Теорема обращения Лагранжа

Формула разложения в ряд Тейлора обратной функции аналитической функции

В математическом анализе теорема об обращении Лагранжа , также известная как формула Лагранжа–Бюрмана , дает разложение в ряд Тейлора обратной функции аналитической функции . Обращение Лагранжа является частным случаем теоремы об обратной функции .

Заявление

Предположим, что z определяется как функция w с помощью уравнения вида

${\displaystyle z=f(w)}$

где f аналитична в точке a и Тогда можно обратить или решить уравнение относительно w , выразив его в форме, заданной степенным рядом ^[1] ${\displaystyle f'(a)\neq 0.}$ ${\displaystyle w=g(z)}$

${\displaystyle g(z)=a+\sum _{n=1}^{\infty }g_{n}{\frac {(z-f(a))^{n}}{n!}},}$

где

${\displaystyle g_{n}=\lim _{w\to a}{\frac {d^{n-1}}{dw^{n-1}}}\left[\left({\frac {w-a}{f(w)-f(a)}}\right)^{n}\right].}$

Теорема далее утверждает, что этот ряд имеет ненулевой радиус сходимости, т.е. представляет собой аналитическую функцию z в ​​окрестности Это также называется обращением ряда . ${\displaystyle g(z)}$ ${\displaystyle z=f(a).}$

Если опустить утверждения об аналитичности, то формула справедлива также для формальных степенных рядов и может быть обобщена различными способами: ее можно сформулировать для функций нескольких переменных; ее можно расширить, чтобы получить готовую формулу для F ( g ( z )) для любой аналитической функции F ; и ее можно обобщить на случай, когда обратная функция g является многозначной функцией. ${\displaystyle f'(a)=0,}$

Теорема была доказана Лагранжем ^[2] и обобщена Гансом Генрихом Бюрманном [ ^{3] [4] [5]} оба в конце 18 века. Существует прямой вывод с использованием комплексного анализа и контурного интегрирования ; ^[6] версия комплексного формального степенного ряда является следствием знания формулы для полиномов , поэтому может быть применена теория аналитических функций . На самом деле, аппарат из теории аналитических функций входит только формальным образом в это доказательство, в том смысле, что на самом деле необходимо некоторое свойство формального остатка , и доступно более прямое формальное доказательство .

Если f — формальный степенной ряд, то приведенная выше формула не дает коэффициенты композиционного обратного ряда g непосредственно через коэффициенты ряда f . Если можно выразить функции f и g в формальных степенных рядах как

${\displaystyle f(w)=\sum _{k=0}^{\infty }f_{k}{\frac {w^{k}}{k!}}\qquad {\text{and}}\qquad g(z)=\sum _{k=0}^{\infty }g_{k}{\frac {z^{k}}{k!}}}$

при f ₀ = 0 и f ₁ ≠ 0 явный вид обратных коэффициентов может быть задан в терминах полиномов Белла : ^[7]

${\displaystyle g_{n}={\frac {1}{f_{1}^{n}}}\sum _{k=1}^{n-1}(-1)^{k}n^{\overline {k}}B_{n-1,k}({\hat {f}}_{1},{\hat {f}}_{2},\ldots ,{\hat {f}}_{n-k}),\quad n\geq 2,}$

где

${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {f}}_{k}&={\frac {f_{k+1}}{(k+1)f_{1}}},\\g_{1}&={\frac {1}{f_{1}}},{\text{ and}}\\n^{\overline {k}}&=n(n+1)\cdots (n+k-1)\end{aligned}}}$

это восходящий факториал .

При f ₁ = 1 последнюю формулу можно интерпретировать в терминах граней ассоциэдров ^[8]

${\displaystyle g_{n}=\sum _{F{\text{ face of }}K_{n}}(-1)^{n-\dim F}f_{F},\quad n\geq 2,}$

где для каждой грани ассоциаэдра ${\displaystyle f_{F}=f_{i_{1}}\cdots f_{i_{m}}}$ ${\displaystyle F=K_{i_{1}}\times \cdots \times K_{i_{m}}}$ ${\displaystyle K_{n}.}$

Пример

Например, алгебраическое уравнение степени p

${\displaystyle x^{p}-x+z=0}$

можно решить относительно x с помощью формулы обращения Лагранжа для функции f ( x ) = x − x ^p , что приводит к формальному решению в виде ряда

${\displaystyle x=\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {pk}{k}}{\frac {z^{(p-1)k+1}}{(p-1)k+1}}.}$

Согласно тестам на сходимость, этот ряд на самом деле сходится для , что также является наибольшим кругом, в котором может быть определена локальная обратная матрица к f . ${\displaystyle |z|\leq (p-1)p^{-p/(p-1)},}$

Приложения

Формула Лагранжа–Бюрмана

Существует особый случай теоремы Лагранжа об обращении, который используется в комбинаторике и применяется, когда для некоторого аналитического с Возьмем , чтобы получить Тогда для обратного (удовлетворяющего ), мы имеем ${\displaystyle f(w)=w/\phi (w)}$ ${\displaystyle \phi (w)}$ ${\displaystyle \phi (0)\neq 0.}$ ${\displaystyle a=0}$ ${\displaystyle f(a)=f(0)=0.}$ ${\displaystyle g(z)}$ ${\displaystyle f(g(z))\equiv z}$

${\displaystyle {\begin{aligned}g(z)&=\sum _{n=1}^{\infty }\left[\lim _{w\to 0}{\frac {d^{n-1}}{dw^{n-1}}}\left(\left({\frac {w}{w/\phi (w)}}\right)^{n}\right)\right]{\frac {z^{n}}{n!}}\\{}&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}\left[{\frac {1}{(n-1)!}}\lim _{w\to 0}{\frac {d^{n-1}}{dw^{n-1}}}(\phi (w)^{n})\right]z^{n},\end{aligned}}}$

что можно записать альтернативно как

${\displaystyle [z^{n}]g(z)={\frac {1}{n}}[w^{n-1}]\phi (w)^{n},}$

где — оператор, который извлекает коэффициент в ряд Тейлора функции w . ${\displaystyle [w^{r}]}$ ${\displaystyle w^{r}}$

Обобщение формулы известно как формула Лагранжа–Бюрмана :

${\displaystyle [z^{n}]H(g(z))={\frac {1}{n}}[w^{n-1}](H'(w)\phi (w)^{n})}$

где H — произвольная аналитическая функция.

Иногда производная H ′ ( w ) может быть довольно сложной. Более простая версия формулы заменяет H ′ ( w ) на H ( w )(1 − φ ′ ( w )/ φ ( w )), чтобы получить

${\displaystyle [z^{n}]H(g(z))=[w^{n}]H(w)\phi (w)^{n-1}(\phi (w)-w\phi '(w)),}$

который включает φ ′ ( w ) вместо H ′ ( w ) .

ЛамбертВтфункция

Функция Ламберта W — это функция , которая неявно определяется уравнением ${\displaystyle W(z)}$

${\displaystyle W(z)e^{W(z)}=z.}$

Мы можем использовать теорему для вычисления ряда Тейлора для . Берем и Признавая, что ${\displaystyle W(z)}$ ${\displaystyle z=0.}$ ${\displaystyle f(w)=we^{w}}$ ${\displaystyle a=0.}$

${\displaystyle {\frac {d^{n}}{dx^{n}}}e^{\alpha x}=\alpha ^{n}e^{\alpha x},}$

это дает

${\displaystyle {\begin{aligned}W(z)&=\sum _{n=1}^{\infty }\left[\lim _{w\to 0}{\frac {d^{n-1}}{dw^{n-1}}}e^{-nw}\right]{\frac {z^{n}}{n!}}\\{}&=\sum _{n=1}^{\infty }(-n)^{n-1}{\frac {z^{n}}{n!}}\\{}&=z-z^{2}+{\frac {3}{2}}z^{3}-{\frac {8}{3}}z^{4}+O(z^{5}).\end{aligned}}}$

Радиус сходимости этого ряда равен (что дает главную ветвь функции Ламберта). ${\displaystyle e^{-1}}$

Ряд, который сходится для (приблизительно ), также может быть получен путем обращения ряда. Функция удовлетворяет уравнению ${\displaystyle |\ln(z)-1|<{4+\pi ^{2}}}$ ${\displaystyle 2.58\ldots \cdot 10^{-6}<z<2.869\ldots \cdot 10^{6}}$ ${\displaystyle f(z)=W(e^{z})-1}$

${\displaystyle 1+f(z)+\ln(1+f(z))=z.}$

Затем можно разложить в степенной ряд и инвертировать. ^[9] Это дает ряд для ${\displaystyle z+\ln(1+z)}$ ${\displaystyle f(z+1)=W(e^{z+1})-1{\text{:}}}$

${\displaystyle W(e^{1+z})=1+{\frac {z}{2}}+{\frac {z^{2}}{16}}-{\frac {z^{3}}{192}}-{\frac {z^{4}}{3072}}+{\frac {13z^{5}}{61440}}-O(z^{6}).}$

${\displaystyle W(x)}$можно вычислить, подставив z в приведенный выше ряд. Например, подставив −1 вместо z, получим значение ${\displaystyle \ln x-1}$ ${\displaystyle W(1)\approx 0.567143.}$

Двоичные деревья

Рассмотрим ^[10] множество немаркированных бинарных деревьев . Элементом является либо лист размера ноль, либо корневой узел с двумя поддеревьями. Обозначим через количество бинарных деревьев на узлах. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle B_{n}}$ ${\displaystyle n}$

Удаление корня разбивает бинарное дерево на два дерева меньшего размера. Это дает функциональное уравнение на производящей функции ${\displaystyle \textstyle B(z)=\sum _{n=0}^{\infty }B_{n}z^{n}{\text{:}}}$

${\displaystyle B(z)=1+zB(z)^{2}.}$

Полагая , имеем, таким образом, Применяя теорему с выходами ${\displaystyle C(z)=B(z)-1}$ ${\displaystyle C(z)=z(C(z)+1)^{2}.}$ ${\displaystyle \phi (w)=(w+1)^{2}}$

${\displaystyle B_{n}=[z^{n}]C(z)={\frac {1}{n}}[w^{n-1}](w+1)^{2n}={\frac {1}{n}}{\binom {2n}{n-1}}={\frac {1}{n+1}}{\binom {2n}{n}}.}$

Это показывает, что это n- ое каталонское число . ${\displaystyle B_{n}}$

Асимптотическое приближение интегралов

В теореме Лапласа–Эрдейи, дающей асимптотическое приближение для интегралов типа Лапласа, обращение функции рассматривается как решающий шаг.

Смотрите также

• Формула Фаа ди Бруно дает коэффициенты композиции двух формальных степенных рядов через коэффициенты этих двух рядов. Эквивалентно, это формула для n- й производной сложной функции.
• Теорема Лагранжа об обращении для другой теоремы, иногда называемой теоремой об обращении
• Формальный степенной ряд#Формула обращения Лагранжа

Ссылки

1. M. Abramowitz; IA Stegun, ред. (1972). "3.6.6. Разложение Лагранжа". Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами. Нью-Йорк: Довер. стр. 14.
2. Лагранж, Жозеф-Луи (1770). «Новый метод для решения буквенных уравнений в моих рядах». История Королевской академии наук и изящной словесности Берлина : 251–326.https://archive.org/details/uvresdelagrange18natigoog/page/n13 (Примечание: хотя Лагранж представил эту статью в 1768 году, она была опубликована только в 1770 году.)
3. Бюрманн, Ганс Генрих, «Essai de Calcul fonctionnaire aux Constantes ad libitum», представленный в 1796 году в Национальный институт Франции. Краткое содержание этой статьи см.: Гинденбург, Карл Фридрих, изд. (1798). «Versuch einer vereinfachten Analysis; ein Auszug eines Auszuges von Herrn Bürmann» [Попытка упрощенного анализа; отрывок из сокращения г-на Бюрмана]. Archiv der reinen und angewandten Mathematik [ Архив чистой и прикладной математики ]. Том. 2. Лейпциг, Германия: Schäferischen Buchhandlung. стр. 495–499.
4. Бюрманн, Ганс Генрих, «Формулы развития, восстановления и интеграции», представленные Национальному институту Франции. Рукопись Бюрмана сохранилась в архивах Национальной школы мостов и дорог [Национальной школы мостов и дорог] в Париже. (См. рукопись 1715.)
5. Отчет Жозефа-Луи Лагранжа и Адриена-Мари Лежандра о теореме Бюрмана опубликован в: «Rapport sur deux mémoires d'analyse du professeur Burmann», Mémoires de l'Institut National des Sciences et Arts: Sciences Mathématiques et Physiques , vol. 2, страницы 13–17 (1799 г.).
6. ET Whittaker и GN Watson . Курс современного анализа . Cambridge University Press; 4-е издание (2 января 1927 г.), стр. 129–130
7. Уравнение (11.43), стр. 437, CA Charalambides, Enumerative Combinatorics, Chapman & Hall / CRC, 2002
8. Агиар, Марсело; Ардила, Федерико (2017). «Моноиды Хопфа и обобщенные пермутаэдры». arXiv : 1709.07504 [math.CO].
9. Корлесс, Роберт М.; Джеффри, Дэвид Дж.; Кнут, Дональд Э. (июль 1997 г.). «Последовательность рядов для функции Ламберта W». Труды международного симпозиума 1997 г. по символьным и алгебраическим вычислениям . С. 197–204.
10. Харрис, Джон; Хёрст, Джеффри Л.; Моссингхофф, Майкл (2008). Комбинаторика и теория графов . Springer. С. 185–189. ISBN 978-0387797113.

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Теорема Бюрмана». Математический мир .
• Вайсштейн, Эрик В. «Обращение ряда». MathWorld .
• Ряды Бюрмана–Лагранжа в Springer EOM