Уравнение Лейна–Эмдена

Безразмерное уравнение астрофизики

Решения уравнения Лейна–Эмдена для n = 0, 1, 2, 3, 4, 5

В астрофизике уравнение Лейна-Эмдена является безразмерной формой уравнения Пуассона для гравитационного потенциала ньютоновской самогравитирующей, сферически симметричной, политропной жидкости. Оно названо в честь астрофизиков Джонатана Хомера Лейна и Роберта Эмдена . ^[1] Уравнение имеет вид

${\displaystyle {\frac {1}{\xi ^{2}}}{\frac {d}{d\xi }}\left({\xi ^{2}{\frac {d\theta }{d\xi }}}\right)+\theta ^{n}=0,}$

где — безразмерный радиус и связан с плотностью и, следовательно, давлением, соотношением для центральной плотности . Индекс — это политропный индекс, который появляется в политропном уравнении состояния, где и — давление и плотность соответственно, а — константа пропорциональности. Стандартные граничные условия — и . Решения, таким образом, описывают ход давления и плотности с радиусом и известны как политропы индекса . Если вместо политропной жидкости использовать изотермическую жидкость (политропный индекс стремится к бесконечности), то получается уравнение Эмдена–Чандрасекара . ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \rho =\rho _{c}\theta ^{n}}$ ${\displaystyle \rho _{c}}$ ${\displaystyle n}$ $${\displaystyle P=K\rho ^{1+{\frac {1}{n}}}\,}$$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \theta (0)=1}$ ${\displaystyle \theta '(0)=0}$ ${\displaystyle n}$

Приложения

Физически гидростатическое равновесие связывает градиент потенциала, плотность и градиент давления, тогда как уравнение Пуассона связывает потенциал с плотностью. Таким образом, если у нас есть еще одно уравнение, которое определяет, как давление и плотность изменяются относительно друг друга, мы можем прийти к решению. Конкретный выбор политропного газа, как указано выше, делает математическую формулировку задачи особенно краткой и приводит к уравнению Лейна-Эмдена. Уравнение является полезным приближением для самогравитирующих сфер плазмы, таких как звезды, но обычно это довольно ограничивающее предположение.

Вывод

Из гидростатического равновесия

Рассмотрим самогравитирующую, сферически симметричную жидкость в гидростатическом равновесии . Масса сохраняется и, таким образом, описывается уравнением непрерывности , где является функцией . Уравнение гидростатического равновесия имеет вид , где также является функцией . Дифференцирование снова дает , где уравнение непрерывности было использовано для замены градиента массы. Умножая обе стороны на и собирая производные слева, можно записать $${\displaystyle {\frac {dm}{dr}}=4\pi r^{2}\rho }$$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle r}$ $${\displaystyle {\frac {1}{\rho }}{\frac {dP}{dr}}=-{\frac {Gm}{r^{2}}}}$$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle r}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dr}}\left({\frac {1}{\rho }}{\frac {dP}{dr}}\right)&={\frac {2Gm}{r^{3}}}-{\frac {G}{r^{2}}}{\frac {dm}{dr}}\\&=-{\frac {2}{\rho r}}{\frac {dP}{dr}}-4\pi G\rho \end{aligned}}}$$ ${\displaystyle r^{2}}$ ${\displaystyle P}$ $${\displaystyle r^{2}{\frac {d}{dr}}\left({\frac {1}{\rho }}{\frac {dP}{dr}}\right)+{\frac {2r}{\rho }}{\frac {dP}{dr}}={\frac {d}{dr}}\left({\frac {r^{2}}{\rho }}{\frac {dP}{dr}}\right)=-4\pi Gr^{2}\rho }$$

Разделив обе стороны на , получаем, в некотором смысле, размерную форму искомого уравнения. Если, кроме того, мы заменим политропное уравнение состояния на и , то получим ${\displaystyle r^{2}}$ ${\displaystyle P=K\rho _{c}^{1+{\frac {1}{n}}}\theta ^{n+1}}$ ${\displaystyle \rho =\rho _{c}\theta ^{n}}$ $${\displaystyle {\frac {1}{r^{2}}}{\frac {d}{dr}}\left(r^{2}K\rho _{c}^{\frac {1}{n}}(n+1){\frac {d\theta }{dr}}\right)=-4\pi G\rho _{c}\theta ^{n}}$$

Собираем константы и подставляем , где имеем уравнение Лейна–Эмдена, ${\displaystyle r=\alpha \xi }$ $${\displaystyle \alpha ^{2}=(n+1)K\rho _{c}^{{\frac {1}{n}}-1}/4\pi G,}$$ $${\displaystyle {\frac {1}{\xi ^{2}}}{\frac {d}{d\xi }}\left({\xi ^{2}{\frac {d\theta }{d\xi }}}\right)+\theta ^{n}=0}$$

Из уравнения Пуассона

Эквивалентно, можно начать с уравнения Пуассона , $${\displaystyle \nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{r^{2}}}{\frac {d}{dr}}\left(r^{2}{\frac {d\Phi }{dr}}\right)=4\pi G\rho }$$

Можно заменить градиент потенциала с помощью гидростатического равновесия, посредством чего снова получаем размерную форму уравнения Лейна–Эмдена. $${\displaystyle {\frac {d\Phi }{dr}}=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {dP}{dr}}}$$

Точные решения

Для заданного значения индекса политропы обозначим решение уравнения Лейна–Эмдена как . В общем случае уравнение Лейна–Эмдена должно быть решено численно, чтобы найти . Существуют точные аналитические решения для определенных значений , в частности: . Для значений от 0 до 5 решения непрерывны и конечны по протяженности, причем радиус звезды задается выражением , где . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \theta _{n}(\xi )}$ ${\displaystyle \theta _{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n=0,1,5}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle R=\alpha \xi _{1}}$ ${\displaystyle \theta _{n}(\xi _{1})=0}$

Для данного решения профиль плотности определяется выражением ${\displaystyle \theta _{n}}$ $${\displaystyle \rho =\rho _{c}\theta _{n}^{n}.}$$

Общую массу модели звезды можно найти, проинтегрировав плотность по радиусу от 0 до . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \xi _{1}}$

Давление можно найти с помощью политропного уравнения состояния, т.е. ${\displaystyle P=K\rho ^{1+{\frac {1}{n}}}}$ $${\displaystyle P=K\rho _{c}^{1+{\frac {1}{n}}}\theta _{n}^{n+1}}$$

Наконец, если газ идеален , уравнение состояния имеет вид , где — постоянная Больцмана , а средний молекулярный вес. Профиль температуры тогда задается как ${\displaystyle P=k_{B}\rho T/\mu }$ ${\displaystyle k_{B}}$ ${\displaystyle \mu }$ $${\displaystyle T={\frac {K\mu }{k_{B}}}\rho _{c}^{1/n}\theta _{n}}$$

В сферически симметричных случаях уравнение Лейна–Эмдена интегрируемо только для трех значений показателя политропы . ${\displaystyle n}$

Длян= 0

Если , уравнение становится ${\displaystyle n=0}$ $${\displaystyle {\frac {1}{\xi ^{2}}}{\frac {d}{d\xi }}\left(\xi ^{2}{\frac {d\theta }{d\xi }}\right)+1=0}$$

Перестановка и интеграция однажды дает $${\displaystyle \xi ^{2}{\frac {d\theta }{d\xi }}=C_{1}-{\frac {1}{3}}\xi ^{3}}$$

Разделив обе части на и снова проинтегрировав, получаем ${\displaystyle \xi ^{2}}$ $${\displaystyle \theta (\xi )=C_{0}-{\frac {C_{1}}{\xi }}-{\frac {1}{6}}\xi ^{2}}$$

Граничные условия и подразумевают, что константы интегрирования равны и . Следовательно, ${\displaystyle \theta (0)=1}$ ${\displaystyle \theta '(0)=0}$ ${\displaystyle C_{0}=1}$ ${\displaystyle C_{1}=0}$ $${\displaystyle \theta (\xi )=1-{\frac {1}{6}}\xi ^{2}}$$

Длян= 1

При , уравнение можно разложить в виде ${\displaystyle n=1}$ $${\displaystyle {\frac {d^{2}\theta }{d\xi ^{2}}}+{\frac {2}{\xi }}{\frac {d\theta }{d\xi }}+\theta =0}$$

Предполагается решение степенного ряда: $${\displaystyle \theta (\xi )=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\xi ^{n}}$$

Это приводит к рекурсивной зависимости для коэффициентов разложения: $${\displaystyle a_{n+2}=-{\frac {a_{n}}{(n+3)(n+2)}}}$$

Это соотношение можно решить, придя к общему решению: $${\displaystyle \theta (\xi )=a_{0}{\frac {\sin \xi }{\xi }}+a_{1}{\frac {\cos \xi }{\xi }}}$$

Граничное условие для физического политропа требует, чтобы при . Это требует, чтобы , что приводит к решению: ${\displaystyle \theta (\xi )\rightarrow 1}$ ${\displaystyle \xi \rightarrow 0}$ ${\displaystyle a_{0}=1,a_{1}=0}$ $${\displaystyle \theta (\xi )={\frac {\sin \xi }{\xi }}}$$

Длян= 2

Это точное решение было найдено случайно при поиске нулевых значений соответствующего уравнения TOV . ^[2]

Рассмотрим разложение ряда вокруг с начальными значениями и . Подставляя это в уравнение Лейна-Эмдена, мы можем показать, что все нечетные коэффициенты ряда обращаются в нуль . Кроме того, мы получаем рекурсивную связь между четными коэффициентами ряда. Было доказано, что этот ряд сходится по крайней мере для , но численные результаты показали хорошее согласие для гораздо больших значений. ${\displaystyle \theta =0}$ $${\displaystyle \theta =\sum \limits _{m=0}^{\infty }a_{m}\xi ^{m}}$$ ${\displaystyle \theta |_{\xi =0}=\theta _{0}}$ ${\displaystyle \left.{\frac {d\theta }{d\xi }}\right|_{\xi =0}=0}$ ${\displaystyle a_{2m+1}=0}$ ${\displaystyle b_{m}=a_{2m}}$ $${\displaystyle b_{m+1}=-{\frac {1}{(2m+2)(2m+3)}}\sum \limits _{k=0}^{m}b_{m-k}b_{k}}$$ ${\displaystyle \xi \leq 1}$

Длян= 5

Начнем с уравнения Лейна–Эмдена: $${\displaystyle {\frac {1}{\xi ^{2}}}{\frac {d}{d\xi }}\left(\xi ^{2}{\frac {d\theta }{d\xi }}\right)+\theta ^{5}=0}$$

Переписывание для производит: ${\displaystyle {\frac {d\theta }{d\xi }}}$ $${\displaystyle {\frac {d\theta }{d\xi }}={\frac {1}{2}}\left(1+{\frac {\xi ^{2}}{3}}\right)^{3/2}{\frac {2\xi }{3}}={\frac {\xi ^{3}}{3\left[1+{\frac {\xi ^{2}}{3}}\right]^{3/2}}}}$$

Дифференцирование по ξ приводит к: $${\displaystyle \theta ^{5}={\frac {\xi ^{2}}{\left[1+{\frac {\xi ^{2}}{3}}\right]^{3/2}}}+{\frac {3\xi ^{2}}{9\left[1+{\frac {\xi ^{2}}{3}}\right]^{5/2}}}={\frac {9}{9\left[1+{\frac {\xi ^{2}}{3}}\right]^{5/2}}}}$$

В сокращенном виде мы получаем: $${\displaystyle \theta ^{5}={\frac {1}{\left[1+{\frac {\xi ^{2}}{3}}\right]^{5/2}}}}$$

Следовательно, уравнение Лейна–Эмдена имеет решение при . Это решение конечно по массе, но бесконечно по радиальной протяженности, и поэтому полный политроп не представляет собой физическое решение. Чандрасекар долгое время считал, что нахождение другого решения для «сложно и требует эллиптических интегралов». $${\displaystyle \theta (\xi )={\frac {1}{\sqrt {1+\xi ^{2}/3}}}}$$ ${\displaystyle n=5}$ ${\displaystyle n=5}$

Решение Шриваставы

В 1962 году Самбунат Шривастава нашел явное решение, когда . ^[3] Его решение дается и из этого решения можно получить семейство решений с помощью преобразования гомологии. Поскольку это решение не удовлетворяет условиям в начале координат (на самом деле, оно является колебательным с амплитудами, неограниченно растущими по мере приближения к началу координат), это решение можно использовать в составных звездных моделях. ${\displaystyle n=5}$ $${\displaystyle \theta ={\frac {\sin(\ln {\sqrt {\xi }})}{\sqrt {3\xi -2\xi \sin ^{2}(\ln {\sqrt {\xi }})}}},}$$ ${\displaystyle \theta (\xi )\rightarrow {\sqrt {A}}\,\theta (A\xi )}$

Аналитические решения

В приложениях главную роль играют аналитические решения, которые выражаются сходящимся степенным рядом , развернутым вокруг некоторой начальной точки. Обычно точкой разложения является , которая также является особой точкой (фиксированной особенностью) уравнения, и в центре звезды предоставляются некоторые начальные данные. Можно доказать ^{[4] [5]} , что уравнение имеет сходящийся степенной ряд/аналитическое решение вокруг начала координат вида ${\displaystyle \xi =0}$ ${\displaystyle \theta (0)}$ $${\displaystyle \theta (\xi )=\theta (0)-{\frac {\theta (0)^{n}}{6}}\xi ^{2}+O(\xi ^{3}),\quad \xi \approx 0.}$$

Численное решение аналитического решения уравнения Лейна-Эмдена в комплексной плоскости для , . Видны две подвижные особенности на мнимой оси. Они ограничивают радиус сходимости аналитического решения вокруг начала координат. Для разных значений начальных данных и расположение особенностей различно, но они расположены симметрично на мнимой оси. ^[6] ${\displaystyle n=5}$ ${\displaystyle \theta (0)=2}$ ${\displaystyle p}$

Радиус сходимости этого ряда ограничен из-за существования ^{[5] [7]} двух особенностей на мнимой оси в комплексной плоскости . Эти особенности расположены симметрично относительно начала координат. Их положение меняется при изменении параметров уравнения и начального условия , и поэтому они называются подвижными особенностями из-за классификации особенностей нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений в комплексной плоскости Полем Пенлеве . Подобная структура особенностей возникает и в других нелинейных уравнениях, которые являются результатом редукции оператора Лапласа в сферической симметрии, например, в уравнении изотермической сферы. ^[7] ${\displaystyle \theta (0)}$

Аналитические решения могут быть расширены вдоль действительной линии с помощью процедуры аналитического продолжения , что приводит к полному профилю ядра звезды или молекулярного облака . Два аналитических решения с перекрывающимися кругами сходимости также могут быть сопоставлены по перекрытию с решением большей области, что является широко используемым методом построения профилей требуемых свойств.

Решение ряда также используется при численном интегрировании уравнения. Оно применяется для того, чтобы немного сместить начальные данные для аналитического решения от начала координат, поскольку в начале координат численные методы не работают из-за сингулярности уравнения.

Численные решения

В общем случае решения находятся путем численного интегрирования. Многие стандартные методы требуют, чтобы задача была сформулирована как система обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка . Например, ^[8]

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {d\theta }{d\xi }}=-{\frac {\varphi }{\xi ^{2}}}\\[6pt]&{\frac {d\varphi }{d\xi }}=\theta ^{n}\xi ^{2}\end{aligned}}}$

Здесь интерпретируется как безразмерная масса, определяемая как . Соответствующие начальные условия — и . Первое уравнение представляет гидростатическое равновесие, а второе — сохранение массы. ${\displaystyle \varphi (\xi )}$ ${\displaystyle m(r)=4\pi \alpha ^{3}\rho _{c}\varphi (\xi )}$ ${\displaystyle \varphi (0)=0}$ ${\displaystyle \theta (0)=1}$

Гомологичные переменные

Гомологически-инвариантное уравнение

Известно, что если является решением уравнения Лейна–Эмдена, то также является . ^[9] Решения, связанные таким образом, называются гомологичными ; процесс, который преобразует их, называется гомологией . Если выбрать переменные, инвариантные относительно гомологии, то мы можем понизить порядок уравнения Лейна–Эмдена на единицу. ${\displaystyle \theta (\xi )}$ ${\displaystyle C^{2/n+1}\theta (C\xi )}$

Существует множество таких переменных. Подходящим выбором является и $${\displaystyle U={\frac {d\log m}{d\log r}}={\frac {\xi ^{3}\theta ^{n}}{\varphi }}}$$ $${\displaystyle V={\frac {d\log P}{d\log r}}=(n+1){\frac {\varphi }{\xi \theta }}}$$

Мы можем дифференцировать логарифмы этих переменных по , что дает и ${\displaystyle \xi }$ $${\displaystyle {\frac {1}{U}}{\frac {dU}{d\xi }}={\frac {1}{\xi }}\left(3-n(n+1)^{-1}V-\right)}$$ $${\displaystyle {\frac {1}{V}}{\frac {dV}{d\xi }}={\frac {1}{\xi }}\left(-1-U-(n+1)^{-1}V\right).}$$

Наконец, мы можем разделить эти два уравнения, чтобы устранить зависимость от , что оставляет ${\displaystyle \xi }$ $${\displaystyle {\frac {dV}{dU}}=-{\frac {V}{U}}\left({\frac {U+(n+1)^{-1}V-1}{U+n(n+1)^{-1}V-3}}\right).}$$

Теперь это единое уравнение первого порядка.

Топология гомологически-инвариантного уравнения

Гомологически-инвариантное уравнение можно рассматривать как автономную пару уравнений и $${\displaystyle {\frac {dU}{d\log \xi }}=-U\left(U+n(n+1)^{-1}V-3\right)}$$ $${\displaystyle {\frac {dV}{d\log \xi }}=V\left(U+(n+1)^{-1}V-1\right).}$$

Поведение решений этих уравнений можно определить с помощью линейного анализа устойчивости. Критические точки уравнения (где ), а также собственные значения и собственные векторы матрицы Якоби приведены ниже. ^[10] ${\displaystyle dV/d\log \xi =dU/d\log \xi =0}$

Смотрите также

• Уравнение Эмдена–Чандрасекара
• Уравнение белого карлика Чандрасекара

Ссылки

1. Лейн, Джонатан Хомер (1870). «О теоретической температуре Солнца, согласно гипотезе газообразной массы, сохраняющей свой объем за счет внутреннего тепла, и в зависимости от законов газов, известных из земного эксперимента». American Journal of Science . 2. 50 (148): 57–74. Bibcode : 1870AmJS...50...57L. doi : 10.2475/ajs.s2-50.148.57. ISSN  0002-9599. S2CID  131102972.
2. Плейер, Йонас. «Нулевые значения уравнения TOV». GitHub . Получено 4 января 2024 г.
3. Шривастава, Шамбхунат (1962). "Новое решение уравнения Лейна-Эмдена с индексом n=5". The Astrophysical Journal . 136 : 680. Bibcode : 1962ApJ...136..680S. doi : 10.1086/147421. ISSN  0004-637X.
4. Kycia, Radosław Antoni (2020). «Возмущенные уравнения Лейна–Эмдена как краевая задача с сингулярными конечными точками». Журнал динамических и управляющих систем . 26 (2): 333–347. arXiv : 1810.01410 . doi : 10.1007/s10883-019-09445-6 . ISSN  1079-2724.
5. Hunter, C. (2001-12-11). "Рядовые решения для политроп и изотермической сферы". Monthly Notices of the Royal Astronomical Society . 328 (3): 839–847. Bibcode : 2001MNRAS.328..839H. doi : 10.1046/j.1365-8711.2001.04914.x . ISSN  0035-8711.
6. Kycia, Radosław Antoni; Filipuk, Galina (2015), Mityushev, Vladimir V.; Ruzhansky, Michael V. (ред.), "On the Singularities of the Emden–Fowler Type Equations", Current Trends in Analysis and Its Applications , Cham: Springer International Publishing, стр. 93–99, doi :10.1007/978-3-319-12577-0_13, ISBN 978-3-319-12576-3, получено 2020-07-19
7. Kycia, Radosław Antoni; Filipuk, Galina (2015). «Об обобщенных уравнениях Эмдена–Фаулера и изотермических сферах». Прикладная математика и вычисления . 265 : 1003–1010. doi :10.1016/j.amc.2015.05.140.
8. Хансен, Карл Дж.; Кавалер, Стивен Д.; Тримбл, Вирджиния (2004). Звездные недра: физические принципы, структура и эволюция . Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer. стр. 338. ISBN 9780387200897.
9. Чандрасекар, Субраманьян (1957) [1939]. Введение в изучение звездной структуры. Дувр. Bibcode :1939isss.book.....C. ISBN 978-0-486-60413-8.
10. Хоретт, Георг П. (1987). «Топология уравнения Лейна-Эмдена». Астрономия и астрофизика . 117 (1–2): 117–130. Bibcode : 1987A&A...177..117H. ISSN  0004-6361.

Дальнейшее чтение

• Хордт, Георг П. (2004). Политропы – приложения в астрофизике и смежных областях. Дордрехт: Kluwer Academic Publishers . ISBN 978-1-4020-2350-7.
• Дэвид, Гарольд Т. (2010). Введение в нелинейные дифференциальные и интегральные уравнения. Dover Publications . ISBN 978-0486609713.

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Дифференциальное уравнение Лейна-Эмдена». Математический мир .