L-бесконечность

Пространство ограниченных последовательностей

В математике , , (действительное или комплексное) векторное пространство ограниченных последовательностей с супремум- нормой, и , векторное пространство существенно ограниченных измеримых функций с существенно супремум- нормой, являются двумя тесно связанными банаховыми пространствами . Фактически первое является частным случаем второго. Как банахово пространство они являются непрерывным сопряженным банаховым пространствам абсолютно суммируемых последовательностей и абсолютно интегрируемых измеримых функций (если пространство меры удовлетворяет условиям локализуемости и, следовательно, полуконечности). ^[1] Поточечное умножение придает им структуру банаховой алгебры , и фактически они являются стандартными примерами абелевых алгебр фон Неймана . ${\displaystyle \ell ^{\infty }}$ ${\displaystyle L^{\infty }=L^{\infty }(X,\Sigma ,\mu )}$ ${\displaystyle \ell _{1}}$ ${\displaystyle L^{1}=L^{1}(X,\Sigma ,\mu )}$

Пространство последовательности

Векторные пространства — это пространства последовательностей , элементами которых являются ограниченные последовательности . Операции векторного пространства, сложение и скалярное умножение, применяются координатно. По отношению к норме — это стандартный пример банахова пространства . Фактически, можно рассматривать как пространство с наибольшим . ${\displaystyle \ell ^{\infty }}$ $${\displaystyle \|x\|_{\infty }=\sup _{n}|x_{n}|}$$ ${\displaystyle \ell ^{\infty }}$ ${\displaystyle \ell ^{\infty }}$ ${\displaystyle \ell ^{p}}$ ${\displaystyle p}$

Это пространство является сильным двойственным пространством для : действительно, каждое определяет непрерывный функционал на пространстве абсолютно суммируемых последовательностей посредством покомпонентного умножения и суммирования: ${\displaystyle \ell ^{1}}$ ${\displaystyle x\in \ell ^{\infty }}$ ${\displaystyle \ell ^{1}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\ell ^{\infty }&\to ({\ell ^{1}})'\\x&\mapsto \left(y\mapsto \sum _{i=1}^{\infty }x_{i}y_{i}\right)\end{aligned}}}$

Оценивая на , мы видим, что всякий непрерывный линейный функционал на возникает таким образом. т.е. ${\displaystyle (0,\ldots ,0,1,0,\ldots )}$ ${\displaystyle \ell ^{1}}$

${\displaystyle ({\ell ^{1}})^{'}=\ell ^{\infty }}$

Однако не всякий непрерывный линейный функционал на возникает из абсолютно суммируемого ряда по и, следовательно, не является рефлексивным банаховым пространством . ${\displaystyle \ell ^{\infty }}$ ${\displaystyle \ell ^{1},}$ ${\displaystyle \ell ^{\infty }}$

Функциональное пространство

${\displaystyle L^{\infty }}$является функциональным пространством . Его элементы — это существенно ограниченные измеримые функции . ^[2]

Точнее, определяется на основе базового пространства мер , Начнем с множества всех измеримых функций от до , которые по существу ограничены , то есть ограничены за исключением множества меры ноль. Две такие функции идентифицируются, если они равны почти всюду. Обозначим полученное множество как ${\displaystyle L^{\infty }}$ ${\displaystyle (S,\Sigma ,\mu ).}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle L^{\infty }(S,\mu ).}$

Для функции из этого множества ее существенный супремум служит подходящей нормой: Эта норма является равномерной нормой , она является нормой для ${\displaystyle f}$ $${\displaystyle \|f\|_{\infty }\equiv \inf\{C\geq 0:|f(x)|\leq C{\text{ for almost every }}x\}.}$$ ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle p=\infty .}$

Пространство последовательностей является частным случаем пространства функций: в нем натуральные числа снабжены счетной мерой. ${\displaystyle \ell ^{\infty }=L^{\infty }(\mathbb {N} )}$

Приложения

Одно из применений и находится в экономике , в частности, в изучении экономик с бесконечным количеством товаров. ^[3] В простых экономических моделях принято предполагать, что существует только конечное число различных товаров, например, домов, фруктов, автомобилей и т. д., поэтому каждый набор может быть представлен конечным вектором, а набор потребления — векторным пространством с конечным измерением. Но в действительности число различных товаров может быть бесконечным. Например, «дом» — это не один тип товара, поскольку стоимость дома зависит от его местоположения. Таким образом, число различных товаров — это число различных местоположений, которые можно считать бесконечными. В этом случае набор потребления естественным образом представлен как ${\displaystyle \ell ^{\infty }}$ ${\displaystyle L^{\infty }}$ ${\displaystyle L^{\infty }.}$

Смотрите также

• Равномерная норма  – Функция в математическом анализе
• Расстояние Чебышева  – Математическая метрика

Ссылки

1. «Элементарная теория множеств. Почему каждое локализуемое мерное пространство является полуконечным мерным пространством?».
2. Брезис, Хаим (2010). Функциональный анализ, пространства Соболева и уравнения с частными производными . Springer. стр. 91. ISBN 978-0-387-70913-0.
3. Бьюли, ТФ (1972). «Существование равновесий в экономиках с бесконечным количеством товаров». Журнал экономической теории . 4 (3): 514–540. doi :10.1016/0022-0531(72)90136-6.