L-функция Дирихле

Тип математической функции

В математике ряд Дирихле L — это функция вида

${\displaystyle L(s,\chi )=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\chi (n)}{n^{s}}}.}$

где — характер Дирихле , а s — комплексная переменная с действительной частью больше 1. Это частный случай ряда Дирихле . Аналитическим продолжением его можно расширить до мероморфной функции на всей комплексной плоскости , и тогда он называется L -функцией Дирихле и обозначается также L ( s , χ ). ${\displaystyle \chi }$

Эти функции названы в честь Петера Густава Лежена Дирихле, который ввел их в (Dirichlet 1837) для доказательства теоремы о простых числах в арифметических прогрессиях , которая также носит его имя. В ходе доказательства Дирихле показывает, что L ( s , χ ) не равна нулю при s = 1. Более того, если χ является главным, то соответствующая L -функция Дирихле имеет простой полюс при s = 1. В противном случае L -функция является целой .

произведение Эйлера

Поскольку характер Дирихле χ является полностью мультипликативным , его L -функцию можно также записать в виде произведения Эйлера в полуплоскости абсолютной сходимости :

${\displaystyle L(s,\chi )=\prod _{p}\left(1-\chi (p)p^{-s}\right)^{-1}{\text{ for }}{\text{Re}}(s)>1,}$

где произведение распространяется на все простые числа . ^[1]

Примитивные персонажи

Результаты о L -функциях часто формулируются проще, если предполагается, что персонаж примитивен, хотя результаты обычно можно распространить на импримитивные персонажи с небольшими усложнениями. ^[2] Это происходит из-за связи между импримитивным персонажем и примитивным персонажем , который его порождает: ^[3] ${\displaystyle \chi }$ ${\displaystyle \chi ^{\star }}$

${\displaystyle \chi (n)={\begin{cases}\chi ^{\star }(n),&\mathrm {if} \gcd(n,q)=1\\0,&\mathrm {if} \gcd(n,q)\neq 1\end{cases}}}$

(Здесь q — модуль χ .) Применение произведения Эйлера дает простую связь между соответствующими L -функциями: ^{[4] [5]}

${\displaystyle L(s,\chi )=L(s,\chi ^{\star })\prod _{p\,|\,q}\left(1-{\frac {\chi ^{\star }(p)}{p^{s}}}\right)}$

(Эта формула справедлива для всех s , посредством аналитического продолжения, хотя произведение Эйлера справедливо только при Re( s ) > 1.) Формула показывает, что L -функция χ равна L -функции примитивного характера, который индуцирует χ , умноженной лишь на конечное число множителей. ^[6]

В качестве частного случая L -функция главного характера по модулю q может быть выражена через дзета-функцию Римана : ^{[7] [8]} ${\displaystyle \chi _{0}}$

${\displaystyle L(s,\chi _{0})=\zeta (s)\prod _{p\,|\,q}(1-p^{-s})}$

Функциональное уравнение

Функции Дирихле L удовлетворяют функциональному уравнению , которое дает возможность аналитически продолжить их по всей комплексной плоскости. Функциональное уравнение связывает значение со значением . Пусть χ будет примитивным характером по модулю q , где q > 1. Один из способов выразить функциональное уравнение: ^[9] ${\displaystyle L(s,\chi )}$ ${\displaystyle L(1-s,{\overline {\chi }})}$

${\displaystyle L(s,\chi )=W(\chi )2^{s}\pi ^{s-1}q^{1/2-s}\sin \left({\frac {\pi }{2}}(s+\delta )\right)\Gamma (1-s)L(1-s,{\overline {\chi }}).}$

В этом уравнении Γ обозначает гамма-функцию ;

${\displaystyle \chi (-1)=(-1)^{\delta }}$ ; и

${\displaystyle W(\chi )={\frac {\tau (\chi )}{i^{\delta }{\sqrt {q}}}}}$

где τ  (  χ ) — сумма Гаусса :

${\displaystyle \tau (\chi )=\sum _{a=1}^{q}\chi (a)\exp(2\pi ia/q).}$

Свойством сумм Гаусса является то, что | τ  (  χ ) | = q ^1/2 , поэтому | W  (  χ ) | = 1. ^{[10] [11]}

Другой способ сформулировать функциональное уравнение — это использовать термины

${\displaystyle \Lambda (s,\chi )=q^{s/2}\pi ^{-(s+\delta )/2}\operatorname {\Gamma } \left({\frac {s+\delta }{2}}\right)L(s,\chi ).}$

Функциональное уравнение можно выразить как: ^{[9] [11]}

${\displaystyle \Lambda (s,\chi )=W(\chi )\Lambda (1-s,{\overline {\chi }}).}$

Функциональное уравнение подразумевает, что (и ) являются целыми функциями s . (Опять же, это предполагает, что χ является примитивным характером по модулю q с q > 1. Если q = 1, то имеет полюс при s = 1.) ^{[9] [11]} ${\displaystyle L(s,\chi )}$ ${\displaystyle \Lambda (s,\chi )}$ ${\displaystyle L(s,\chi )=\zeta (s)}$

Для обобщений см.: Функциональное уравнение (L-функция) .

Нули

Функция Дирихле L ( s , χ ) = 1 − 3 − ^{s +} 5 ^{− s} − 7 ^{− s} + ⋅⋅⋅ (иногда ее называют бета-функцией Дирихле ) с тривиальными нулями в отрицательных нечетных целых числах.

Пусть χ — примитивный характер по модулю q , причем q > 1.

Нет нулей L ( s , χ ) при Re( s ) > 1. При Re( s ) < 0 нули есть при определенных отрицательных целых числах s :

• Если χ (−1) = 1, то единственными нулями L ( s , χ ) с Re( s ) < 0 являются простые нули при −2, −4, −6, .... (Существует также ноль при s = 0.) Они соответствуют полюсам . ^[12] ${\displaystyle \textstyle \Gamma ({\frac {s}{2}})}$
• Если χ (−1) = −1, то единственными нулями L ( s , χ ) с Re( s ) < 0 являются простые нули в точках −1, −3, −5, .... Они соответствуют полюсам . ^[12] ${\displaystyle \textstyle \Gamma ({\frac {s+1}{2}})}$

Их называют тривиальными нулями. ^[9]

Остальные нули лежат в критической полосе 0 ≤ Re( s ) ≤ 1 и называются нетривиальными нулями. Нетривиальные нули симметричны относительно критической прямой Re( s ) = 1/2. То есть, если тогда также, из-за функционального уравнения. Если χ — действительный характер, то нетривиальные нули также симметричны относительно действительной оси, но не если χ — комплексный характер. Обобщенная гипотеза Римана — это гипотеза о том, что все нетривиальные нули лежат на критической прямой Re( s ) = 1/2. ^[9] ${\displaystyle L(\rho ,\chi )=0}$ ${\displaystyle L(1-{\overline {\rho }},\chi )=0}$

Известно , что вплоть до возможного существования нуля Зигеля для всех L -функций Дирихле существуют области, свободные от нулей, включая и за пределами прямой Re( s ) = 1, аналогичные области дзета-функции Римана : например, для χ — невещественного характера модуля q , имеем

${\displaystyle \beta <1-{\frac {c}{\log \!\!\;{\big (}q(2+|\gamma |){\big )}}}\ }$

для β + iγ невещественный нуль. ^[13]

Связь с дзета-функцией Гурвица

Функции Дирихле L могут быть записаны как линейная комбинация дзета -функции Гурвица при рациональных значениях. Зафиксировав целое число k ≥ 1, функции Дирихле L для символов по модулю k являются линейными комбинациями с постоянными коэффициентами ζ ( s , a ), где a = r / k и r = 1, 2, ..., k . Это означает, что дзета-функция Гурвица для рационального a имеет аналитические свойства, которые тесно связаны с функциями Дирихле L. В частности, пусть χ будет символом по модулю k . Тогда мы можем записать его функцию Дирихле L как: ^[14]

${\displaystyle L(s,\chi )=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\chi (n)}{n^{s}}}={\frac {1}{k^{s}}}\sum _{r=1}^{k}\chi (r)\operatorname {\zeta } \left(s,{\frac {r}{k}}\right).}$

Смотрите также

• Обобщенная гипотеза Римана
• L-функция
• Теорема о модульности
• гипотеза Артина
• Специальные значения L-функций

Примечания

1. Апостол 1976, Теорема 11.7
2. Дэвенпорт 2000, глава 5
3. Дэвенпорт 2000, глава 5, уравнение (2)
4. Дэвенпорт 2000, глава 5, уравнение (3)
5. Монтгомери и Воган 2006, стр. 282
6. Апостол 1976, стр. 262
7. Айрленд и Розен 1990, глава 16, раздел 4
8. Монтгомери и Воган 2006, стр. 121
9. Montgomery & Vaughan 2006, с. 333
10. Монтгомери и Воган 2006, стр. 332
11. Иванец и Ковальски 2004, с. 84
12. Davenport 2000, глава 9
13. Монтгомери, Хью Л. (1994). Десять лекций о взаимодействии аналитической теории чисел и гармонического анализа . Серия региональных конференций по математике. Т. 84. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . стр. 163. ISBN 0-8218-0737-4. Збл  0814.11001.
14. Апостол 1976, стр. 249

Ссылки

• Апостол, Том М. (1976), Введение в аналитическую теорию чисел , Бакалаврские тексты по математике, Нью-Йорк-Гейдельберг: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3, MR  0434929, Zbl  0335.10001
• Апостол, ТМ (2010), «L-функция Дирихле», в Олвер, Фрэнк В.Дж .; Лозье, Дэниел М.; Бойсверт, Рональд Ф.; Кларк, Чарльз В. (ред.), Справочник математических функций NIST , Издательство Кембриджского университета, ISBN 978-0-521-19225-5, г-н  2723248.
• Дэвенпорт, Х. (2000). Теория мультипликативных чисел (3-е изд.). Springer. ISBN 0-387-95097-4.
• Дирихле, ПГЛ (1837). «Beweis des Satzes, dass jede unbegrenzte arithmetische Progression, deren erstes Glied und Differenz ganze Zahlen ohne gemeinschaftlichen Factor sind, unendlich viele Primzahlen enthält». Абханд. Ак. Висс. Берлин . 48 .
• Айрленд, Кеннет; Розен, Майкл (1990). Классическое введение в современную теорию чисел (2-е изд.). Springer-Verlag.
• Монтгомери, Хью Л.; Воган , Роберт К. (2006). Мультипликативная теория чисел. I. Классическая теория . Кембриджские трактаты по высшей математике. Том 97. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-84903-6.
• Iwaniec, Henryk ; Kowalski, Emmanuel (2004). Аналитическая теория чисел . Публикации коллоквиума Американского математического общества. Том 53. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество.
• «Дирихле-L-функция», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]