos( n, s ) заменяется на 2cos β, где β — угол между P ₀ P и нормалью к апертуре. Множитель 1/ rs заменяется на 1/ r ' s ' , где r ' и s ' — расстояния от P ₀ и P до начала координат, которое находится в апертуре. Тогда комплексная амплитуда становится: $${\displaystyle U(P)=-{\frac {ia\cos \beta }{\lambda r's'}}\int _{S}e^{ik(r+s)}\,ds.}$$
• Предположим, что отверстие лежит в плоскости xy , а координаты P ₀ , P и Q (общая точка в отверстии) равны ( x ₀ , y ₀ , z ₀ ), ( x , y , z ) и ( x ' , y ' , 0) соответственно. Тогда имеем:

  ${\displaystyle ~r^{2}=(x_{0}-x')^{2}+(y_{0}-y')^{2}+z_{0}^{2},}$

  ${\displaystyle ~s^{2}=(x-x')^{2}+(y-y')^{2}+z^{2},}$

  ${\displaystyle ~r'^{2}=x_{0}^{2}+y_{0}^{2}+z_{0}^{2},}$

  ${\displaystyle ~s'^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}.}$

Мы можем выразить r и s следующим образом: $${\displaystyle r=r'\left[1-{\frac {2(x_{0}x'+y_{0}y')}{r'^{2}}}+{\frac {x'^{2}+y'^{2}}{r'^{2}}}\right]^{1/2},}$$ $${\displaystyle s=s'\left[1-{\frac {2(xx'+yy')}{s'^{2}}}+{\frac {x'^{2}+y'^{2}}{s'^{2}}}\right]^{1/2}.}$$

Их можно разложить в степенной ряд : $${\displaystyle r=r'\left[1-{\frac {1}{2r'^{2}}}\left[2(x_{0}x'+y_{0}y')-(x'^{2}+y'^{2})\right]+{\frac {1}{8r'^{4}}}\left[2(x_{0}x'+y_{0}y')-(x'^{2}+y'^{2})\right]^{2}+\cdots \right],}$$ $${\displaystyle s=s'\left[1-{\frac {1}{2s'^{2}}}\left[2(xx'+yy')-(x'^{2}+y'^{2})\right]+{\frac {1}{8s'^{4}}}\left[2(xx'+yy')-(x'^{2}+y'^{2})\right]^{2}+\cdots \right].}$$

Комплексную амплитуду в точке P теперь можно выразить как, где f ( x ' , y ' ) включает все члены в приведенных выше выражениях для s и r , за исключением первого члена в каждом выражении, и может быть записана в форме, где c _i являются константами. $${\displaystyle U(P)=-{\frac {i\cos \beta }{\lambda }}{\frac {ae^{ik(r'+s')}}{r's'}}\int _{S}e^{ikf(x',y')}\,dx'dy',}$$ $${\displaystyle f(x',y')=c_{1}x'+c_{2}y'+c_{3}x'^{2}+c_{4}y'^{2}+c_{5}x'y'\cdots ,}$$

дифракция Фраунгофера

Если всеми членами в f ( x ' , y ' ) можно пренебречь, за исключением членов в x ' и y ' , то мы имеем уравнение дифракции Фраунгофера . Если направляющие косинусы P ₀ Q и PQ равны $${\displaystyle {\begin{aligned}l_{0}&=-x_{0}/r',\\m_{0}&=-y_{0}/r',\\l&=x/s',\\m&=y/s'.\end{aligned}}}$$

Тогда уравнение дифракции Фраунгофера имеет вид , где C — константа. Его также можно записать в виде , где k ₀ и k — волновые векторы волн, распространяющихся от P ₀ к апертуре и от апертуры к P соответственно, а r ' — точка в апертуре. $${\displaystyle U(P)=C\int _{S}e^{ik[(l_{0}-l)x'+(m_{0}-m)y']}\,dx'dy',}$$ $${\displaystyle U(P)=C\int _{S}e^{i(\mathbf {k} _{0}-\mathbf {k} )\cdot \mathbf {r} '}\,dr',}$$

Если точечный источник заменить протяженным источником, комплексная амплитуда которого в отверстии определяется выражением U ₀ ( r' ), то уравнение дифракции Фраунгофера будет иметь вид: где a ₀ ( r' ) — это, как и прежде, величина возмущения в отверстии. $${\displaystyle U(P)\propto \int _{S}a_{0}(\mathbf {r} ')e^{i(\mathbf {k} _{0}-\mathbf {k} )\cdot \mathbf {r} '}\,dr',}$$

В дополнение к приближениям, сделанным при выводе уравнения Кирхгофа, предполагается, что

• r и s значительно больше размера апертуры,
• Членами второго и более высоких порядков в выражении f ( x ' , y ' ) можно пренебречь.

дифракция Френеля

Когда квадратичными членами нельзя пренебречь, но можно пренебречь всеми членами более высокого порядка, уравнение становится уравнением дифракции Френеля . Используются приближения для уравнения Кирхгофа, а также дополнительные предположения:

• r и s значительно больше размера апертуры,
• Членами третьего и более высоких порядков в выражении f ( x ' , y ' ) можно пренебречь.

Ссылки

1. Борн, Макс ; Вольф, Эмиль (1999). Принципы оптики: электромагнитная теория распространения, интерференции и дифракции света . Кембридж: Cambridge University Press . стр. 986. ISBN 9780521642224.
2. Лонгхерст, Ричард Сэмюэл (1986). Геометрическая и физическая оптика . Orient BlackSwan. стр. 651. ISBN 8125016236.
3. Кирхгоф, Г. (1883). «Zur Theorie der Lichtstrahlen». Аннален дер Физик (на немецком языке). 254 (4). Уайли: 663–695. Бибкод : 1882АнП...254..663К. дои : 10.1002/andp.18832540409.
4. JZ Buchwald & C.-P. Yeang, «Теория Кирхгофа для оптической дифракции, ее предшественник и последующее развитие: устойчивость противоречивой теории» Архивировано 24 июня 2021 г. в Wayback Machine , Архив истории точных наук , т. 70, № 5 (сентябрь 2016 г.), стр. 463–511; doi : 10.1007/s00407-016-0176-1.
5. J. Saatsi & P. ​​Vickers, «Чудесный успех? Непоследовательность и неправда в теории дифракции Кирхгофа», British J. for the Philosophy of Science , т. 62, № 1 (март 2011 г.), стр. 29–46; jstor.org/stable/41241806. (Предварительная версия с другой нумерацией страниц: dro.dur.ac.uk/10523/1/10523.pdf.)
6. М. Борн, Optik: ein Lehrbuch der elektromagnetischen Lichttheorie . Берлин, Springer, 1933, перепечатано в 1965 году, с. 149.
7. Хехт, Юджин (2017). "10.4 Скалярная теория дифракции Кирхгофа". Optics (5-е (всемирное) изд.). Pearson. стр. 532–535. ISBN 978-1-292-09693-3.
8. М. В. Клейн и Т. Е. Фуртак, 1986, Оптика ; 2-е изд. John Wiley & Sons, ISBN Нью-Йорка 0-471-87297-0 . 

Дальнейшее чтение

• Бейкер, Б. Б.; Копсон, Э. Т. (1939, 1950). Математическая теория принципа Гюйгенса . Оксфорд.
• Воан, Грэм (2000). Кембриджский справочник по физическим формулам . Издательство Кембриджского университета. ISBN 9780521575072.
• Дж. Гудман (2005). Введение в Фурье-оптику (3-е изд.). Roberts & Co Publishers. ISBN 978-0-9747077-2-3.
• Гриффитс, Дэвид Дж. (2012). Введение в электродинамику. Pearson Education, Limited. ISBN 978-0-321-85656-2.
• Бэнд, Йехуда Б. (2006). Свет и материя: электромагнетизм, оптика, спектроскопия и лазеры. John Wiley & Sons . ISBN 978-0-471-89931-0.
• Кеньон, Ян (2008). Фантастический свет: Современное введение в классическую и квантовую оптику . Oxford University Press . ISBN 978-0-19-856646-5.
• Лернер, Рита Г.; Джордж Л., Тригг (1991). Энциклопедия физики . VCH. ISBN 978-0-89573-752-6.
• Сибил П., Паркер (1993). MacGraw-Hill Encyclopedia of Physics. McGraw-Hill Ryerson, Limited. ISBN 978-0-07-051400-3.