В алгебраической геометрии , разделе математики , теорема Лефшеца о (1,1)-классах , названная в честь Соломона Лефшеца , является классическим утверждением, связывающим голоморфные линейные расслоения на компактном кэлеровом многообразии с классами в его интегральных когомологиях . Это единственный случай гипотезы Ходжа , который был доказан для всех кэлеровых многообразий. [1]
Пусть X — компактное кэлерово многообразие. Первый класс Черна c 1 задаёт отображение голоморфных линейных расслоений в H 2 ( X , Z ) . По теории Ходжа группа когомологий де Рама H 2 ( X , C ) разлагается в прямую сумму H 0,2 ( X ) ⊕ H 1,1 ( X ) ⊕ H 2,0 ( X ) , и можно доказать, что образ c 1 лежит в H 1,1 ( X ) . Теорема утверждает, что отображение в H 2 ( X , Z ) ∩ H 1,1 ( X ) сюръективно.
В частном случае, когда X — проективное многообразие , голоморфные линейные расслоения находятся во взаимно однозначном соответствии с классом линейных эквивалентностей дивизоров , и если задан дивизор D на X с ассоциированным линейным расслоением O(D) , класс c 1 ( O(D) ) является двойственным по Пуанкаре классу гомологии, заданному D. Таким образом, это устанавливает обычную формулировку гипотезы Ходжа для дивизоров в проективных многообразиях.
Первоначальное доказательство Лефшеца [2] работало на проективных поверхностях и использовало нормальные функции, которые были введены Пуанкаре. Предположим, что C t — пучок кривых на X . Каждая из этих кривых имеет якобианское многообразие JC t (если кривая сингулярна, то существует соответствующее обобщенное якобианское многообразие). Их можно собрать в семейство , якобиан пучка, который поставляется с проекционным отображением π на базу T пучка. Нормальная функция — это (голоморфное) сечение π.
Зафиксируем вложение X в P N и выберем пучок кривых C t на X. Для фиксированной кривой Γ на X пересечение Γ и C t является дивизором p 1 ( t ) + ... + p d ( t ) на C t , где d — степень X . Зафиксируем базовую точку p 0 пучка. Тогда дивизор p 1 ( t ) + ... + p d ( t ) − dp 0 является дивизором нулевой степени и, следовательно, определяет класс ν Γ ( t ) в якобиане JC t для всех t . Отображение из t в ν Γ ( t ) является нормальной функцией.
Анри Пуанкаре доказал, что для общего пучка кривых все нормальные функции возникают как ν Γ ( t ) для некоторого выбора Γ. Лефшец доказал, что любая нормальная функция определяет класс в H 2 ( X , Z ) и что класс ν Γ является фундаментальным классом Γ. Более того, он доказал, что класс в H 2 ( X , Z ) является классом нормальной функции тогда и только тогда, когда он лежит в H 1,1 . Вместе с теоремой существования Пуанкаре это доказывает теорему о (1,1)-классах.
Поскольку X является комплексным многообразием, оно допускает экспоненциальную последовательность пучков [3]
Взятие пучковых когомологий этой точной последовательности дает карты
Группа Pic X линейных расслоений на X изоморфна . Первое отображение классов Черна равно c 1 по определению, поэтому достаточно показать, что равно нулю на H 2 ( X , Z ) ∩ H 1,1 ( X ) .
Поскольку X является кэлеровым, теория Ходжа подразумевает, что . Однако, факторизует отображение из H 2 ( X , Z ) в H 2 ( X , C ) и на H 2 ( X , C ), является ограничением проекции на H 0,2 ( X ). Из этого следует, что оно равно нулю на H 2 ( X , Z ) ∩ H 1,1 ( X ) , и, следовательно, отображение класса циклов сюръективно. [4]
