Категория Клейсли

Теория категорий

В теории категорий категория Клейсли — это категория , естественным образом связанная с любой монадой T. Она эквивалентна категории свободных T -алгебр . Категория Клейсли — одно из двух экстремальных решений вопроса: « Всякая ли монада возникает из присоединения ? » Другое экстремальное решение — категория Эйленберга–Мура . Категории Клейсли названы в честь математика Генриха Клейсли .

Формальное определение

Пусть ⟨ T , η , μ ⟩ — монада над категорией C. Категория Клейсли категории C — это категория C _T , объекты и морфизмы которой задаются как

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {Obj} ({{\mathcal {C}}_{T}})&=\mathrm {Obj} ({\mathcal {C}}),\\\mathrm {Hom} _{{\mathcal {C}}_{T}}(X,Y)&=\mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(X,TY).\end{aligned}}}$

То есть, каждый морфизм f: X → TY в C (с областью значений TY ) можно также рассматривать как морфизм в C _T (но с областью значений Y ). Композиция морфизмов в C _T задается формулой

${\displaystyle g\circ _{T}f=\mu _{Z}\circ Tg\circ f:X\to TY\to T^{2}Z\to TZ}$

где f: X → TY и g: Y → TZ . Тождественный морфизм задается монадной единицей η :

${\displaystyle \mathrm {id} _{X}=\eta _{X}}$.

Альтернативный способ записи этого, который проясняет категорию, в которой живет каждый объект, используется Мак Лейном. ^[1] Мы используем совсем немного другую нотацию для этого представления. Учитывая ту же монаду и категорию , что и выше, мы связываем с каждым объектом новый  объект , а для каждого морфизма —  морфизм . Вместе эти объекты и морфизмы образуют нашу категорию , где мы определяем ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X_{T}}$ ${\displaystyle f\colon X\to TY}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle f^{*}\colon X_{T}\to Y_{T}}$ ${\displaystyle C_{T}}$

${\displaystyle g^{*}\circ _{T}f^{*}=(\mu _{Z}\circ Tg\circ f)^{*}.}$

Тогда тождественный морфизм в есть ${\displaystyle C_{T}}$

${\displaystyle \mathrm {id} _{X_{T}}=(\eta _{X})^{*}.}$

Операторы расширения и тройки Клейсли

Композиция стрелок Клейсли может быть выражена кратко с помощью оператора расширения (–) ^#  : Hom( X , TY ) → Hom( TX , TY ). Даны монада ⟨ T , η , μ ⟩ над категорией C и морфизм f  : X → TY , пусть

${\displaystyle f^{\sharp }=\mu _{Y}\circ Tf.}$

Композицию в категории Клейсли C _T можно записать следующим образом:

${\displaystyle g\circ _{T}f=g^{\sharp }\circ f.}$

Оператор расширения удовлетворяет тождествам:

${\displaystyle {\begin{aligned}\eta _{X}^{\sharp }&=\mathrm {id} _{TX}\\f^{\sharp }\circ \eta _{X}&=f\\(g^{\sharp }\circ f)^{\sharp }&=g^{\sharp }\circ f^{\sharp }\end{aligned}}}$

где f  : X → TY и g  : Y → TZ . Из этих свойств тривиально следует, что композиция Клейсли ассоциативна и что η _X является тождеством.

Фактически, дать монаду — значит дать тройку Клейсли ⟨ T , η , (–) ^# ⟩, т.е.

• Функция ; ${\displaystyle T\colon \mathrm {ob} (C)\to \mathrm {ob} (C)}$
• Для каждого объекта в , морфизм ; ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \eta _{A}\colon A\to T(A)}$
• Для каждого морфизма в , морфизм ${\displaystyle f\colon A\to T(B)}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle f^{\sharp }\colon T(A)\to T(B)}$

таким образом, чтобы были удовлетворены три приведенных выше уравнения для операторов расширения.

присоединение Клейсли

Категории Клейсли были первоначально определены для того, чтобы показать, что каждая монада возникает из присоединения. Эта конструкция выглядит следующим образом.

Пусть ⟨ T , η , μ ⟩ — монада над категорией C и пусть C _T — ассоциированная категория Клейсли. Используя обозначения Маклейна, упомянутые в разделе «Формальное определение» выше, определим функтор F :  C  →  C _T следующим образом:

${\displaystyle FX=X_{T}\;}$

${\displaystyle F(f\colon X\to Y)=(\eta _{Y}\circ f)^{*}}$

и функтор G  : C _T → C по

${\displaystyle GY_{T}=TY\;}$

${\displaystyle G(f^{*}\colon X_{T}\to Y_{T})=\mu _{Y}\circ Tf\;}$

Можно показать, что F и G действительно являются функторами и что F является левым сопряженным к G. Коединица сопряжения задается формулой

${\displaystyle \varepsilon _{Y_{T}}=(\mathrm {id} _{TY})^{*}:(TY)_{T}\to Y_{T}.}$

Наконец, можно показать, что T = GF и μ = GεF, так что ⟨ T , η , μ ⟩ является монадой, связанной с присоединением ⟨ F , G , η , ε ⟩.

Показывая, чтоГФ=Т

Для любого объекта X в категории C :

${\displaystyle {\begin{aligned}(G\circ F)(X)&=G(F(X))\\&=G(X_{T})\\&=TX.\end{aligned}}}$

Для любого в категории C : ${\displaystyle f:X\to Y}$

${\displaystyle {\begin{aligned}(G\circ F)(f)&=G(F(f))\\&=G((\eta _{Y}\circ f)^{*})\\&=\mu _{Y}\circ T(\eta _{Y}\circ f)\\&=\mu _{Y}\circ T\eta _{Y}\circ Tf\\&={\text{id}}_{TY}\circ Tf\\&=Tf.\end{aligned}}}$

Так как верно для любого объекта X в C и верно для любого морфизма f в C , то . ЧТЭД ${\displaystyle (G\circ F)(X)=TX}$ ${\displaystyle (G\circ F)(f)=Tf}$ ${\displaystyle G\circ F=T}$

Ссылки

1. Mac Lane (1998). Категории для работающего математика . стр. 147.

• Mac Lane, Saunders (1998). Категории для работающих математиков . Graduate Texts in Mathematics . Vol. 5 (2nd ed.). Springer. ISBN 0-387-98403-8. Збл  0906.18001.
• Pedicchio, Maria Cristina; Tholen, Walter, ред. (2004). Категориальные основы. Специальные темы по порядку, топологии, алгебре и теории пучков . Энциклопедия математики и ее приложений. Том 97. Cambridge University Press . ISBN 0-521-83414-7. Збл  1034.18001.
• Риль, Эмили (2016). Теория категорий в контексте (PDF) . Dover Publications. ISBN 978-0-486-80903-8. OCLC  1006743127.
• Риге, Жак ; Гитарт, Рене (1992). «Конверт Karoubienne и категория клейсли». Cahiers de Topologie et Géométrie Différentielle Catégoriques . 33 (3): 261–6. МР  1186950. Збл  0767.18008.

Внешние ссылки

• Категория Клейсли в n Lab