Пьер-Симон, маркиз де Лаплас ( / l ə ˈ p l ɑː s / ; фр. [pjɛʁ simɔ̃ laplas] ; 23 марта 1749 — 5 марта 1827) был французским учёным , чьи работы сыграли важную роль в развитии инженерии , математики , статистики , физики , астрономии и философии . Он обобщил и расширил работу своих предшественников в своём пятитомном труде Mécanique céleste ( Небесная механика ) (1799–1825). Эта работа перевела геометрическое изучение классической механики в основанное на исчислении , открыв более широкий круг проблем. В статистике байесовская интерпретация вероятности была разработана в основном Лапласом. [2]
Лаплас сформулировал уравнение Лапласа и стал пионером преобразования Лапласа , которое появляется во многих разделах математической физики , области, в формировании которой он сыграл ведущую роль. Дифференциальный оператор Лапласа , широко используемый в математике, также назван в его честь. Он переформулировал и развил небулярную гипотезу происхождения Солнечной системы и был одним из первых ученых, выдвинувших идею, похожую на идею черной дыры , [3] при этом Стивен Хокинг заявил, что «Лаплас по сути предсказал существование черных дыр». [1]
Лаплас считается одним из величайших ученых всех времен. Иногда его называют французским Ньютоном или Ньютоном Франции , его описывают как человека, обладающего феноменальными естественными математическими способностями, превосходящими способности почти всех его современников. [4] Он был экзаменатором Наполеона, когда тот окончил Военную школу в Париже в 1785 году. [5] Лаплас стал графом Империи в 1806 году и был назван маркизом в 1817 году, после Реставрации Бурбонов .
.jpg/1280px-Pierre-Simon_de_Laplace_by_Johann_Ernst_Heinsius_(1775).jpg)
Некоторые подробности жизни Лапласа неизвестны, так как записи о ней были сожжены в 1925 году вместе с семейным замком в Сен-Жюльен-де-Майок , недалеко от Лизьё , домом его праправнука графа де Кольбера-Лапласа. Другие были уничтожены ранее, когда его дом в Аркёй недалеко от Парижа был разграблен в 1871 году. [6]
Лаплас родился в Бомон-ан-Ож , Нормандия, 23 марта 1749 года, деревне в четырех милях к западу от Пон-л'Эвек . Согласно WW Раузу Боллу [ 7], его отец, Пьер де Лаплас, владел и обрабатывал небольшие поместья Маарки. Его двоюродный дед, мэтр Оливер де Лаплас, носил титул королевского хирурга. Похоже, что из ученика он стал швейцаром в школе в Бомоне; но, раздобыв рекомендательное письмо к д'Аламберу , он отправился в Париж, чтобы увеличить свое состояние. Однако Карл Пирсон [6] язвительно отзывается о неточностях в рассказе Рауз Болла и утверждает:
Действительно, Кан был, вероятно, во времена Лапласа самым интеллектуально активным из всех городов Нормандии. Именно здесь Лаплас получил образование и временно стал профессором. Именно здесь он написал свою первую работу, опубликованную в Mélanges Королевского общества Турина, Tome iv. 1766–1769, по крайней мере за два года до того, как в 1771 году в возрасте 22 или 23 лет отправился в Париж. Таким образом, до того, как ему исполнилось 20 лет, он связался с Лагранжем в Турине . Он не поехал в Париж неотёсанным деревенским парнем-самоучкой с крестьянским прошлым! В 1765 году в возрасте шестнадцати лет Лаплас покинул «Школу герцога Орлеанского» в Бомоне и отправился в Канский университет , где он, по-видимому, проучился пять лет и был членом Сфинкса. Военная школа Бомона не заменила старую школу до 1776 года.
Его родители, Пьер Лаплас и Мари-Анн Сошон, были из обеспеченных семей. Семья Лаплас занималась сельским хозяйством по крайней мере до 1750 года, но Пьер Лаплас-старший был также торговцем сидром и синдиком города Бомон.
Пьер Симон Лаплас посещал школу в деревне, которая находилась в бенедиктинском монастыре , его отец намеревался посвятить его в Римско-католическую церковь . В шестнадцать лет, следуя намерению отца, его отправили в университет Кана изучать теологию. [8]
В университете его наставниками были два восторженных преподавателя математики, Кристоф Гэдблед и Пьер Ле Каню, которые пробудили в нем рвение к предмету. Здесь блестящий талант Лапласа как математика был быстро признан, и еще в Кане он написал мемуары Sur le Calcul integral aux differences infiniment petites et aux differences finies . Это стало первой перепиской между Лапласом и Лагранжем. Лагранж был старше на тринадцать лет и недавно основал в своем родном городе Турине журнал под названием Miscellanea Taurinensia , в котором были напечатаны многие из его ранних работ, и именно в четвертом томе этой серии появилась статья Лапласа. Примерно в это же время, осознав, что у него нет призвания к священству, он решил стать профессиональным математиком. Некоторые источники утверждают, что затем он порвал с церковью и стал атеистом. [ необходима цитата ] Лаплас не получил высшего образования по теологии, но уехал в Париж с рекомендательным письмом от Ле Каню к Жану Ле Рону Д'Аламберу , который в то время был высшим авторитетом в научных кругах. [8] [9]
По словам его праправнука, [6] Даламбер принял его довольно скверно и, чтобы отделаться от него, дал ему толстую книгу по математике, сказав вернуться, когда он ее прочтет. Когда Лаплас вернулся через несколько дней, Даламбер был еще менее дружелюбен и не скрывал своего мнения, что невозможно, чтобы Лаплас мог прочитать и понять книгу. Но, расспросив его, он понял, что это правда, и с этого времени он взял Лапласа под свою опеку.
Другой рассказ гласит, что Лаплас решил за ночь задачу, которую Даламбер поставил ему для сдачи на следующей неделе, а затем решил более сложную задачу следующей ночью. Даламбер был впечатлен и рекомендовал его на место преподавателя в Военной школе . [10]
Имея стабильный доход и нетребовательную преподавательскую работу, Лаплас теперь полностью посвятил себя оригинальным исследованиям и в течение следующих семнадцати лет, с 1771 по 1787 год, создал большую часть своих оригинальных работ по астрономии. [11]
С 1780 по 1784 год Лаплас и французский химик Антуан Лавуазье сотрудничали в нескольких экспериментальных исследованиях, разрабатывая собственное оборудование для этой задачи. [12] В 1783 году они опубликовали свою совместную работу «Мемуары о тепле» , в которой обсуждали кинетическую теорию молекулярного движения. [13] В своих экспериментах они измеряли удельную теплоемкость различных тел и расширение металлов при повышении температуры. Они также измеряли точки кипения этанола и эфира под давлением.
Лаплас еще больше впечатлил маркиза де Кондорсе , и уже к 1771 году Лаплас почувствовал себя вправе стать членом Французской академии наук . Однако в том году прием достался Александру-Теофилю Вандермонду , а в 1772 году — Жаку Антуану Жозефу Кузену. Лаплас был недоволен, и в начале 1773 года д'Аламбер написал Лагранжу в Берлин, чтобы спросить, можно ли найти там должность для Лапласа. Однако в феврале Кондорсе стал постоянным секретарем Академии , а 31 марта в возрасте 24 лет Лаплас был избран членом-корреспондентом. [14] В 1773 году Лаплас прочитал свою работу о неизменности движения планет перед Академией наук. В марте того же года он был избран в академию, место, где он занимался большей частью своей науки. [15]
15 марта 1788 года [16] [6] в возрасте тридцати девяти лет Лаплас женился на Мари-Шарлотте де Курти де Романж, восемнадцатилетней девушке из «хорошей» семьи в Безансоне . [17] Свадьба состоялась в Сен-Сюльпис, Париж . У пары родился сын Шарль-Эмиль (1789–1874) и дочь Софи-Сюзанна (1792–1813). [18] [19]
Ранние опубликованные работы Лапласа в 1771 году начинались с дифференциальных уравнений и конечных разностей , но он уже начал думать о математических и философских концепциях вероятности и статистики. [20] Однако до своего избрания в Академию в 1773 году он уже подготовил две статьи, которые создали ему репутацию. Первая, Mémoire sur la probabilité des causes par les événements, была в конечном итоге опубликована в 1774 году, а вторая статья, опубликованная в 1776 году, дополнительно развила его статистические идеи, а также положила начало его систематической работе по небесной механике и устойчивости Солнечной системы . Эти две дисциплины всегда будут взаимосвязаны в его сознании. «Лаплас рассматривал вероятность как инструмент для исправления дефектов в знаниях». [21] Работа Лапласа по вероятности и статистике обсуждается ниже вместе с его зрелой работой по аналитической теории вероятностей.
Сэр Исаак Ньютон опубликовал свой труд Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica в 1687 году, в котором он вывел законы Кеплера , описывающие движение планет, из своих законов движения и закона всемирного тяготения . Однако, хотя Ньютон в частном порядке разработал методы исчисления, все его опубликованные работы использовали громоздкие геометрические рассуждения, непригодные для учета более тонких эффектов высшего порядка взаимодействий между планетами. Сам Ньютон сомневался в возможности математического решения всей этой проблемы, даже придя к выводу, что периодическое божественное вмешательство необходимо для обеспечения устойчивости Солнечной системы. Отказ от гипотезы божественного вмешательства стал бы основным направлением научной жизни Лапласа. [22] В настоящее время общепризнано, что методы Лапласа сами по себе, хотя и жизненно важны для развития теории, недостаточно точны, чтобы продемонстрировать устойчивость Солнечной системы ; Сегодня Солнечная система считается в целом хаотичной в мелких масштабах, хотя в настоящее время она довольно стабильна в крупных масштабах. [23] : 83, 93
Одной из конкретных проблем наблюдательной астрономии была кажущаяся нестабильность, при которой орбита Юпитера, казалось, сжималась, в то время как орбита Сатурна расширялась. За эту проблему взялись Леонард Эйлер в 1748 году и Жозеф Луи Лагранж в 1763 году, но безуспешно. [24] В 1776 году Лаплас опубликовал мемуары, в которых он впервые исследовал возможные влияния предполагаемого светоносного эфира или закона тяготения, который не действовал мгновенно. В конечном итоге он вернулся к интеллектуальным инвестициям в ньютоновскую гравитацию. [25] Эйлер и Лагранж сделали практическое приближение, проигнорировав малые члены в уравнениях движения. Лаплас отметил, что хотя сами члены были малы, при интегрировании с течением времени они могли стать важными. Лаплас перенес свой анализ на члены более высокого порядка, вплоть до кубического . Используя этот более точный анализ, Лаплас пришел к выводу, что любые две планеты и Солнце должны находиться во взаимном равновесии, и тем самым начал свою работу по устойчивости Солнечной системы. [26] Джеральд Джеймс Уитроу описал это достижение как «самое важное достижение в физической астрономии со времен Ньютона». [22]
Лаплас обладал обширными познаниями во всех науках и доминировал во всех дискуссиях в Академии . [27] Лаплас, по-видимому, считал анализ просто средством решения физических проблем, хотя способность, с которой он изобрел необходимый анализ, почти феноменальна. Пока его результаты были верны, он не прилагал особых усилий для объяснения шагов, которыми он к ним пришел; он никогда не изучал элегантность или симметрию в своих процессах, и для него было достаточно, если он мог любыми способами решить конкретный вопрос, который он обсуждал. [11]
В то время как Ньютон объяснял приливы, описывая силы, порождающие приливы, а Бернулли дал описание статической реакции вод на Земле на приливной потенциал, динамическая теория приливов , разработанная Лапласом в 1775 году, [28] описывает реальную реакцию океана на приливные силы . [29] Теория океанских приливов Лапласа учитывала трение , резонанс и естественные периоды океанических бассейнов. Она предсказала крупные амфидромические системы в мировых океанических бассейнах и объясняет океанические приливы, которые фактически наблюдаются. [30] [31]
Теория равновесия, основанная на гравитационном градиенте от Солнца и Луны, но игнорирующая вращение Земли, влияние континентов и другие важные эффекты, не могла объяснить реальные океанские приливы. [32] [33] [34] [30] [35] [36] [37] [38] [39]
Поскольку измерения подтвердили теорию, теперь многие вещи имеют возможные объяснения, например, то, как приливы взаимодействуют с глубоководными хребтами, а цепи подводных гор вызывают глубокие водовороты, которые переносят питательные вещества из глубины на поверхность. [40] Теория равновесных приливов вычисляет высоту приливной волны менее полуметра, в то время как динамическая теория объясняет, почему приливы достигают 15 метров. [41] Спутниковые наблюдения подтверждают точность динамической теории, и приливы во всем мире теперь измеряются с точностью до нескольких сантиметров. [42] [43] Измерения со спутника CHAMP близко соответствуют моделям, основанным на данных TOPEX . [44] [45] [46] Точные модели приливов во всем мире необходимы для исследований, поскольку изменения, вызванные приливами, должны быть удалены из измерений при расчете гравитации и изменений уровня моря. [47]
В 1776 году Лаплас сформулировал единый набор линейных уравнений в частных производных для приливного течения, описанного как баротропный двумерный поток. Введены эффекты Кориолиса , а также боковое воздействие гравитации. Лаплас получил эти уравнения, упростив уравнения динамики жидкости . Но их также можно вывести из интегралов энергии с помощью уравнения Лагранжа .
Для жидкого слоя средней толщины D вертикальная приливная высота ζ , а также горизонтальные компоненты скорости u и v (в направлениях широты φ и долготы λ соответственно) удовлетворяют приливным уравнениям Лапласа : [48]
где Ω — угловая частота вращения планеты, g — ускорение свободного падения планеты на средней поверхности океана, a — радиус планеты, U — внешний гравитационный приливной потенциал .
Уильям Томсон (лорд Кельвин) переписал термины импульса Лапласа, используя ротор , чтобы найти уравнение для завихренности . При определенных условиях это можно далее переписать как сохранение завихренности.
В 1784–1787 годах он опубликовал несколько работ исключительной силы. Среди них выделяется работа, прочитанная в 1783 году и переизданная как Часть II Теории движения и эллиптической фигуры планет в 1784 году, а также в третьем томе Небесной механики . В этой работе Лаплас полностью определил притяжение сфероида к частице вне его. Она памятна введением в анализ сферических гармоник или коэффициентов Лапласа , а также развитием использования того, что мы сейчас называем гравитационным потенциалом в небесной механике .
В 1783 году в статье, отправленной в Академию , Адриен-Мари Лежандр ввел то, что сейчас известно как ассоциированные функции Лежандра . [11] Если две точки на плоскости имеют полярные координаты ( r , θ) и ( r ', θ'), где r ' ≥ r , то с помощью элементарных преобразований обратную величину расстояния между точками, d , можно записать как:
Это выражение можно разложить по степеням r / r ' , используя обобщенную биномиальную теорему Ньютона, и получить:
Последовательность функций P 0 k (cos φ) представляет собой набор так называемых «ассоциированных функций Лежандра», и их полезность вытекает из того факта, что каждая функция точек на окружности может быть разложена в виде их ряда . [11]
Лаплас, не принимая во внимание заслуги Лежандра, сделал нетривиальное расширение результата на три измерения , чтобы получить более общий набор функций, сферические гармоники или коэффициенты Лапласа . Последний термин сейчас не является общепринятым. [11] : стр. 340 и далее
Эта статья также примечательна развитием идеи скалярного потенциала . [11] Гравитационная сила, действующая на тело, на современном языке является вектором , имеющим величину и направление. Потенциальная функция — это скалярная функция, которая определяет, как будут вести себя векторы. Со скалярной функцией вычислительно и концептуально легче иметь дело, чем с векторной функцией.
Алексис Клеро впервые предложил эту идею в 1743 году, работая над похожей проблемой, хотя он использовал геометрические рассуждения ньютоновского типа. Лаплас описал работу Клеро как «входящую в класс самых красивых математических произведений». [49] Однако Рауз Болл утверждает, что идея «была заимствована у Жозефа Луи Лагранжа , который использовал ее в своих мемуарах 1773, 1777 и 1780 годов». [11] Сам термин «потенциал» был придуман Даниилом Бернулли , который ввел его в своем мемуаре 1738 года «Гидродинамика ». Однако, по словам Рауз Болл, термин «потенциальная функция» фактически не использовался (для обозначения функции V координат пространства в смысле Лапласа) до 1828 года , когда Джордж Грин написал «Эссе о применении математического анализа к теориям электричества и магнетизма» . [50] [51]
Лаплас применил язык исчисления к потенциальной функции и показал, что она всегда удовлетворяет дифференциальному уравнению : [11]
Аналогичный результат для потенциала скорости жидкости был получен несколькими годами ранее Леонардом Эйлером . [52] [53]
Последующая работа Лапласа по гравитационному притяжению была основана на этом результате. Величина ∇ 2 V была названа концентрацией V , и ее значение в любой точке указывает на «избыток» значения V там над его средним значением в окрестности точки. [54] Уравнение Лапласа , частный случай уравнения Пуассона , повсеместно встречается в математической физике. Концепция потенциала встречается в гидродинамике , электромагнетизме и других областях. Рауз Болл предположила, что его можно рассматривать как «внешний знак» одной из априорных форм в теории восприятия Канта . [11]
Сферические гармоники оказываются критически важными для практических решений уравнения Лапласа. Уравнение Лапласа в сферических координатах , таких, которые используются для картографирования неба, можно упростить, используя метод разделения переменных на радиальную часть, зависящую исключительно от расстояния от центральной точки, и угловую или сферическую часть. Решение сферической части уравнения можно выразить в виде ряда сферических гармоник Лапласа, что упрощает практические вычисления.
Лаплас представил мемуары о планетарных неравенствах в трех разделах в 1784, 1785 и 1786 годах. В основном они касались идентификации и объяснения возмущений, которые теперь известны как «великое неравенство Юпитера–Сатурна». Лаплас решил давнюю проблему в изучении и предсказании движений этих планет. Он показал общими соображениями, во-первых, что взаимное действие двух планет никогда не может вызвать больших изменений в эксцентриситетах и наклонениях их орбит; но затем, что еще важнее, что особенности возникли в системе Юпитер–Сатурн из-за близкого приближения к соизмеримости средних движений Юпитера и Сатурна. [4] [55]
В этом контексте соизмеримость означает, что отношение средних движений двух планет очень близко к отношению между парой малых целых чисел. Два периода орбиты Сатурна вокруг Солнца почти равны пяти периодам Юпитера. Соответствующая разница между кратными средних движений, (2 n J − 5 n S ) , соответствует периоду почти 900 лет, и она возникает как малый делитель при интегрировании очень малой возмущающей силы с этим же периодом. В результате интегрированные возмущения с этим периодом непропорционально велики, около 0,8° градусов дуги в орбитальной долготе для Сатурна и около 0,3° для Юпитера.
Дальнейшее развитие этих теорем о движении планет было дано в его двух мемуарах 1788 и 1789 годов, но с помощью открытий Лапласа таблицы движений Юпитера и Сатурна наконец-то могли быть сделаны гораздо более точными. Именно на основе теории Лапласа Деламбр вычислил свои астрономические таблицы. [11]
Лаплас теперь поставил перед собой задачу написать работу, которая должна была «предложить полное решение великой механической проблемы, представленной Солнечной системой, и привести теорию к такому близкому совпадению с наблюдением, что эмпирические уравнения больше не должны были бы находить места в астрономических таблицах». [4] Результат воплощен в Exposition du système du monde и Mécanique céleste . [11]
Первый был опубликован в 1796 году и дает общее объяснение явлений, но опускает все детали. Он содержит краткое изложение истории астрономии. Это краткое изложение обеспечило его автору честь быть принятым в сорок Французской академии и обычно считается одним из шедевров французской литературы, хотя оно не совсем надежно для более поздних периодов, которые оно рассматривает. [11]
Лаплас разработал небулярную гипотезу образования Солнечной системы, впервые предложенную Эммануэлем Сведенборгом и расширенную Иммануилом Кантом . Эта гипотеза остается наиболее широко принятой моделью в изучении происхождения планетных систем. Согласно описанию гипотезы Лапласом, Солнечная система развилась из шарообразной массы раскаленного газа, вращающейся вокруг оси, проходящей через ее центр масс . По мере охлаждения эта масса сжималась, и от ее внешнего края отрывались последовательные кольца. Эти кольца, в свою очередь, охлаждались и, наконец, конденсировались в планеты, в то время как Солнце представляло собой центральное ядро, которое все еще оставалось. С этой точки зрения Лаплас предсказал, что более далекие планеты будут старше тех, что ближе к Солнцу. [11] [56]
Как уже упоминалось, идея небулярной гипотезы была изложена Иммануилом Кантом в 1755 году, [56] который также предположил «метеорные скопления» и приливное трение как причины, влияющие на формирование Солнечной системы. Лаплас, вероятно, знал об этом, но, как и многие авторы его времени, он обычно не ссылался на работы других. [6]
Аналитическое обсуждение Лапласом Солнечной системы дано в его Mécanique céleste , опубликованном в пяти томах. Первые два тома, опубликованные в 1799 году, содержат методы расчета движения планет, определения их фигур и решения приливных проблем. [4] Третий и четвертый тома, опубликованные в 1802 и 1805 годах, содержат приложения этих методов и несколько астрономических таблиц. Пятый том, опубликованный в 1825 году, в основном исторический, но в качестве приложений он дает результаты последних исследований Лапласа. Mécanique céleste содержит многочисленные собственные исследования Лапласа, но многие результаты заимствованы у других авторов с небольшим или полным отсутствием признания. Выводы тома, которые историки описывают как организованный результат столетия работы других авторов, а также Лапласа, представлены Лапласом, как будто они были его открытиями. [11]
Жан-Батист Био , который помогал Лапласу в редактировании его для печати, говорит, что сам Лаплас часто не мог восстановить детали в цепочке рассуждений, и, если был уверен, что выводы были правильными, он довольствовался вставкой фразы « Il est aisé à voir que... » («Легко видеть, что...»). « Небесная механика» — это не только перевод «Principia Mathematica» Ньютона на язык дифференциального исчисления , но и дополняет части, которые Ньютон не смог заполнить подробностями. Работа была продолжена в более тонко настроенной форме в « Traité de mécanique céleste » Феликса Тиссерана ( 1889–1896), но трактат Лапласа остается общепринятым авторитетом. [11] В 1784–1787 годах Лаплас создал несколько мемуаров исключительной силы. Значимым среди них был труд, изданный в 1784 году и перепечатанный в третьем томе Mécanique céleste . [ требуется ссылка ] В этой работе он полностью определил притяжение сфероида к частице вне его. Это известно введением в анализ потенциала, полезной математической концепции, широко применимой к физическим наукам.
Лаплас был сторонником корпускулярной теории света Ньютона. В четвертом издании « Небесной механики» Лаплас предположил, что короткодействующие молекулярные силы ответственны за преломление корпускул света. [57] Лаплас и Этьен-Луи Малюс также показали, что принцип двойного преломления Гюйгенса может быть восстановлен из принципа наименьшего действия на частицы света. [58]
Однако в 1815 году Огюстен-Жан Френель представил новую волновую теорию дифракции комиссии Французской академии с помощью Франсуа Араго . Лаплас был одним из членов комиссии, и они в конечном итоге присудили премию Френелю за его новый подход. [59] : I.108
Используя корпускулярную теорию, Лаплас также приблизился к выдвижению концепции черной дыры . Он предположил, что гравитация может влиять на свет и что могут быть массивные звезды, гравитация которых настолько велика, что даже свет не может вырваться с их поверхности (см. скорость убегания ). [60] [1] [61] [62] Однако это понимание настолько опередило свое время, что не сыграло никакой роли в истории научного развития. [63]
В 1806 году Лаплас купил дом в Аркёйле , тогда деревне, еще не поглощенной парижской агломерацией . Химик Клод Луи Бертолле был соседом — их сады не были разделены [64] — и эта пара сформировала ядро неформального научного кружка, позднее известного как Общество Аркёйля. Благодаря своей близости к Наполеону , Лаплас и Бертолле эффективно контролировали продвижение в научном учреждении и доступ к более престижным должностям. Общество выстроило сложную пирамиду покровительства . [65] В 1806 году Лаплас был также избран иностранным членом Королевской шведской академии наук .
В 1812 году Лаплас опубликовал свою «Аналитику вероятностей» , в которой изложил множество фундаментальных результатов в статистике. Первая половина этого трактата была посвящена вероятностным методам и проблемам, вторая половина — статистическим методам и приложениям. Доказательства Лапласа не всегда строги по стандартам более позднего времени, и его точка зрения скользит туда-сюда между байесовскими и небайесовскими взглядами с легкостью, которая делает некоторые из его исследований трудными для понимания, но его выводы остаются в основном верными даже в тех немногих ситуациях, когда его анализ сбивается с пути. [66] В 1819 году он опубликовал популярный отчет о своей работе по вероятности. Эта книга имеет такое же отношение к « Теории вероятностей» , как « Система мира» к « Небесной механике» . [11] В своем акценте на аналитической важности вероятностных проблем, особенно в контексте «аппроксимации формульных функций больших чисел», работа Лапласа выходит за рамки современного взгляда, который почти исключительно рассматривал аспекты практической применимости. [67] Théorie analytique Лапласа оставалась самой влиятельной книгой по математической теории вероятностей до конца XIX века. Общая значимость для статистики теории ошибок Лапласа была оценена только к концу XIX века. Однако она повлияла на дальнейшее развитие в значительной степени аналитически ориентированной теории вероятностей.
В своем Essai philosophique sur les probabilités (1814) Лаплас изложил математическую систему индуктивного рассуждения, основанную на вероятности , которую мы сегодня назвали бы байесовской . Он начинает текст с ряда принципов вероятности, первые семь из которых таковы:
Одной из известных формул, вытекающих из его системы, является правило последовательности , данное как принцип семь. Предположим, что некое испытание имеет только два возможных результата, обозначенных как «успех» и «неудача». Предполагая, что мало или ничего не известно априори об относительной правдоподобности результатов, Лаплас вывел формулу для вероятности того, что следующее испытание будет успешным.
где s — это число ранее наблюдавшихся успехов, а n — общее число наблюдавшихся испытаний. Он по-прежнему используется в качестве оценки вероятности события, если мы знаем пространство событий, но имеем лишь небольшое количество образцов.
Правило наследования подверглось большой критике, отчасти из-за примера, который Лаплас выбрал для его иллюстрации. Он подсчитал, что вероятность того, что солнце взойдет завтра, учитывая, что оно никогда не всходило в прошлом, была
где d — число восходов солнца в прошлом. Этот результат был высмеян как абсурдный, и некоторые авторы пришли к выводу, что все применения правила следования абсурдны в широком смысле. Однако Лаплас полностью осознавал абсурдность результата; сразу же следуя примеру, он написал: «Но это число [т. е. вероятность того, что солнце взойдет завтра] гораздо больше для того, кто, видя в совокупности явлений принцип, регулирующий дни и времена года, понимает, что ничто в настоящий момент не может остановить его ход». [68]
Метод оценки отношения числа благоприятных случаев к общему числу возможных случаев был ранее указан Лапласом в статье, написанной в 1779 году. Он состоит в обработке последовательных значений любой функции как коэффициентов в разложении другой функции со ссылкой на другую переменную. [4] Последняя поэтому называется функцией, производящей вероятность первой. [4] Затем Лаплас показывает, как с помощью интерполяции эти коэффициенты могут быть определены из производящей функции. Затем он приступает к обратной задаче и из коэффициентов находит производящую функцию; это осуществляется путем решения конечно-разностного уравнения . [11]
Четвертая глава этого трактата включает в себя изложение метода наименьших квадратов , замечательное свидетельство господства Лапласа над процессами анализа. В 1805 году Лежандр опубликовал метод наименьших квадратов, не делая никаких попыток связать его с теорией вероятностей. В 1809 году Гаусс вывел нормальное распределение из принципа, что арифметическое среднее наблюдений дает наиболее вероятное значение для измеряемой величины; затем, обращая этот аргумент обратно на себя, он показал, что, если ошибки наблюдения распределены нормально, оценки наименьших квадратов дают наиболее вероятные значения для коэффициентов в ситуациях регрессии. Эти две работы, по-видимому, побудили Лапласа завершить работу над трактатом о вероятности, который он задумал еще в 1783 году. [66]
В двух важных работах 1810 и 1811 годов Лаплас впервые разработал характеристическую функцию как инструмент для теории больших выборок и доказал первую общую центральную предельную теорему . Затем в дополнении к своей работе 1810 года, написанном после того, как он увидел работу Гаусса, он показал, что центральная предельная теорема дает байесовское обоснование наименьшим квадратам: если объединить наблюдения, каждое из которых само по себе является средним значением большого числа независимых наблюдений, то оценки наименьших квадратов не только максимизируют функцию правдоподобия, рассматриваемую как апостериорное распределение, но и минимизируют ожидаемую апостериорную ошибку, и все это без каких-либо предположений относительно распределения ошибок или циклического обращения к принципу среднего арифметического. [66] В 1811 году Лаплас выбрал другой небайесовский подход. Рассматривая задачу линейной регрессии, он ограничил свое внимание линейными несмещенными оценками линейных коэффициентов. Показав, что члены этого класса были приблизительно нормально распределены, если число наблюдений было большим, он утверждал, что наименьшие квадраты обеспечили «лучшие» линейные оценки. Здесь это «лучшие» в том смысле, что они минимизировали асимптотическую дисперсию и, таким образом, минимизировали ожидаемое абсолютное значение ошибки и максимизировали вероятность того, что оценка будет лежать в любом симметричном интервале вокруг неизвестного коэффициента, независимо от распределения ошибки. Его вывод включал совместное предельное распределение оценок наименьших квадратов двух параметров. [66]
В 1814 году Лаплас опубликовал, возможно, первую научную формулировку причинного детерминизма : [69]
Мы можем рассматривать настоящее состояние вселенной как следствие ее прошлого и причину ее будущего. Интеллект, который в определенный момент знал бы все силы, приводящие природу в движение, и все положения всех предметов, из которых она состоит, если бы этот интеллект был также достаточно обширен, чтобы подвергнуть эти данные анализу, он бы охватил в одной формуле движения величайших тел вселенной и движения мельчайшего атома; для такого интеллекта ничто не было бы неопределенным, и будущее, как и прошлое, было бы для него настоящим.
— Пьер Симон Лаплас, Философское эссе о вероятностях [70]
Этот интеллект часто называют демоном Лапласа (в том же духе, что и демон Максвелла ), а иногда и Сверхчеловеком Лапласа (в честь Ганса Райхенбаха ). Сам Лаплас не использовал слово «демон», которое было более поздним украшением. В переводе на английский, приведенном выше, он просто упомянул: «Une Intelligence… Rien ne serait incertain pour elle, et l'avenir comme le passé, serait présent à ses yeux».
Хотя Лапласа обычно считают первым, кто сформулировал концепцию причинного детерминизма, в философском контексте эта идея была широко распространена в то время и ее можно найти еще в 1756 году в работе Мопертюи «Sur la Divination». [71] Кроме того, иезуитский ученый Боскович в своей книге 1758 года «Theoria philosophiae naturalis» впервые предложил версию научного детерминизма, очень похожую на версию Лапласа . [72]
Еще в 1744 году Эйлер , а затем и Лагранж , начали искать решения дифференциальных уравнений в виде: [73]
Преобразование Лапласа имеет вид:
Этот интегральный оператор преобразует функцию времени ( ) в функцию комплексной переменной ( ), обычно интерпретируемую как комплексная частота .
Среди других открытий Лапласа в области чистой и прикладной математики:
Лаплас, опираясь на качественные исследования Томаса Юнга, разработал теорию капиллярного действия и уравнение Юнга–Лапласа .
Лаплас в 1816 году первым указал на то, что скорость звука в воздухе зависит от отношения теплоемкостей . Первоначальная теория Ньютона давала слишком низкое значение, поскольку не учитывала адиабатическое сжатие воздуха , приводящее к локальному повышению температуры и давления . Исследования Лапласа в области практической физики ограничивались теми, которые он проводил совместно с Лавуазье в 1782–1784 годах по удельной теплоемкости различных тел. [11]
В ранние годы Лаплас был осторожен, чтобы никогда не вмешиваться в политику, или вообще в жизнь за пределами Академии наук . Он благоразумно покинул Париж во время самой бурной части Революции. [74]
В ноябре 1799 года, сразу после захвата власти в результате переворота 18 брюмера , Наполеон назначил Лапласа на пост министра внутренних дел . [4] Однако назначение продлилось всего шесть недель, после чего пост был отдан Люсьену Бонапарту , брату Наполеона. [4] Очевидно, как только власть Наполеона стала прочной, в правительстве не было необходимости в престижном, но неопытном ученом. [75] Позднее Наполеон (в своих «Записках о Святой Елене ») писал об увольнении Лапласа следующим образом: [11]
Геометр первоклассного уровня, Лаплас вскоре показал себя администратором хуже среднего; с первых же его действий в должности мы поняли свою ошибку. Лаплас не рассматривал ни один вопрос с правильной стороны: он искал тонкости везде, замышлял только проблемы и в конце концов внес дух «бесконечно малых» в администрацию.
Однако Грэттан-Гиннесс описывает эти замечания как «тенденциозные», поскольку, по-видимому, нет никаких сомнений в том, что Лаплас «был назначен лишь в качестве краткосрочной номинальной фигуры, держателя места, пока Наполеон консолидировал власть» [75] .
.jpg/1280px-Pierre-Simon-Laplace_(1749-1827).jpg)
Хотя Лаплас был отстранен от должности, было желательно сохранить его преданность. Соответственно, он был повышен до сената, и к третьему тому « Небесной механики» он предварил примечание о том, что из всех содержащихся в нем истин наиболее ценным для автора было заявление, которое он сделал о своей преданности миротворцу Европы. [4] В копиях, проданных после Реставрации Бурбонов, это было вычеркнуто. (Пирсон указывает, что цензор в любом случае не допустил бы этого.) В 1814 году стало очевидно, что империя рушится; Лаплас поспешил предложить свои услуги Бурбонам , и в 1817 году во время Реставрации он был награжден титулом маркиза .
По словам Рауз Болл, презрение, которое его более честные коллеги испытывали к его поведению в этом вопросе, можно прочитать на страницах Paul Louis Courier . Его знания были полезны в многочисленных научных комиссиях, в которых он работал, и, как говорит Рауз Болл, вероятно, объясняют то, каким образом его политическая неискренность была проигнорирована. [11]
Роджер Хан в своей биографии 2005 года оспаривает это изображение Лапласа как оппортуниста и перебежчика, указывая на то, что, как и многие во Франции, он следил за провалом русской кампании Наполеона с серьезными опасениями. Лапласы, чья единственная дочь Софи умерла при родах в сентябре 1813 года, опасались за безопасность своего сына Эмиля, который находился на восточном фронте с императором. Наполеон изначально пришел к власти, обещая стабильность, но было ясно, что он переоценил себя, поставив страну под угрозу. Именно в этот момент лояльность Лапласа начала ослабевать. Хотя он все еще имел легкий доступ к Наполеону, его личные отношения с императором значительно охладились. Будучи скорбящим отцом, он был особенно задет за живое бесчувственностью Наполеона в разговоре, который приводит Жан-Антуан Шапталь : «Вернувшись с разгрома в Лейпциге , он [Наполеон] обратился к господину Лапласу: «О! Я вижу, что вы похудели. Сир, я потерял свою дочь. О! Это не повод для похудания. Вы математик; подставьте это событие в уравнение, и вы увидите, что оно даст ноль». [76]
Во втором издании (1814) Essai philosophique Лаплас добавил несколько показательных комментариев о политике и управлении . Поскольку, по его словам, «практика вечных принципов разума, справедливости и гуманности создает и сохраняет общества, то придерживаться этих принципов имеет большое преимущество, а отклоняться от них — большая нецелесообразность». [77] [78] Отмечая «глубину нищеты, в которую ввергаются народы», когда амбициозные лидеры пренебрегают этими принципами, Лаплас завуалированно критикует поведение Наполеона: «Всякий раз, когда великая держава, опьяненная любовью к завоеваниям, стремится к всеобщему господству, чувство свободы среди несправедливо угрожаемых наций порождает коалицию, которой она всегда поддается». Лаплас утверждает, что «среди многочисленных причин, которые направляют и ограничивают различные государства, действуют естественные ограничения», в пределах которых «важно сохранять как стабильность, так и процветание империй». Государства, нарушающие эти границы, не могут избежать «возвращения» к ним, «точно так же, как это происходит, когда воды морей, дно которых было поднято сильными штормами, опускаются обратно на свой уровень под действием силы тяжести». [79] [80]
О политических потрясениях, свидетелем которых он стал, Лаплас сформулировал ряд принципов, основанных на физике, которые отдают предпочтение эволюционным, а не революционным изменениям:
Давайте применим к политическим и моральным наукам метод, основанный на наблюдении и расчете, который так хорошо послужил нам в естественных науках. Давайте не будем оказывать бесплодного и часто пагубного сопротивления неизбежным выгодам, получаемым от прогресса просвещения; но давайте изменим наши институты и обычаи, которые мы долгое время принимали, только с крайней осторожностью. Мы знаем из прошлого опыта недостатки, которые они могут вызвать, но мы не осознаем масштабы бед, которые могут вызвать изменения. Перед лицом этого невежества теория вероятности учит нас избегать всех изменений, особенно избегать внезапных изменений, которые в моральном, как и в физическом мире никогда не происходят без значительной потери жизненной силы. [81]
В этих строках Лаплас выразил взгляды, к которым он пришел после переживания Революции и Империи. Он считал, что стабильность природы, как она раскрывается через научные открытия, представляет собой модель, которая наилучшим образом помогает сохранить человеческий вид. «Такие взгляды», — комментирует Хан, — «также соответствовали его стойкому характеру». [80]
В Essai philosophique Лаплас также иллюстрирует потенциал вероятностей в политических исследованиях, применяя закон больших чисел для обоснования целочисленных рангов кандидатов, используемых в методе голосования Борда , с помощью которого были избраны новые члены Академии наук. Словесный аргумент Лапласа настолько строг, что его можно легко преобразовать в формальное доказательство. [82] [83]
Лаплас умер в Париже 5 марта 1827 года, в тот же день, когда умер Алессандро Вольта . Его мозг был извлечен его врачом Франсуа Мажанди и хранился в течение многих лет, в конечном итоге выставленный в передвижном анатомическом музее в Великобритании. Сообщается, что он был меньше среднего мозга. [6] Лаплас был похоронен в Пер-Лашез в Париже, но в 1888 году его останки были перевезены в Сен-Жюльен-де-Майок в кантоне Орбек и перезахоронены в семейном поместье. [84] Гробница расположена на холме с видом на деревню Сен-Жюльен-де-Майок, Нормандия, Франция.
Часто цитируемое, но потенциально апокрифическое взаимодействие между Лапласом и Наполеоном якобы касается существования Бога. Хотя рассматриваемый разговор действительно имел место, точные слова, которые использовал Лаплас, и его подразумеваемое значение неизвестны. Типичная версия представлена Рауз Болл: [11]
Лаплас торжественно отправился к Наполеону, чтобы вручить копию своей работы, и следующий отчет об интервью хорошо заверен и настолько характерен для всех заинтересованных сторон, что я цитирую его полностью. Кто-то сказал Наполеону, что в книге не упоминается имя Бога; Наполеон, который любил задавать неловкие вопросы, получил ее со словами: «Господин Лаплас, мне говорят, что вы написали эту большую книгу о системе вселенной и ни разу не упомянули ее Создателя». Лаплас, который, хотя и был самым гибким из политиков, был таким же жестким, как мученик, в каждом пункте своей философии, выпрямился и ответил прямо: Je n'avais pas besoin de cette hypothèse-là. («Мне не нужна была эта гипотеза»). Наполеон, весьма удивленный, передал этот ответ Лагранжу , который воскликнул: Ah! c'est une belle hypothèse; ça explique beaucoup de choses. («Ах, это прекрасная гипотеза; она многое объясняет».)
Более раннее сообщение, хотя и без упоминания имени Лапласа, можно найти в работе Антоммарчи « Последние мгновения Наполеона» (1825): [85]
Je m'entretenais avec L ..... je le félicitais d'un ouvrage qu'il venait de publier et lui requireais comment le nom de Dieu, qui se reproduisait sans cesse sous la plame de Lagrange, ne s'était pas presenté une seule fois sous la sienne. Это я ответил, что я не говорю об этой гипотезе. ("Разговаривая с Л..... я поздравил его с только что опубликованной работой и спросил, как имя Бога, бесконечно появлявшееся в произведениях Лагранжа, ни разу не встретилось в его. Он ответил, что эта гипотеза ему не нужна».)
Однако в 1884 году астроном Эрве Фай [86] [87] утверждал, что этот рассказ об обмене Лапласом с Наполеоном представляет собой «странно преобразованную» ( étrangement transformée ) или искаженную версию того, что произошло на самом деле. Лаплас рассматривал не Бога как гипотезу, а лишь его вмешательство в определенную точку:
На самом деле Лаплас никогда этого не говорил. Вот что, я полагаю, произошло на самом деле. Ньютон, полагая, что вековые пертурбации, которые он набросал в своей теории, в конечном итоге приведут к разрушению Солнечной системы, где-то говорит, что Бог был обязан время от времени вмешиваться, чтобы исправить зло и как-то поддерживать работу системы должным образом. Это, однако, было чистой догадкой, подсказанной Ньютону неполным представлением об условиях стабильности нашего маленького мира. Наука в то время еще не была достаточно развита, чтобы полностью представить эти условия. Но Лаплас, который открыл их с помощью глубокого анализа, ответил бы Первому консулу , что Ньютон ошибочно прибегнул к вмешательству Бога, чтобы время от времени корректировать машину мира ( la machine du monde ), и что он, Лаплас, не нуждался в таком предположении. Поэтому Лаплас рассматривал не Бога как гипотезу, а его вмешательство в определенном месте.
Младший коллега Лапласа, астроном Франсуа Араго , произнесший хвалебную речь перед Французской академией в 1827 году, [88] рассказал Фэю о попытке Лапласа не допустить распространения искаженной версии его общения с Наполеоном. Фэй пишет: [86] [87]
Я знаю со слов г-на Араго, что Лаплас, предупрежденный незадолго до своей смерти, что этот анекдот собирается быть опубликован в биографическом сборнике, просил его [Араго] потребовать его удаления издателем. Нужно было либо объяснить, либо удалить его, и второй путь был самым простым. Но, к сожалению, он не был ни удален, ни объяснен.
Швейцарско-американский историк математики Флориан Каджори , по-видимому, не знал об исследованиях Фэя, но в 1893 году он пришел к похожему выводу. [89] Стивен Хокинг сказал в 1999 году: [69] «Я не думаю, что Лаплас утверждал, что Бога не существует. Просто он не вмешивается, чтобы нарушить законы Науки».
Единственным свидетельством очевидца общения Лапласа с Наполеоном является запись от 8 августа 1802 года в дневнике британского астронома сэра Уильяма Гершеля : [90]
Затем первый консул задал несколько вопросов, касающихся астрономии и строения небес, на которые я дал такие ответы, которые, казалось, доставили ему большое удовлетворение. Он также обратился к г-ну Лапласу по тому же вопросу и провел с ним значительный спор, в котором он отличался от этого выдающегося математика. Разногласие было вызвано восклицанием первого консула, который спросил тоном восклицания или восхищения (когда мы говорили о размерах звездного неба): «И кто автор всего этого!» Монс. Де ла Пляс хотел показать, что цепь естественных причин могла бы объяснить построение и сохранение этой замечательной системы. Первый консул скорее воспротивился этому. Многое можно сказать по этому поводу; объединив аргументы обоих, мы придем к «Природе и Богу природы».
Поскольку здесь не упоминается высказывание Лапласа: «Мне не нужна была эта гипотеза», Дэниел Джонсон [91] утверждает, что «Лаплас никогда не использовал приписываемые ему слова». Однако свидетельство Араго, по-видимому, подразумевает, что он это делал, только не в отношении существования Бога.
Воспитанный католиком, Лаплас, по-видимому, во взрослой жизни склонялся к деизму (вероятно, его взвешенная позиция, поскольку это единственная, которая встречается в его трудах). Однако некоторые из его современников считали его атеистом , в то время как ряд современных ученых описывали его как агностика .
Фэй считал, что Лаплас «не исповедовал атеизм» [86], но Наполеон на острове Святой Елены сказал генералу Гаспару Гурго : «Я часто спрашивал Лапласа, что он думает о Боге. Он признался, что он атеист». [92] Роджер Хан в своей биографии Лапласа упоминает званый обед, на котором «геолог Жан-Этьен Геттар был поражен смелым осуждением Лапласом существования Бога». Геттару показалось, что атеизм Лапласа «подкреплялся радикальным материализмом ». [93] Но химик Жан-Батист Дюма , хорошо знавший Лапласа в 1820-х годах, писал, что Лаплас «снабжал материалистов их благовидными аргументами, не разделяя их убеждений». [94] [95]
Хан утверждает: «Нигде в своих трудах, ни публичных, ни личных, Лаплас не отрицает существование Бога». [96] В его личных письмах встречаются выражения, которые кажутся несовместимыми с атеизмом. [4] Например, 17 июня 1809 года он написал своему сыну: « Je prie Dieu qu'il veille sur tes jours. Aie-Le toujours présent à ta pensée, ainsi que ton père et ta mère [Я молюсь, чтобы Бог наблюдал за твоими днями. Пусть Он всегда будет присутствовать в твоем уме, как и твой отец и твоя мать]». [87] [97] Ян С. Гласс, цитируя рассказ Гершеля о знаменитом разговоре с Наполеоном, пишет, что Лаплас был «очевидно деистом, как Гершель». [98]
В «Изложении системы мира » Лаплас цитирует утверждение Ньютона о том, что «чудесное расположение Солнца, планет и комет может быть только делом всемогущего и разумного Существа». [99] Это, говорит Лаплас, «мысль, в которой он [Ньютон] был бы еще более утверждён, если бы знал то, что мы показали, а именно, что условия расположения планет и их спутников являются именно теми, которые обеспечивают его устойчивость». [100] Показав, что «замечательное» расположение планет может быть полностью объяснено законами движения, Лаплас устранил необходимость вмешательства «высшего разума», как это «заставил» сделать Ньютон. [101] Лаплас с одобрением цитирует критику Лейбница призыва Ньютона к божественному вмешательству для восстановления порядка в Солнечной системе: «Это значит иметь очень узкие представления о мудрости и силе Бога». [102] Он, очевидно, разделял удивление Лейбница по поводу веры Ньютона в то, что «Бог создал свою машину настолько плохо, что если он не повлияет на нее какими-то необычайными средствами, часы очень скоро перестанут идти». [103]
В группе рукописей, хранящихся в относительной тайне в черном конверте в библиотеке Академии наук и впервые опубликованных Ганом, Лаплас выступил с деистической критикой христианства. Он пишет, что «первым и самым непогрешимым из принципов... является отвержение чудесных фактов как неистинных». [104] Что касается доктрины пресуществления , то она «одновременно оскорбляет разум, опыт, свидетельство всех наших чувств, вечные законы природы и возвышенные идеи, которые мы должны сформировать о Верховном Существе». Полнейшим абсурдом является предположение, что «суверенный законодатель вселенной приостановил бы действие законов, которые он установил и которые он, кажется, неизменно поддерживал». [105]
Лаплас также высмеял использование вероятности в теологии. Даже следуя рассуждениям Паскаля, представленным в пари Паскаля , не стоит делать ставку, поскольку надежда на прибыль — равная произведению ценности свидетельств (бесконечно малой) и ценности обещаемого ими счастья (которая существенна, но конечна) — обязательно должна быть бесконечно малой. [106]
В старости Лаплас продолжал интересоваться вопросом о Боге [107] и часто обсуждал христианство со швейцарским астрономом Жаном-Фредериком-Теодором Морисом. [108] Он сказал Морису, что «христианство — довольно прекрасная вещь», и восхвалял его цивилизующее влияние. Морис считал, что основа верований Лапласа мало-помалу изменялась, но он твердо придерживался своего убеждения, что неизменность законов природы не допускает сверхъестественных событий. [107] После смерти Лапласа Пуассон сказал Морису: «Ты знаешь, что я не разделяю твоих [религиозных] взглядов, но моя совесть заставляет меня рассказать кое-что, что наверняка тебе понравится». Когда Пуассон похвалил Лапласа за его «блестящие открытия», умирающий задумчиво посмотрел на него и ответил: «А! Мы гоняемся за призраками [ химерами ]». [109] Это были его последние слова, которые Морис истолковал как осознание окончательной « тщетности » земных стремлений. [110] Лаплас получил последние обряды от кюре Миссий Этранжер (в приходе которых он должен был быть похоронен) [95] и кюре Аркёйля. [110]
По словам его биографа Роджера Хана, «маловероятно», что Лаплас «умер как настоящий католик», и он «остался скептиком» до самого конца своей жизни. [111] В последние годы жизни Лапласа описывали как агностика. [112] [113] [114]
В 1470 году гуманистический ученый Бартоломео Платина написал [115] , что Папа Каликст III просил молиться за избавление от турок во время появления кометы Галлея в 1456 году . Рассказ Платины не согласуется с церковными записями, в которых комета не упоминается. Лаплас, как утверждается, приукрасил историю, заявив, что Папа « отлучил » комету Галлея. [116] На самом деле Лаплас сказал в Exposition du système du monde (1796), что Папа приказал «изгнать » ( conjuré ) комету. Именно Араго в Des Comètes en général (1832) первым заговорил об отлучении. [117] [118] [119]
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \zeta}{\partial t}}&+{\frac {1}{a\cos(\varphi)}}\left[{\frac {\partial }{\partial \lambda}}(uD)+{\frac {\partial }{\partial \varphi}}\left(vD\cos(\varphi)\right)\right]=0,\\[2ex]{\frac {\partial u}{\partial t}}&-v\left(2\Omega \sin(\varphi)\right)+{\frac {1}{a\cos(\varphi)}}{\frac {\partial }{\partial \lambda}}\left(g\zeta +U\right)=0\qquad {\text{и}}\\[2ex]{\frac {\partial v}{\partial t}}&+u\left(2\Omega \sin(\varphi )\right)+{\frac {1}{a}}{\frac {\partial }{\partial \varphi }}\left(g\zeta +U\right)=0,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/601d1e09a0888770e6a0fbdd06f9376f2b9403b5)
![{\displaystyle {\frac {1}{d}}={\frac {1}{r'}}\left[1-2\cos(\theta '-\theta ){\frac {r}{r'}}+\left({\frac {r}{r'}}\right)^{2}\right]^{-{\tfrac {1}{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ea54b1c6f95725f7ff719799b85635a92b103d4)
{{citation}}: CS1 maint: location missing publisher (link)Католическая газета La Quotidienne [The Daily] сообщила, что Лаплас умер на руках двух кюре (священников), подразумевая, что у него был настоящий католический конец, но это неправдоподобно. До конца он оставался скептиком, преданным своему детерминистскому кредо и бескомпромиссному этосу, вытекающему из его обширного научного опыта.
Публично Лаплас придерживался своих агностических убеждений и даже в преклонном возрасте продолжал скептически относиться к любой функции, которую Бог мог бы играть в детерминированной Вселенной.
Лагранж и Лаплас, хотя и были католиками по происхождению, были агностиками.
Современная физика, как и вся современная наука, столь же скромна, как Лагранж, и столь же агностична, как Лаплас.
laplace.
