L-теория

В математике алгебраическая L -теория — это K -теория квадратичных форм ; этот термин был придуман Ч. Т. С. Уоллом , при этом L используется как буква после K. Алгебраическая L -теория, также известная как «эрмитова K -теория», играет важную роль в теории хирургии . ^[1]

Определение

Для любого кольца с инволюцией R можно определить L -группы : квадратичные L -группы (Уолл) и симметрические L -группы (Мищенко, Раницкий). ${\displaystyle L_{*}(R)}$ ${\displaystyle L^{*}(R)}$

Даже измерение

Четномерные L -группы определяются как группы Витта ε-квадратичных форм над кольцом R с . Точнее, ${\displaystyle L_{2k}(R)}$ ${\displaystyle \epsilon =(-1)^{k}}$

${\displaystyle L_{2k}(R)}$

— абелева группа классов эквивалентности невырожденных ε-квадратичных форм над R, где базовые R-модули F являются конечно порожденными свободными. Отношение эквивалентности задается стабилизацией относительно гиперболических ε-квадратичных форм : ${\displaystyle [\psi ]}$ ${\displaystyle \psi \in Q_{\epsilon }(F)}$

${\displaystyle [\psi ]=[\psi ']\Longleftrightarrow n,n'\in {\mathbb {N} }_{0}:\psi \oplus H_{(-1)^{k}}(R)^{n}\cong \psi '\oplus H_{(-1)^{k}}(R)^{n'}}$.

Добавление определяется как ${\displaystyle L_{2k}(R)}$

${\displaystyle [\psi _{1}]+[\psi _{2}]:=[\psi _{1}\oplus \psi _{2}].}$

Нулевой элемент представлен для любого . Обратным элементом является . ${\displaystyle H_{(-1)^{k}}(R)^{n}}$ ${\displaystyle n\in {\mathbb {N} }_{0}}$ ${\displaystyle [\psi ]}$ ${\displaystyle [-\psi ]}$

Нечетное измерение

Определение нечетномерных L -групп более сложно; более подробную информацию и определение нечетномерных L -групп можно найти в ссылках, указанных ниже.

Примеры и приложения

L -группы группы являются L -группами группового кольца . В приложениях к топологии является фундаментальной группой пространства . Квадратичные L -группы играют центральную роль в хирургической классификации гомотопических типов -мерных многообразий размерности , а также в формулировке гипотезы Новикова . ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle L_{*}(\mathbf {Z} [\pi ])}$ ${\displaystyle \mathbf {Z} [\pi ]}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \pi _{1}(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle L_{*}(\mathbf {Z} [\pi ])}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n>4}$

Различие между симметричными L -группами и квадратичными L -группами, обозначенное верхними и нижними индексами, отражает использование в групповых гомологиях и когомологиях. Групповые когомологии циклической группы имеют дело с неподвижными точками -действия , в то время как групповые гомологии имеют дело с орбитами -действия ; сравните (неподвижные точки) и (орбиты, фактор) для обозначения верхнего/нижнего индекса. ${\displaystyle H^{*}}$ ${\displaystyle \mathbf {Z} _{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {Z} _{2}}$ ${\displaystyle H_{*}}$ ${\displaystyle \mathbf {Z} _{2}}$ ${\displaystyle X^{G}}$ ${\displaystyle X_{G}=X/G}$

Квадратичные L -группы: и симметричные L -группы: связаны отображением симметризации , которое является изоморфизмом по модулю 2-кручения и которое соответствует тождествам поляризации . ${\displaystyle L_{n}(R)}$ ${\displaystyle L^{n}(R)}$ ${\displaystyle L_{n}(R)\to L^{n}(R)}$

Квадратичные и симметричные L -группы являются 4-кратно периодическими (комментарий Раницкого, стр. 12, о непериодичности симметричных L -групп относится к другому типу L -групп, определяемому с помощью «коротких комплексов»).

Ввиду приложений к классификации многообразий существуют обширные вычисления квадратичных -групп . Для конечных используются алгебраические методы, а для бесконечных в основном геометрические методы (например, управляемая топология) . ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L_{*}(\mathbf {Z} [\pi ])}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \pi }$

В более общем смысле можно определить L -группы для любой аддитивной категории с цепной двойственностью , как у Раницкого (раздел 1).

Целые числа

Односвязные L -группы также являются L -группами целых чисел, как для = или Для квадратичных L -групп это хирургические препятствия к односвязной хирургии. ${\displaystyle L(e):=L(\mathbf {Z} [e])=L(\mathbf {Z} )}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L^{*}}$ ${\displaystyle L_{*}.}$

Квадратичные L -группы целых чисел:

${\displaystyle {\begin{aligned}L_{4k}(\mathbf {Z} )&=\mathbf {Z} &&{\text{signature}}/8\\L_{4k+1}(\mathbf {Z} )&=0\\L_{4k+2}(\mathbf {Z} )&=\mathbf {Z} /2&&{\text{Arf invariant}}\\L_{4k+3}(\mathbf {Z} )&=0.\end{aligned}}}$

В дважды четной размерности (4k ) квадратичные L -группы обнаруживают сигнатуру ; в одинарной четной размерности (4k + 2) L -группы обнаруживают инвариант Арфа (топологически инвариант Кервера ).

Симметричные L -группы целых чисел:

${\displaystyle {\begin{aligned}L^{4k}(\mathbf {Z} )&=\mathbf {Z} &&{\text{signature}}\\L^{4k+1}(\mathbf {Z} )&=\mathbf {Z} /2&&{\text{de Rham invariant}}\\L^{4k+2}(\mathbf {Z} )&=0\\L^{4k+3}(\mathbf {Z} )&=0.\end{aligned}}}$

В дважды четной размерности (4k ) симметричные L -группы, как и квадратичные L -группы, обнаруживают сигнатуру; в размерности (4k + 1) L -группы обнаруживают инвариант де Рама .

Ссылки

1. «L-теория, K-теория и инволюции, Левиков, Филипп, 2013, В Университете Абердина (ISNI:0000 0004 2745 8820)».

• Люк, Вольфганг (2002), "Основное введение в теорию хирургии" (PDF) , Топология многообразий высокой размерности, № 1, 2 (Триест, 2001) , ICTP Lect. Notes, т. 9, Abdus Salam Int. Cent. Theoret. Phys., Триест, стр. 1–224, MR  1937016
• Раницки, Эндрю А. (1992), Алгебраическая L-теория и топологические многообразия (PDF) , Cambridge Tracts in Mathematics, т. 102, Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-42024-2, МР  1211640
• Wall, CTC (1999) [1970], Ranicki, Andrew (ред.), Surgery on compact multiples (PDF) , Mathematical Surveys and Monographs, т. 69 (2-е изд.), Providence, RI: American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-0942-6, г-н  1687388