Правило сумм Лерхе-Ньюбергера

Находит сумму некоторых бесконечных рядов, содержащих функции Бесселя первого рода.

Правило сумм Лерхе –Ньюбергера , или Ньюбергера , открытое Б. С. Ньюбергером в 1982 году, ^{[1] [2] [3]} находит сумму некоторых бесконечных рядов , включающих функции Бесселя J _α первого рода . Оно утверждает, что если μ — любое нецелое комплексное число , и Re ( α  +  β ) > −1, то ${\displaystyle \scriptstyle \gamma \in (0,1]}$

${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {(-1)^{n}J_{\alpha -\gamma n}(z)J_{\beta +\gamma n}(z)}{n+\mu }}={\frac {\pi }{\sin \mu \pi }}J_{\alpha +\gamma \mu }(z)J_{\beta -\gamma \mu }(z).}$

Формула Ньюбергера обобщает формулу этого типа, доказанную Лерхе в 1966 году; Ньюбергер открыл ее независимо. Формула Лерхе имеет γ =1; обе расширяют стандартное правило суммирования функций Бесселя и полезны в физике плазмы . ^{[4] [5] [6] [7]}

Ссылки

1. Ньюбергер, Барри С. (1982), «Новое правило сумм для произведений функций Бесселя с применением к физике плазмы», J. Math. Phys. , 23 (7): 1278–1281, Bibcode : 1982JMP....23.1278N, doi : 10.1063/1.525510.
2. Newberger, Barry S. (1983), "Erratum: Новое правило сумм для произведений функций Бесселя с применением к физике плазмы [J. Math. Phys. 23 , 1278 (1982)]", J. Math. Phys. , 24 (8): 2250, Bibcode :1983JMP....24.2250N, doi : 10.1063/1.525940.
3. Баккер, М.; Темме, Н. М. (1984), «Правило сумм для произведений функций Бесселя: комментарии к статье Ньюбергера», J. Math. Phys. , 25 (5): 1266, Bibcode : 1984JMP....25.1266B, doi : 10.1063/1.526282.
4. Лерче, И. (1966), "Поперечные волны в релятивистской плазме", Физика жидкостей , 9 (6): 1073, Bibcode : 1966PhFl....9.1073L, doi : 10.1063/1.1761804.
5. Цинь, Хонг; Филлипс, Синтия К.; Дэвидсон, Рональд К. (2007), "Новый вывод тензора восприимчивости плазмы для горячей намагниченной плазмы без бесконечных сумм произведений функций Бесселя", Physics of Plasmas , 14 (9): 092103, Bibcode : 2007PhPl...14i2103Q, doi : 10.1063/1.2769968.
6. Лерхе, И.; Шликейзер, Р.; Таутц, Р.К. (2008), "Комментарий к "Новому выводу тензора восприимчивости плазмы для горячей замагниченной плазмы без бесконечных сумм произведений функций Бесселя" [Phys. Plasmas 14 , 092103 (2007)]", Physics of Plasmas , 15 (2): 024701, doi : 10.1063/1.2839769.
7. Цинь, Хонг; Филлипс, Синтия К.; Дэвидсон, Рональд К. (2008), "Ответ на "Комментарий к 'Новому выводу тензора восприимчивости плазмы для горячей намагниченной плазмы без бесконечных сумм произведений функций Бесселя'" [Phys. Plasmas 15, 024701 (2008)]", Physics of Plasmas , 15 (2): 024702, doi : 10.1063/1.2839770.