В теории представлений и алгебраической теории чисел программа Ленглендса представляет собой сеть далеко идущих и последовательных гипотез о связях между теорией чисел и геометрией . Предложенный Робертом Ленглендсом (1967, 1970), он пытается связать группы Галуа в теории алгебраических чисел с автоморфными формами и теорией представлений алгебраических групп над локальными полями и аделями . Программа Ленглендса, которую многие считают крупнейшим проектом в современных математических исследованиях, была описана Эдвардом Френкелем как «своего рода великая единая теория математики». [1]
Программа Ленглендса состоит из очень сложных теоретических абстракций, которые может быть трудно понять даже специалистам-математикам. Если упростить, то фундаментальная лемма проекта постулирует прямую связь между обобщенным фундаментальным представлением конечного поля и его групповым расширением до автоморфных форм, относительно которых оно инвариантно . Это достигается посредством абстракции к многомерной интеграции , посредством эквивалентности определенной аналитической группе как абсолютному расширению ее алгебры . Следовательно, это позволяет аналитически функционально построить мощные преобразования инвариантности числового поля к его собственной алгебраической структуре .
Смысл такой конструкции тонок, но ее конкретные решения и обобщения очень сильны. Следствием доказательства существования таких теоретических объектов является аналитический метод построения категориального отображения фундаментальных структур практически для любого числового поля . В качестве аналога возможного точного распределения простых чисел программа Ленглендса предоставляет потенциальный общий инструмент для разрешения инвариантности на уровне обобщенных алгебраических структур . Это, в свою очередь, позволяет проводить несколько унифицированный анализ арифметических объектов через их автоморфные функции . Проще говоря, философия Ленглендса позволяет провести общий анализ структурирования абстракций чисел. Естественно, это описание является одновременно сокращением и чрезмерным обобщением собственно теорем программы, но эти математические аналоги составляют основу ее концептуализации.
В очень широком контексте программа основывалась на существующих идеях: философии параболических форм, сформулированной несколькими годами ранее Хариш-Чандрой и Гельфандом (1963), работе и подходе Хариш-Чандры к полупростым группам Ли , а также в техническом плане формула следов Сельберга и др .
Что первоначально было очень новым в работе Ленглендса, помимо технической глубины, так это предполагаемая прямая связь с теорией чисел вместе с предполагаемой богатой организационной структурой (так называемая функториальность ).
Например, в работе Хариш-Чандры можно найти принцип, согласно которому то, что можно сделать для одной полупростой (или редуктивной) группы Ли , должно быть сделано для всех. Таким образом, как только была признана роль некоторых маломерных групп Ли, таких как GL(2) в теории модулярных форм, и, оглядываясь назад, GL(1) в теории полей классов , открылся путь, по крайней мере, для спекуляций о GL. ( n ) для общего n > 2.
Идея формы возврата возникла из точек возврата на модульных кривых , но также имела значение, видимое в спектральной теории как « дискретный спектр », в отличие от « непрерывного спектра » из ряда Эйзенштейна . Для более крупных групп Ли это становится гораздо более техническим, потому что параболических подгрупп больше.
Во всех этих подходах не было недостатка в технических методах, часто индуктивных по своей природе и основанных, среди прочего, на разложениях Леви , но эта область была – и остается – очень требовательной. [2]
А со стороны модульных форм были такие примеры, как модульные формы Гильберта , модульные формы Зигеля и тэта-ряды .
Существует ряд связанных с этим гипотез Ленглендса. Существует множество различных групп по многим различным областям, для которых их можно сформулировать, и для каждой области существует несколько разных версий гипотез. [3] Некоторые версии [ какие? ] гипотез Ленглендса расплывчаты или зависят от таких объектов, как группы Ленглендса , существование которых недоказано, или от L -группы, имеющей несколько неэквивалентных определений. Более того, гипотезы Ленглендса развивались с тех пор, как Ленглендс впервые высказал их в 1967 году.
Существуют различные типы объектов, для которых можно сформулировать гипотезы Ленглендса:
Существует несколько различных способов формулирования гипотез Ленглендса, которые тесно связаны, но не являются очевидно эквивалентными.
Отправной точкой программы можно считать закон взаимности Эмиля Артина , который обобщает квадратичную взаимность . Закон взаимности Артина применяется к расширению Галуа поля алгебраических чисел , группа Галуа которого абелева ; он присваивает L- функции одномерным представлениям этой группы Галуа и утверждает, что эти L- функции идентичны некоторым L -рядам Дирихле или более общим рядам (то есть некоторым аналогам дзета-функции Римана ), построенным по Гекке персонажи . Точное соответствие между этими различными видами L -функций составляет закон взаимности Артина.
Для неабелевых групп Галуа и их многомерных представлений все еще можно естественным образом определить L -функции: L -функции Артина .
Идея Ленглендса заключалась в том, чтобы найти правильное обобщение L -функций Дирихле, которое позволило бы сформулировать утверждение Артина в этой более общей ситуации. Ранее Гекке связал L -функции Дирихле с автоморфными формами ( голоморфными функциями в верхней полуплоскости ( комплексных чисел ), которые удовлетворяют определенным функциональным уравнениям). Затем Ленглендс обобщил их на автоморфные каспидальные представления , которые являются определенными бесконечномерными неприводимыми представлениями общей линейной группы GL( n ) над кольцом аделей ( рациональных чисел ). (Это кольцо одновременно отслеживает все пополнения см. р -адических чисел .)
Ленглендс присоединил к этим автоморфным представлениям автоморфные L -функции и предположил, что каждая L- функция Артина, возникающая из конечномерного представления группы Галуа числового поля , равна функции, возникающей из автоморфного каспидального представления. Это известно как его « гипотеза взаимности ».
Грубо говоря, гипотеза взаимности дает соответствие между автоморфными представлениями редуктивной группы и гомоморфизмами группы Ленглендса в L -группу . Существует множество вариантов этого, отчасти потому, что определения группы Ленглендса и L -группы не являются фиксированными.
Ожидается, что над локальными полями это даст параметризацию L -пакетов допустимых неприводимых представлений редуктивной группы над локальным полем. Например, над действительными числами это соответствие представляет собой классификацию Ленглендса представлений вещественных редуктивных групп. Над глобальными полями он должен давать параметризацию автоморфных форм.
Гипотеза о функториальности утверждает, что подходящий гомоморфизм L -групп должен давать соответствие между автоморфными формами (в глобальном случае) или представлениями (в локальном случае). Грубо говоря, гипотеза Ленглендса взаимности является частным случаем гипотезы функториальности, когда одна из редуктивных групп тривиальна.
Ленглендс обобщил идею функториальности: вместо использования общей линейной группы GL( n ) можно использовать другие связные редуктивные группы . Более того, по такой группе G Ленглендс строит двойственную Ленглендсу группу L G , а затем для каждого автоморфного каспидального представления G и каждого конечномерного представления LG G он определяет L -функцию. Одна из его гипотез утверждает, что эти L -функции удовлетворяют некоторому функциональному уравнению, обобщающему уравнения других известных L -функций.
Затем он формулирует очень общий «принцип функториальности». При наличии двух редуктивных групп и (хорошего поведения) морфизма между соответствующими им L -группами эта гипотеза связывает их автоморфные представления способом, совместимым с их L -функциями. Эта гипотеза о функториальности подразумевает все остальные гипотезы, представленные до сих пор. Оно имеет природу конструкции индуцированного представления — то, что в более традиционной теории автоморфных форм называлось « подъемом », известное в особых случаях, и поэтому является ковариантным (тогда как ограниченное представление контравариантно). Попытки уточнить прямую конструкцию дали лишь условные результаты.
Все эти гипотезы могут быть сформулированы для более общих полей вместо : полей алгебраических чисел (исходный и наиболее важный случай), локальных полей и функциональных полей (конечные расширения F p ( t ), где p — простое число , а F p ( t ) — поле рациональных функций над конечным полем с p элементами).
Так называемая геометрическая программа Ленглендса, предложенная Жераром Ломоном вслед за идеями Владимира Дринфельда , возникает в результате геометрической переформулировки обычной программы Ленглендса, которая пытается связать нечто большее, чем просто неприводимые представления. В простых случаях он связывает l -адические представления этальной фундаментальной группы алгебраической кривой с объектами производной категории l -адических пучков на стеке модулей векторных расслоений над кривой.
Гипотезы Ленглендса для GL(1, K ) следуют из теории полей классов (и по существу эквивалентны ей) .
Ленглендс доказал гипотезы Ленглендса для групп над архимедовыми локальными полями ( действительные числа ) и ( комплексные числа ), дав классификацию Ленглендса их неприводимых представлений.
Классификацию Люстига неприводимых представлений групп лиева типа над конечными полями можно считать аналогом гипотез Ленглендса для конечных полей.
Доказательство Эндрю Уайлса модульности полустабильных эллиптических кривых над рациональными числами можно рассматривать как пример гипотезы взаимности Ленглендса, поскольку основная идея состоит в том, чтобы связать представления Галуа, возникающие из эллиптических кривых, с модулярными формами. Хотя результаты Уайлса были существенно обобщены во многих различных направлениях, полная гипотеза Ленглендса остается недоказанной.
В 1998 году Лоран Лафорг доказал теорему Лафорга, подтверждающую гипотезы Ленглендса для общей линейной группы GL( n , K ) для функциональных полей K. Эта работа продолжила более ранние исследования Дринфельда, который доказал случай GL(2, K ) в 1980-х годах.
В 2018 году Винсент Лафорг установил глобальное соответствие Ленглендса (направление от автоморфных форм к представлениям Галуа) для связных редуктивных групп над глобальными функциональными полями. [4] [5] [6]
Филип Куцко (1980) доказал локальные гипотезы Ленглендса для общей линейной группы GL(2, K ) над локальными полями.
Жерар Ломон , Михаэль Рапопорт и Ульрих Штулер (1993) доказали локальные гипотезы Ленглендса для общей линейной группы GL( n , K ) для локальных полей K с положительной характеристикой . Их доказательство использует глобальный аргумент.
Майкл Харрис и Ричард Тейлор (2001) доказали локальные гипотезы Ленглендса для общей линейной группы GL( n , K ) для локальных полей K характеристики 0 . Гай Хенниарт (2000) привел еще одно доказательство. Оба доказательства используют глобальный аргумент. Питер Шольце (2013) привел еще одно доказательство.
В 2008 году Нго Бо Чау доказал « фундаментальную лемму », которая была первоначально выдвинута Ленглендсом и Шелстадом в 1983 году и потребовалась для доказательства некоторых важных гипотез в программе Ленглендса. [7] [8]
Для непрофессионала или даже неспециалиста-математика абстракции в программе Ленглендса могут быть несколько непонятными. Однако существуют некоторые убедительные и ясные выводы для доказательства или опровержения фундаментальных гипотез Ленглендса.
Поскольку программа устанавливает мощную связь между аналитической теорией чисел и обобщениями алгебраической геометрии , идея «функториальности» между абстрактными алгебраическими представлениями числовых полей и их аналитическими конструкциями простых чисел приводит к появлению мощных функциональных инструментов , позволяющих точно количественно определить распределения простых чисел . Это, в свою очередь, дает возможность классификации диофантовых уравнений и дальнейших абстракций алгебраических функций .
Более того, если существует взаимность таких обобщенных алгебр для постулируемых объектов и если можно показать, что их аналитические функции четко определены, некоторые очень глубокие результаты в математике могут оказаться в пределах досягаемости доказательства. Примеры включают: рациональные решения эллиптических кривых , топологическое построение алгебраических многообразий и знаменитую гипотезу Римана . [9] Ожидается, что такие доказательства будут использовать абстрактные решения в объектах обобщенных аналитических рядов , каждый из которых относится к инвариантности внутри структур числовых полей.
Кроме того, были выдвинуты предположения о некоторых связях между программой Ленглендса и теорией М , поскольку их двойственности соединяются нетривиальным образом, обеспечивая потенциальные точные решения в теории суперструн (как это было аналогично сделано в теории групп с помощью чудовищной болтовни ).
Проще говоря, проект Ленглендса подразумевает глубокую и мощную систему решений, которая затрагивает самые фундаментальные области математики посредством обобщений высокого порядка в точных решениях алгебраических уравнений с аналитическими функциями, встроенными в геометрические формы. Это позволяет объединить многие отдаленные математические области в формализм мощных аналитических методов .
Вся эта штука, как выразился мой папа, довольно тяжелая: у нас есть пространства модулей Хитчина, зеркальная симметрия, А -браны, В -браны, автоморфные пучки... Головную боль можно получить, просто пытаясь их уследить. все. Поверьте, даже среди специалистов мало кто знает тонкости всех элементов этой конструкции.
Программа Ленглендса теперь представляет собой обширную тему. Над этим работает большое сообщество людей в разных областях: теория чисел, гармонический анализ, геометрия, теория представлений, математическая физика. Хотя они работают с очень разными объектами, все они наблюдают схожие явления.
