Правило Лопиталя

Математическое правило для оценки некоторых пределов

Пример применения правила Лопиталя к f ( x ) = sin( x ) и g ( x ) = −0,5 x : функция h ( x ) = f ( x ) / g ( x ) не определена при x = 0 , но может быть дополнена до непрерывной функции на всем R , определив h (0) = f ′(0) / g ′(0) = −2 .

Правило Лопиталя ( / ˌ l oʊ p iː ˈ t ɑː l / , loh-pee- TAHL ) или правило Лопиталя , также известное как правило Бернулли , является математической теоремой , которая позволяет оценивать пределы неопределенных форм с помощью производных . Применение (или повторное применение) правила часто преобразует неопределенную форму в выражение , которое может быть легко оценено путем подстановки. Правило названо в честь французского математика 17-го века Гийома Де Лопиталя . Хотя правило часто приписывается Де Лопиталю , теорема была впервые представлена ​​ему в 1694 году швейцарским математиком Иоганном Бернулли .

Правило Лопиталя гласит, что для функций f и g , которые определены на открытом интервале I и дифференцируемы на для (возможно бесконечной) точки накопления c интервала I , если и для всех x из , и существует, то ${\textstyle I\setminus \{c\}}$ ${\textstyle \lim \limits _{x\to c}f(x)=\lim \limits _{x\to c}g(x)=0{\text{ or }}\pm \infty ,}$ ${\textstyle g'(x)\neq 0}$ ${\textstyle I\setminus \{c\}}$ ${\textstyle \lim \limits _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}}$

${\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}.}$

Дифференциация числителя и знаменателя часто упрощает частное или преобразует его в предел, который можно непосредственно оценить с помощью непрерывности .

История

Гийом де Л'Опиталь (также писался как Л'Опиталь ^[a] ) опубликовал это правило в своей книге 1696 года Analyse des Infiniment Petits pour l'Intelligence des Lignes Courbes (дословный перевод: Анализ бесконечно малых для понимания кривых линий ), первом учебнике по дифференциальному исчислению . ^{[1] [b]} Однако считается, что это правило было открыто швейцарским математиком Иоганном Бернулли . ^[3]

Общая форма

Общая форма правила Лопиталя охватывает множество случаев. Пусть c и L — расширенные действительные числа : действительные числа, положительная или отрицательная бесконечность. Пусть I — открытый интервал, содержащий c (для двустороннего предела) или открытый интервал с конечной точкой c (для одностороннего предела или предела на бесконечности , если c — бесконечность). На действительные функции f и g предполагаются дифференцируемыми с . Также предполагается, что , конечный или бесконечный предел. ${\displaystyle I\smallsetminus \{c\}}$ ${\displaystyle g'(x)\neq 0}$ ${\textstyle \lim \limits _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}=L}$

Если либо либо , то Хотя мы всюду писали x → c , пределы могут быть и односторонними пределами ( x → c ⁺ или x → c ⁻ ), когда c является конечной конечной точкой I . $${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=\lim _{x\to c}g(x)=0}$$ $${\displaystyle \lim _{x\to c}|f(x)|=\lim _{x\to c}|g(x)|=\infty ,}$$ $${\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=L.}$$

Во втором случае гипотеза о том, что f расходится к бесконечности, не является необходимой; на самом деле, достаточно, чтобы ${\textstyle \lim _{x\to c}|g(x)|=\infty .}$

Гипотеза, которая чаще всего встречается в литературе, но некоторые авторы обходят эту гипотезу, добавляя другие гипотезы, которые подразумевают . Например, ^[4] можно потребовать в определении предела , чтобы функция была определена всюду на интервале . ^[c] Другой метод ^[5] состоит в требовании, чтобы и f, и g были дифференцируемы всюду на интервале, содержащем c . ${\displaystyle g'(x)\neq 0}$ ${\displaystyle g'(x)\neq 0}$ ${\textstyle \lim \limits _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}=L}$ ${\textstyle {\frac {f'(x)}{g'(x)}}}$ ${\displaystyle I\smallsetminus \{c\}}$

Контрпримеры: необходимость гипотез

Все четыре условия правила Лопиталя являются необходимыми:

1. Неопределенность формы: или  ; ${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=\lim _{x\to c}g(x)=0}$ ${\displaystyle \pm \infty }$
2. Дифференцируемость функций: и дифференцируемы на открытом интервале, за исключением, возможно, предельной точки в ; ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle g(x)}$ ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$
3. Ненулевая производная знаменателя: для всех в с  ; ${\displaystyle g'(x)\neq 0}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ ${\displaystyle x\neq c}$
4. Существование предела частного производных: существует. ${\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}}$

Если одно из вышеуказанных условий не выполняется, вывод правила Лопиталя в некоторых случаях будет ложным.

1. Форма не является неопределенной.

Необходимость первого условия можно увидеть, рассмотрев контрпример, где функции имеют вид и , а предел равен . ${\displaystyle f(x)=x+1}$ ${\displaystyle g(x)=2x+1}$ ${\displaystyle x\to 1}$

Первое условие не выполняется для этого контрпримера, поскольку и . Это означает, что форма не является неопределенной. ${\displaystyle \lim _{x\to 1}f(x)=\lim _{x\to 1}(x+1)=(1)+1=2\neq 0}$ ${\displaystyle \lim _{x\to 1}g(x)=\lim _{x\to 1}(2x+1)=2(1)+1=3\neq 0}$

Второе и третье условия выполняются при и . Четвертое условие также выполняется при ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle g(x)}$

$${\displaystyle \lim _{x\to 1}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}=\lim _{x\to 1}{\frac {(x+1)'}{(2x+1)'}}=\lim _{x\to 1}{\frac {1}{2}}={\frac {1}{2}}.}$$

Но вывод неверен, поскольку $${\displaystyle \lim _{x\to 1}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to 1}{\frac {x+1}{2x+1}}={\frac {\lim _{x\to 1}(x+1)}{\lim _{x\to 1}(2x+1)}}={\frac {2}{3}}\neq {\frac {1}{2}}.}$$

2. Дифференцируемость функций

Дифференцируемость функций является обязательным требованием, поскольку если функция не дифференцируема, то нет гарантии, что производная функции будет существовать в каждой точке в . Тот факт, что является открытым интервалом, вытекает из гипотезы теоремы Коши о среднем значении . Заметное исключение возможности того, что функции не будут дифференцируемы в , существует, поскольку правило Лопиталя требует, чтобы производная существовала только при приближении функции к ; производную не обязательно брать в . ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle c}$

Например, пусть , и . В этом случае не дифференцируемо в . Однако, поскольку дифференцируемо всюду, кроме , то все еще существует. Таким образом, поскольку ${\displaystyle f(x)={\begin{cases}\sin x,&x\neq 0\\1,&x=0\end{cases}}}$ ${\displaystyle g(x)=x}$ ${\displaystyle c=0}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \lim _{x\to c}f'(x)}$

${\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {0}{0}}}$и существует, правило Лопиталя по-прежнему действует. ${\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}}$

3. Производная знаменателя равна нулю.

Необходимость условия, что рядом, можно увидеть из следующего контрпримера Отто Штольца . ^[6] Пусть и Тогда нет предела для как Однако, ${\displaystyle g'(x)\neq 0}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle f(x)=x+\sin x\cos x}$ ${\displaystyle g(x)=f(x)e^{\sin x}.}$ ${\displaystyle f(x)/g(x)}$ ${\displaystyle x\to \infty .}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}&={\frac {2\cos ^{2}x}{(2\cos ^{2}x)e^{\sin x}+(x+\sin x\cos x)e^{\sin x}\cos x}}\\&={\frac {2\cos x}{2\cos x+x+\sin x\cos x}}e^{-\sin x},\end{aligned}}}$

который стремится к 0 как , хотя он не определен в бесконечном числе точек. Другие примеры этого типа были найдены Ральфом П. Боасом-младшим ^[7] ${\displaystyle x\to \infty }$

4. Ограничений по производным инструментам не существует

Требование существования предела является существенным; если он не существует, другой предел все равно может существовать. Действительно, при приближении к функции или могут демонстрировать множество колебаний малой амплитуды, но крутого наклона, которые не влияют , но препятствуют сходимости . ${\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}}$ ${\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}}$ ${\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}}$

Например, если , и , то что не приближается к пределу, поскольку косинус бесконечно колеблется между 1 и −1 . Но отношение исходных функций приближается к пределу, поскольку амплитуда колебаний становится малой относительно : ${\displaystyle f(x)=x+\sin(x)}$ ${\displaystyle g(x)=x}$ ${\displaystyle c=\infty }$ $${\displaystyle {\frac {f'(x)}{g'(x)}}={\frac {1+\cos(x)}{1}},}$$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to \infty }\left({\frac {x+\sin(x)}{x}}\right)=\lim _{x\to \infty }\left(1+{\frac {\sin(x)}{x}}\right)=1+0=1.}$

В таком случае можно сделать только один вывод:

${\displaystyle \liminf _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}\leq \liminf _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}\leq \limsup _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}\leq \limsup _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}},}$

так что если предел существует, то он должен лежать между нижним и верхним пределами . В примере 1 действительно лежит между 0 и 2.) ${\textstyle {\frac {f}{g}}}$ ${\textstyle {\frac {f'}{g'}}}$

Обратите внимание также, что согласно контрапозитивной форме правила, если не существует, то также не существует. ${\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}}$ ${\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}}$

Примеры

В последующих вычислениях мы обозначаем каждое применение правила Лопиталя символом . ${\displaystyle \ {\stackrel {\mathrm {H} }{=}}\ }$

• Вот простой пример, включающий показательную функцию, которая включает неопределенную форму ⁠0/0⁠ при х = 0 : $${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {e^{x}-1}{x^{2}+x}}\ {\stackrel {\mathrm {H} }{=}}\ \lim _{x\to 0}{\frac {{\frac {d}{dx}}(e^{x}-1)}{{\frac {d}{dx}}(x^{2}+x)}}=\lim _{x\to 0}{\frac {e^{x}}{2x+1}}=1.}$$
• Это более сложный пример, включающий ⁠0/0⁠ . Применение правила Лопиталя один раз все еще приводит к неопределенной форме. В этом случае предел можно оценить, применив правило три раза: $${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{x\to 0}{\frac {2\sin(x)-\sin(2x)}{x-\sin(x)}}&\ {\stackrel {\mathrm {H} }{=}}\ \lim _{x\to 0}{\frac {2\cos(x)-2\cos(2x)}{1-\cos(x)}}\\[4pt]&\ {\stackrel {\mathrm {H} }{=}}\ \lim _{x\to 0}{\frac {-2\sin(x)+4\sin(2x)}{\sin(x)}}\\[4pt]&\ {\stackrel {\mathrm {H} }{=}}\ \lim _{x\to 0}{\frac {-2\cos(x)+8\cos(2x)}{\cos(x)}}={\frac {-2+8}{1}}=6.\end{aligned}}}$$
• Вот пример, включающий ⁠∞/∞⁠ : Повторно применяйте правило Лопиталя до тех пор, пока показатель степени не станет равным нулю (если n — целое число) или отрицательным (если n — дробное число), чтобы сделать вывод, что предел равен нулю. $${\displaystyle \lim _{x\to \infty }x^{n}\cdot e^{-x}=\lim _{x\to \infty }{\frac {x^{n}}{e^{x}}}\ {\stackrel {\mathrm {H} }{=}}\ \lim _{x\to \infty }{\frac {nx^{n-1}}{e^{x}}}=n\cdot \lim _{x\to \infty }{\frac {x^{n-1}}{e^{x}}}.}$$
• Вот пример, включающий неопределенную форму 0 · ∞ (см. ниже), которая переписывается в виде формы ⁠∞/∞⁠ : $${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}x\ln x=\lim _{x\to 0^{+}}{\frac {\ln x}{\frac {1}{x}}}\ {\stackrel {\mathrm {H} }{=}}\ \lim _{x\to 0^{+}}{\frac {\frac {1}{x}}{-{\frac {1}{x^{2}}}}}=\lim _{x\to 0^{+}}-x=0.}$$
• Вот пример формулы погашения ипотеки и ⁠0/0⁠ . Пусть P будет основной суммой (суммой кредита), r — процентной ставкой за период, а n — количеством периодов. Когда r равно нулю, сумма погашения за период составляет (поскольку выплачивается только основная сумма); это согласуется с формулой для ненулевых процентных ставок: ${\displaystyle {\frac {P}{n}}}$ $${\displaystyle \lim _{r\to 0}{\frac {Pr(1+r)^{n}}{(1+r)^{n}-1}}\ {\stackrel {\mathrm {H} }{=}}\ P\lim _{r\to 0}{\frac {(1+r)^{n}+rn(1+r)^{n-1}}{n(1+r)^{n-1}}}={\frac {P}{n}}.}$$
• Можно также использовать правило Лопиталя для доказательства следующей теоремы. Если f дважды дифференцируема в окрестности x и ее вторая производная непрерывна в этой окрестности, то $${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)+f(x-h)-2f(x)}{h^{2}}}&=\lim _{h\to 0}{\frac {f'(x+h)-f'(x-h)}{2h}}\\[4pt]&=\lim _{h\to 0}{\frac {f''(x+h)+f''(x-h)}{2}}\\[4pt]&=f''(x).\end{aligned}}}$$

• Иногда правило Лопиталя применяется хитрым образом: предположим, что сходится при x → ∞ и что сходится к положительной или отрицательной бесконечности. Тогда: и поэтому существует и (Этот результат остается верным без добавленной гипотезы, что сходится к положительной или отрицательной бесконечности, но тогда обоснование становится неполным.) ${\displaystyle f(x)+f'(x)}$ ${\displaystyle e^{x}\cdot f(x)}$ $${\displaystyle \lim _{x\to \infty }f(x)=\lim _{x\to \infty }{\frac {e^{x}\cdot f(x)}{e^{x}}}\ {\stackrel {\mathrm {H} }{=}}\ \lim _{x\to \infty }{\frac {e^{x}{\bigl (}f(x)+f'(x){\bigr )}}{e^{x}}}=\lim _{x\to \infty }{\bigl (}f(x)+f'(x){\bigr )},}$$ ${\textstyle \lim _{x\to \infty }f(x)}$ ${\textstyle \lim _{x\to \infty }f'(x)=0.}$ ${\displaystyle e^{x}\cdot f(x)}$

Осложнения

Иногда правило Лопиталя не сводится к очевидному пределу за конечное число шагов, если не применяются некоторые промежуточные упрощения. Примеры включают в себя следующее:

• Два применения могут привести к возврату к исходному выражению, которое должно было быть оценено: Эту ситуацию можно решить, подставив и заметив, что y стремится к бесконечности, когда x стремится к бесконечности; с этой заменой эта проблема может быть решена одним применением правила: В качестве альтернативы, числитель и знаменатель можно умножить на , после чего правило Лопиталя может быть немедленно успешно применено: ^[8] $${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {e^{x}+e^{-x}}{e^{x}-e^{-x}}}\ {\stackrel {\mathrm {H} }{=}}\ \lim _{x\to \infty }{\frac {e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}}\ {\stackrel {\mathrm {H} }{=}}\ \lim _{x\to \infty }{\frac {e^{x}+e^{-x}}{e^{x}-e^{-x}}}\ {\stackrel {\mathrm {H} }{=}}\ \cdots .}$$ ${\displaystyle y=e^{x}}$ $${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {e^{x}+e^{-x}}{e^{x}-e^{-x}}}=\lim _{y\to \infty }{\frac {y+y^{-1}}{y-y^{-1}}}\ {\stackrel {\mathrm {H} }{=}}\ \lim _{y\to \infty }{\frac {1-y^{-2}}{1+y^{-2}}}={\frac {1}{1}}=1.}$$ ${\displaystyle e^{x},}$ $${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {e^{x}+e^{-x}}{e^{x}-e^{-x}}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {e^{2x}+1}{e^{2x}-1}}\ {\stackrel {\mathrm {H} }{=}}\ \lim _{x\to \infty }{\frac {2e^{2x}}{2e^{2x}}}=1.}$$
• Произвольно большое количество применений может никогда не привести к ответу даже без повторения: Эту ситуацию также можно решить путем преобразования переменных, в данном случае : Опять же, альтернативный подход заключается в умножении числителя и знаменателя на перед применением правила Лопиталя: $${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {x^{\frac {1}{2}}+x^{-{\frac {1}{2}}}}{x^{\frac {1}{2}}-x^{-{\frac {1}{2}}}}}\ {\stackrel {\mathrm {H} }{=}}\ \lim _{x\to \infty }{\frac {{\frac {1}{2}}x^{-{\frac {1}{2}}}-{\frac {1}{2}}x^{-{\frac {3}{2}}}}{{\frac {1}{2}}x^{-{\frac {1}{2}}}+{\frac {1}{2}}x^{-{\frac {3}{2}}}}}\ {\stackrel {\mathrm {H} }{=}}\ \lim _{x\to \infty }{\frac {-{\frac {1}{4}}x^{-{\frac {3}{2}}}+{\frac {3}{4}}x^{-{\frac {5}{2}}}}{-{\frac {1}{4}}x^{-{\frac {3}{2}}}-{\frac {3}{4}}x^{-{\frac {5}{2}}}}}\ {\stackrel {\mathrm {H} }{=}}\ \cdots .}$$ ${\displaystyle y={\sqrt {x}}}$ $${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {x^{\frac {1}{2}}+x^{-{\frac {1}{2}}}}{x^{\frac {1}{2}}-x^{-{\frac {1}{2}}}}}=\lim _{y\to \infty }{\frac {y+y^{-1}}{y-y^{-1}}}\ {\stackrel {\mathrm {H} }{=}}\ \lim _{y\to \infty }{\frac {1-y^{-2}}{1+y^{-2}}}={\frac {1}{1}}=1.}$$ ${\displaystyle x^{1/2}}$ $${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {x^{\frac {1}{2}}+x^{-{\frac {1}{2}}}}{x^{\frac {1}{2}}-x^{-{\frac {1}{2}}}}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {x+1}{x-1}}\ {\stackrel {\mathrm {H} }{=}}\ \lim _{x\to \infty }{\frac {1}{1}}=1.}$$

Распространенной логической ошибкой является использование правила Лопиталя для доказательства значения производной путем вычисления предела разностного отношения . Поскольку применение правила Лопиталя требует знания соответствующих производных, это равносильно круговому рассуждению или предвосхищению вопроса , предполагая, что должно быть доказано. Например, рассмотрим доказательство формулы производной для степеней x :

${\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {(x+h)^{n}-x^{n}}{h}}=nx^{n-1}.}$

Применение правила Лопиталя и нахождение производных по h дает nx ^{n −1} , как и ожидалось, но это вычисление требует использования той самой формулы, которая доказывается. Аналогично, чтобы доказать , применение Лопиталя требует знания производной от при , что равносильно вычислению в первую очередь; для действительного доказательства требуется другой метод, такой как теорема о сжатии . ${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\sin(x)}{x}}=1}$ ${\displaystyle \sin(x)}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {\sin(h)}{h}}}$

Другие неопределенные формы

Другие неопределенные формы, такие как 1 ^∞ , 0 ⁰ , ∞ ⁰ , 0 · ∞ , и ∞ − ∞ , иногда можно оценить с помощью правила Лопиталя. Мы снова указываем применение правила Лопиталя как . ${\displaystyle \ {\stackrel {\mathrm {H} }{=}}\ }$

Например, чтобы оценить предел, включающий ∞ − ∞ , преобразуйте разность двух функций в частное:

${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{x\to 1}\left({\frac {x}{x-1}}-{\frac {1}{\ln x}}\right)&=\lim _{x\to 1}{\frac {x\cdot \ln x-x+1}{(x-1)\cdot \ln x}}\\[6pt]&\ {\stackrel {\mathrm {H} }{=}}\ \lim _{x\to 1}{\frac {\ln x}{{\frac {x-1}{x}}+\ln x}}\\[6pt]&=\lim _{x\to 1}{\frac {x\cdot \ln x}{x-1+x\cdot \ln x}}\\[6pt]&\ {\stackrel {\mathrm {H} }{=}}\ \lim _{x\to 1}{\frac {1+\ln x}{1+1+\ln x}}={\frac {1+0}{1+1+0}}.\end{aligned}}}$

Правило Лопиталя можно использовать для неопределенных форм, содержащих показатели степени , используя логарифмы для «перемещения показателя степени вниз». Вот пример, включающий неопределенную форму 0 ⁰ :

${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}\!}x^{x}=\lim _{x\to 0^{+}\!}e^{\ln(x^{x})}=\lim _{x\to 0^{+}\!}e^{x\cdot \ln x}=\lim _{x\to 0^{+}\!}\exp(x\cdot \ln x)=\exp({\lim \limits _{x\to 0^{+}\!\!}\,x\cdot \ln x}).}$

Допустимо перемещать предел внутри показательной функции , поскольку эта функция непрерывна . Теперь показатель степени "перемещен вниз". Предел имеет неопределенную форму 0 · ∞, рассмотренную в примере выше: Лопиталь можно использовать для определения того, что ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}x\cdot \ln x}$

${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}x\cdot \ln x=0.}$

Таким образом

${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}x^{x}=\exp(0)=e^{0}=1.}$

В следующей таблице перечислены наиболее распространённые неопределённые формы и преобразования, предшествующие применению правила Лопиталя:

Теорема Штольца–Чезаро

Теорема Штольца–Чезаро представляет собой аналогичный результат, включающий пределы последовательностей, но в ней используются операторы конечных разностей, а не производные .

Геометрическая интерпретация: параметрическая кривая и вектор скорости

Рассмотрим параметрическую кривую в плоскости xy с координатами, заданными непрерывными функциями и , геометрическим местом точек , и предположим . Наклон касательной к кривой в точке является пределом отношения при t → c . Касательная к кривой в точке является вектором скорости с наклоном . Правило Лопиталя тогда гласит, что наклон кривой в начале координат ( t = c ) является пределом наклона касательной в точках, приближающихся к началу координат, при условии, что это определено. ${\displaystyle g(t)}$ ${\displaystyle f(t)}$ ${\displaystyle (g(t),f(t))}$ ${\displaystyle f(c)=g(c)=0}$ ${\displaystyle (g(c),f(c))=(0,0)}$ ${\displaystyle \textstyle {\frac {f(t)}{g(t)}}}$ ${\displaystyle (g(t),f(t))}$ ${\displaystyle (g'(t),f'(t))}$ ${\displaystyle \textstyle {\frac {f'(t)}{g'(t)}}}$

Доказательство правила Лопиталя

Особый случай

Доказательство правила Лопиталя просто в случае, когда f и g непрерывно дифференцируемы в точке c и где конечный предел находится после первого раунда дифференцирования. Это лишь частный случай правила Лопиталя, поскольку оно применяется только к функциям, удовлетворяющим более сильным условиям, чем требуется общим правилом. Однако многие общие функции имеют непрерывные производные (например, многочлены , синусы и косинусы , показательные функции ), поэтому этот частный случай охватывает большинство приложений.

Предположим, что f и g непрерывно дифференцируемы по вещественному числу c , что и что . Тогда ${\displaystyle f(c)=g(c)=0}$ ${\displaystyle g'(c)\neq 0}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&\lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to c}{\frac {f(x)-0}{g(x)-0}}=\lim _{x\to c}{\frac {f(x)-f(c)}{g(x)-g(c)}}\\[6pt]={}&\lim _{x\to c}{\frac {\left({\frac {f(x)-f(c)}{x-c}}\right)}{\left({\frac {g(x)-g(c)}{x-c}}\right)}}={\frac {\lim \limits _{x\to c}\left({\frac {f(x)-f(c)}{x-c}}\right)}{\lim \limits _{x\to c}\left({\frac {g(x)-g(c)}{x-c}}\right)}}={\frac {f'(c)}{g'(c)}}=\lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}.\end{aligned}}}$

Это следует из определения производной через разностное отношение. Последнее равенство следует из непрерывности производных в точке c . Предел в заключении не является неопределенным, поскольку . ${\displaystyle g'(c)\neq 0}$

Доказательство более общей версии правила Лопиталя приведено ниже.

Общее доказательство

Следующее доказательство принадлежит Тейлору (1952), где дано единое доказательство для и неопределенных форм. Тейлор отмечает, что различные доказательства можно найти у Леттенмейера (1936) и Важевски (1949). ${\textstyle {\frac {0}{0}}}$ ${\textstyle {\frac {\pm \infty }{\pm \infty }}}$

Пусть f и g — функции, удовлетворяющие гипотезам в разделе «Общая форма» . Пусть — открытый интервал в гипотезе с конечной точкой c . Учитывая, что на этом интервале и g непрерывна, можно выбрать меньшее значение, так что g будет ненулевым на . ^[d] ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ ${\displaystyle g'(x)\neq 0}$ ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$

Для каждого x в интервале определите и как диапазоны по всем значениям между x и c . (Символы inf и sup обозначают инфимум и супремум .) ${\displaystyle m(x)=\inf {\frac {f'(t)}{g'(t)}}}$ ${\displaystyle M(x)=\sup {\frac {f'(t)}{g'(t)}}}$ ${\displaystyle t}$

Из дифференцируемости f и g на теорема Коши о среднем значении гарантирует, что для любых двух различных точек x и y в существует между x и y такое, что . Следовательно, для всех выборов различных x и y в интервале. Значение g ( x )- g ( y ) всегда отлично от нуля для различных x и y в интервале, поскольку в противном случае теорема о среднем значении подразумевала бы существование p между x и y такого, что g' ( p )=0. ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle {\frac {f(x)-f(y)}{g(x)-g(y)}}={\frac {f'(\xi )}{g'(\xi )}}}$ ${\displaystyle m(x)\leq {\frac {f(x)-f(y)}{g(x)-g(y)}}\leq M(x)}$

Определение m ( x ) и M ( x ) приведет к расширенному действительному числу, и поэтому они могут принимать значения ±∞. В следующих двух случаях m ( x ) и M ( x ) установят границы отношения ⁠ф/г⁠ .

Случай 1: ${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=\lim _{x\to c}g(x)=0}$

Для любого x в интервале и точки y между x и c , ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$

${\displaystyle m(x)\leq {\frac {f(x)-f(y)}{g(x)-g(y)}}={\frac {{\frac {f(x)}{g(x)}}-{\frac {f(y)}{g(x)}}}{1-{\frac {g(y)}{g(x)}}}}\leq M(x)}$

и поэтому, когда y приближается к c , и становится равным нулю, и так ${\displaystyle {\frac {f(y)}{g(x)}}}$ ${\displaystyle {\frac {g(y)}{g(x)}}}$

${\displaystyle m(x)\leq {\frac {f(x)}{g(x)}}\leq M(x).}$

Случай 2: ${\displaystyle \lim _{x\to c}|g(x)|=\infty }$

Для каждого x в интервале определите . Для каждой точки y между x и c , ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ ${\displaystyle S_{x}=\{y\mid y{\text{ is between }}x{\text{ and }}c\}}$

${\displaystyle m(x)\leq {\frac {f(y)-f(x)}{g(y)-g(x)}}={\frac {{\frac {f(y)}{g(y)}}-{\frac {f(x)}{g(y)}}}{1-{\frac {g(x)}{g(y)}}}}\leq M(x).}$

Когда y приближается к c , оба становятся равными нулю, и поэтому ${\displaystyle {\frac {f(x)}{g(y)}}}$ ${\displaystyle {\frac {g(x)}{g(y)}}}$

${\displaystyle m(x)\leq \liminf _{y\in S_{x}}{\frac {f(y)}{g(y)}}\leq \limsup _{y\in S_{x}}{\frac {f(y)}{g(y)}}\leq M(x).}$

Верхний и нижний предел необходимы, поскольку существует предел ⁠ф/г⁠ пока не установлено.

Также имеет место тот факт, что

${\displaystyle \lim _{x\to c}m(x)=\lim _{x\to c}M(x)=\lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}=L.}$

^[е] и

${\displaystyle \lim _{x\to c}\left(\liminf _{y\in S_{x}}{\frac {f(y)}{g(y)}}\right)=\liminf _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}}$и ${\displaystyle \lim _{x\to c}\left(\limsup _{y\in S_{x}}{\frac {f(y)}{g(y)}}\right)=\limsup _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}.}$

В случае 1 теорема о сжатии устанавливает, что существует и равно L . В случае 2 теорема о сжатии снова утверждает, что , и поэтому предел существует и равен L . Это и есть результат, который требовалось доказать. ${\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}}$ ${\displaystyle \liminf _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\limsup _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=L}$ ${\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}}$

В случае 2 предположение о том, что f ( x ) расходится к бесконечности, не использовалось в доказательстве. Это означает, что если | g ( x )| расходится к бесконечности, когда x приближается к c, и как f, так и g удовлетворяют гипотезам правила Лопиталя, то не требуется никаких дополнительных предположений о пределе f ( x ): Может даже случиться так, что предел f ( x ) не существует. В этом случае теорема Лопиталя на самом деле является следствием теоремы Чезаро–Штольца. ^[9]

В случае, когда | g ( x )| расходится к бесконечности, когда x стремится к c, а f ( x ) сходится к конечному пределу в точке c , правило Лопиталя будет применимо, но не абсолютно необходимо, поскольку базовое предельное исчисление покажет, что предел f ( x )/ g ( x ) при приближении x к c должен быть равен нулю.

Следствие

Простым, но очень полезным следствием правила Лопиталя является то, что производная функции не может иметь устранимого разрыва. То есть, предположим, что f непрерывна в точке a , и что существует для всех x в некотором открытом интервале, содержащем a , за исключением, возможно , . Предположим, кроме того, что существует. Тогда также существует и ${\displaystyle f'(x)}$ ${\displaystyle x=a}$ ${\displaystyle \lim _{x\to a}f'(x)}$ ${\displaystyle f'(a)}$

${\displaystyle f'(a)=\lim _{x\to a}f'(x).}$

В частности, f' также непрерывна в точке a .

Таким образом, если функция не является непрерывно дифференцируемой вблизи точки, то производная должна иметь существенный разрыв в этой точке.

Доказательство

Рассмотрим функции и . Непрерывность f в точке a говорит нам, что . Более того, поскольку полиномиальная функция всегда непрерывна всюду. Применение правила Лопиталя показывает, что . ${\displaystyle h(x)=f(x)-f(a)}$ ${\displaystyle g(x)=x-a}$ ${\displaystyle \lim _{x\to a}h(x)=0}$ ${\displaystyle \lim _{x\to a}g(x)=0}$ ${\displaystyle f'(a):=\lim _{x\to a}{\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}=\lim _{x\to a}{\frac {h'(x)}{g'(x)}}=\lim _{x\to a}f'(x)}$

Смотрите также

• Полемика вокруг больницы L'Hôpital

Примечания

1. В XVII и XVIII веках имя обычно писалось как «l'Hospital», и он сам писал свое имя именно так. С тех пор французское написание изменилось : немая «s» была удалена и заменена циркумфлексом над предшествующей гласной.
2. «Предложение I. Проблема. Soit une ligne courbe AMD (AP = x, PM = y, AB = a [см. рисунок 130]) говорит о том, что значение аппликации y soit exprimée par une дроби, не le numérateur & le dénominateur deviennent chacun ноль lorsque x = a, c'est à dire lorsque le point P tombe sur le point donné B. По требованию quelle doit être alors la valeur de l'appliquée BD [Решение:]...si l'on. пренд ла разницу дю числителя и ку'он ля деление по разнице дю знаменателя, после того, как я сделаю это x = a = Ab или AB, l'on aura la valeur cherchée de l'appliquée bd ou BD." Перевод  : "Пусть будет кривая AMD (где AP = X, PM = y, AB = a) такая, что значение ординаты y выражается дробью, числитель и знаменатель становится равным нулю, когда x = a; то есть когда точка P попадает на заданную точку B. Возникает вопрос, каково будет тогда значение ординаты BD. [Решение: ]... если взять дифференциал числитель и если разделить его на дифференциал знаменателя, установив x = a = Ab или AB, то получим искомое значение ординаты bd или BD." ^[2]
3. Определение предела функции в функциональном анализе не требует существования такого интервала.
4. Поскольку g' не равен нулю, а g непрерывен на интервале, невозможно, чтобы g был равен нулю более одного раза на интервале. Если бы у него было два нуля, теорема о среднем значении утверждала бы существование точки p в интервале между нулями, такой что g' ( p ) = 0. Таким образом, либо g уже не равен нулю на интервале, либо интервал можно уменьшить так, чтобы он не содержал единственный ноль g .
5. Пределы и оба существуют, поскольку они представляют собой неубывающую и невозрастающую функции x соответственно. Рассмотрим последовательность . Тогда , поскольку неравенство выполняется для каждого i ; это дает неравенства Следующий шаг — показать . Зафиксируем последовательность чисел такую, что , и последовательность . Для каждого i выберем такую, что , по определению . Таким образом, как и требовалось. Аргумент, который аналогичен. ${\displaystyle \lim _{x\to c}m(x)}$ ${\displaystyle \lim _{x\to c}M(x)}$ ${\displaystyle x_{i}\to c}$ ${\displaystyle \lim _{i}m(x_{i})\leq \lim _{i}{\frac {f'(x_{i})}{g'(x_{i})}}\leq \lim _{i}M(x_{i})}$ ${\displaystyle \lim _{x\to c}m(x)\leq \lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}\leq \lim _{x\to c}M(x)}$ ${\displaystyle \lim _{x\to c}M(x)\leq \lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}}$ ${\displaystyle \varepsilon _{i}>0}$ ${\displaystyle \lim _{i}\varepsilon _{i}=0}$ ${\displaystyle x_{i}\to c}$ ${\displaystyle x_{i}<y_{i}<c}$ ${\displaystyle {\frac {f'(y_{i})}{g'(y_{i})}}+\varepsilon _{i}\geq \sup _{x_{i}<\xi <c}{\frac {f'(\xi )}{g'(\xi )}}}$ ${\displaystyle \sup }$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{i}M(x_{i})&\leq \lim _{i}{\frac {f'(y_{i})}{g'(y_{i})}}+\varepsilon _{i}\\&=\lim _{i}{\frac {f'(y_{i})}{g'(y_{i})}}+\lim _{i}\varepsilon _{i}\\&=\lim _{i}{\frac {f'(y_{i})}{g'(y_{i})}}\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle \lim _{x\to c}m(x)\geq \lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}}$

Ссылки

1. О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф. "Биография Де Лопиталя". Архив истории математики Мактьютора . Шотландия: Школа математики и статистики, Университет Сент-Эндрюс . Получено 21 декабря 2008 г.
2. Больница (1696). Проанализируйте des infiniment petits. стр. 145–146.
3. Бойер, Карл Б.; Мерцбах, Ута К. (2011). История математики (3-е иллюстрированное издание). John Wiley & Sons. стр. 321. ISBN 978-0-470-63056-3.Выдержка из страницы 321
4. (Чаттерджи 2005, стр. 291)
5. (Кранц 2004, стр.79)
6. Штольц, Отто (1879). «Ueber die Grenzwerthe der Quotienten» [О пределах частных]. Mathematische Annalen (на немецком языке). 15 (3–4): 556–559. дои : 10.1007/bf02086277. S2CID  122473933.
7. Боас-младший, Ральф П. (1986). «Контрпримеры к правилу Лопиталя». American Mathematical Monthly . 93 (8): 644–645. doi :10.1080/00029890.1986.11971912. JSTOR  2322330.
8. Умножение на вместо этого дает решение предела без необходимости применения правила Лопиталя. ${\displaystyle e^{-x}}$
9. "Теорема Лопиталя". IMOmath . Международная математическая олимпиада .

Источники

• Чаттерджи, Дипак (2005), Реальный анализ , PHI Learning Pvt. Ltd, ISBN 81-203-2678-4
• Кранц, Стивен Г. (2004), Справочник по действительным переменным. С приложениями к дифференциальным уравнениям и анализу Фурье , Бостон, Массачусетс: Birkhäuser Boston Inc., стр. xiv+201, doi :10.1007/978-0-8176-8128-9, ISBN 0-8176-4329-X, MR  2015447
• Леттенмейер, Ф. (1936), «Über die sogenannte Hospitalsche Regel», Journal für die reine und angewandte Mathematik , 1936 (174): 246–247, doi : 10.1515/crll.1936.174.246, S2CID  199546754
• Тейлор, AE (1952), «Правило Лопиталя», Amer. Math. Monthly , 59 (1): 20–24, doi :10.2307/2307183, ISSN  0002-9890, JSTOR  2307183, MR  0044602
• Важевски, Т. (1949), "Quelques démonstrations Uniformes pour tous les cas du theorème de l'Hôpital. Обобщения", Prace Mat.-Fiz. (на французском языке), 47 : 117–128, MR  0034430.