Правило генерала Лейбница

В исчислении общее правило Лейбница , ^[1] названное в честь Готфрида Вильгельма Лейбница , обобщает правило произведения (которое также известно как «правило Лейбница»). В нем говорится, что если и являются $n$ -кратно дифференцируемыми функциями , то произведение также является $n$ -кратно дифференцируемым, а его $n$ -я производная определяется как где - биномиальный коэффициент и обозначает j -ю производную от f (и, в частности , ). $f$ $g$ $fg$ $(fg)^{(n)}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}f^{(n-k)}g^{(k)},$ ${n \choose k}={n! \over k!(n-k)!}$ $f^{(j)}$ $f^{(0)}=f$

Правило можно доказать, используя правило произведения и математическую индукцию .

Вторая производная

Если, например, $n = 2$ , правило дает выражение для второй производной произведения двух функций: $(fg)''(x)=\sum \limits _{k=0}^{2}{{\binom {2}{k}}f^{(2-k)}(x)g^{(k)}(x)}=f''(x)g(x)+2f'(x)g'(x)+f(x)g''(x).$

Более двух факторов

Формулу можно обобщить на произведение m дифференцируемых функций f ₁ ,..., f _m . где сумма распространяется на все m -кортежи ( k _{1 ,}_... , km ) неотрицательных целых чисел с и являются полиномиальными коэффициентами . Это похоже на полиномиальную формулу из алгебры. $\left(f_{1}f_{2}\cdots f_{m}\right)^{(n)}=\sum _{k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{m}=n}{n \choose k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}}\prod _{1\leq t\leq m}f_{t}^{(k_{t})}\,,$ ${\textstyle \sum _{t=1}^{m}k_{t}=n,}$ ${n \choose k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}}={\frac {n!}{k_{1}!\,k_{2}!\cdots k_{m}!}}$

Доказательство

Доказательство общего правила Лейбница проводится по индукции. Пусть и - - раз дифференцируемые функции. Базовый случай, когда утверждается, что: это обычное правило продукта и известно, что оно истинно. Далее предположим, что это утверждение справедливо для фиксированного значения, т. е. что $f$ $g$ $n$ $n=1$ $(fg)'=f'g+fg',$ $n\geq 1,$ $(fg)^{(n)}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}f^{(n-k)}g^{(k)}.$

Тогда И, таким образом, утверждение справедливо для , и доказательство завершено. ${\begin{aligned}(fg)^{(n+1)}&=\left[\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}f^{(n-k)}g^{(k)}\right]'\\&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}f^{(n+1-k)}g^{(k)}+\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}f^{(n-k)}g^{(k+1)}\\&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}f^{(n+1-k)}g^{(k)}+\sum _{k=1}^{n+1}{\binom {n}{k-1}}f^{(n+1-k)}g^{(k)}\\&={\binom {n}{0}}f^{(n+1)}g^{(0)}+\sum _{k=1}^{n}{\binom {n}{k}}f^{(n+1-k)}g^{(k)}+\sum _{k=1}^{n}{\binom {n}{k-1}}f^{(n+1-k)}g^{(k)}+{\binom {n}{n}}f^{(0)}g^{(n+1)}\\&={\binom {n+1}{0}}f^{(n+1)}g^{(0)}+\left(\sum _{k=1}^{n}\left[{\binom {n}{k-1}}+{\binom {n}{k}}\right]f^{(n+1-k)}g^{(k)}\right)+{\binom {n+1}{n+1}}f^{(0)}g^{(n+1)}\\&={\binom {n+1}{0}}f^{(n+1)}g^{(0)}+\sum _{k=1}^{n}{\binom {n+1}{k}}f^{(n+1-k)}g^{(k)}+{\binom {n+1}{n+1}}f^{(0)}g^{(n+1)}\\&=\sum _{k=0}^{n+1}{\binom {n+1}{k}}f^{(n+1-k)}g^{(k)}.\end{aligned}}$ $n+1$

Многомерное исчисление

При использовании многоиндексной записи частных производных функций нескольких переменных правило Лейбница в более общем смысле гласит: $\partial ^{\alpha }(fg)=\sum _{\beta \,:\,\beta \leq \alpha }{\alpha \choose \beta }(\partial ^{\beta }f)(\partial ^{\alpha -\beta }g).$

Эту формулу можно использовать для вывода формулы, вычисляющей символ композиции дифференциальных операторов. Фактически, пусть P и Q — дифференциальные операторы (с коэффициентами, которые дифференцируются достаточно много раз), и поскольку R также является дифференциальным оператором, символ R задается следующим образом: $R=P\circ Q.$ $R(x,\xi )=e^{-{\langle x,\xi \rangle }}R(e^{\langle x,\xi \rangle }).$

Прямое вычисление теперь дает: $R(x,\xi )=\sum _{\alpha }{1 \over \alpha !}\left({\partial \over \partial \xi }\right)^{\alpha }P(x,\xi )\left({\partial \over \partial x}\right)^{\alpha }Q(x,\xi ).$

Эту формулу обычно называют формулой Лейбница. Он используется для определения композиции в пространстве символов, тем самым вызывая кольцевую структуру.

Смотрите также