В математике множество уровней действительной функции f от n действительных переменных — это набор , в котором функция принимает заданное постоянное значение c , то есть:
Когда количество независимых переменных равно двум, набор уровней называется кривой уровня , также известной как контурная линия или изолиния ; таким образом, кривая уровня — это совокупность всех действительных решений уравнения с двумя переменными x 1 и x 2 . Когда n = 3 , множество уровней называется поверхностью уровня (или изоповерхностью ); таким образом, поверхность уровня — это совокупность всех действительных корней уравнения с тремя переменными x 1 , x 2 и x 3 . Для более высоких значений n набор уровней представляет собой гиперповерхность уровня , набор всех действительных корней уравнения с n > 3 переменными.
Набор уровней является частным случаем волокна .
Наборы уровней отображаются во многих приложениях, часто под разными именами. Например, неявная кривая — это кривая уровня, которую рассматривают независимо от соседних с ней кривых, подчеркивая, что такая кривая определяется неявным уравнением . Аналогично поверхность уровня иногда называют неявной поверхностью или изоповерхностью .
Также используется название изоконтур, что означает контур равной высоты. В различных областях применения изоконтуры получили специфические названия, указывающие зачастую на характер значений рассматриваемой функции, такие как изобара , изотерма , изогона , изохрона , изокванта и кривая безразличия .
Рассмотрим двумерное евклидово расстояние:
Вторым примером является график функции Химмельблау, показанный на рисунке справа. Каждая показанная кривая представляет собой кривую уровня функции, и они расположены логарифмически: если кривая представляет , кривая непосредственно «внутри» представляет , а кривая непосредственно «снаружи» представляет .
Чтобы понять, что это значит, представьте, что два туриста находятся в одном и том же месте на горе. Один из них смелый и решает идти в ту сторону, где склон самый крутой. Другой более осторожен и не хочет ни подниматься, ни спускаться, выбирая путь, который остается на той же высоте. По нашей аналогии, приведенная выше теорема гласит, что два туриста пойдут в направлениях, перпендикулярных друг другу.
Следствием этой теоремы (и ее доказательства) является то, что если f дифференцируемо , множество уровня является гиперповерхностью и многообразием вне критических точек f . В критической точке множество уровня может быть сведено к точке (например, при локальном экстремуме f ) или может иметь особенность , такую как точка самопересечения или точка возврата .
Набор формы
называется набором подуровней f (или, альтернативно, набором нижнего уровня или траншеей f ) . Строгое множество подуровней f — это
Сходным образом
называется набором суперуровня f ( или, альтернативно, набором верхнего уровня f ). И строгий набор суперуровней f равен
Множества подуровней играют важную роль в теории минимизации . По теореме Вейерштрасса из ограниченности некоторого непустого множества подуровней и полунепрерывности снизу функции следует, что функция достигает минимума. Выпуклость всех множеств подуровней характеризует квазивыпуклые функции . [2]