stringtranslate.com

Лексикографический код

Лексикографические коды или лексикоды — это жадно генерируемые коды с исправлением ошибок с удивительно хорошими свойствами. Они были произведены независимо Владимиром Левенштейном [1] и Джоном Хортоном Конвеем и Нилом Слоаном . [2] Двоичные лексикографические коды являются линейными кодами и включают коды Хэмминга и двоичные коды Голея . [2]

Строительство

Лексикод длины n и минимального расстояния d в конечном поле генерируется путем итеративного добавления следующего вектора (в лексикографическом порядке ) с минимальным расстоянием Хэмминга d из добавленных к этому моменту векторов. Например, лексикод длины 3 с минимальным расстоянием 2 будет состоять из векторов, отмеченных знаком «X» в следующем примере:

Вот таблица всех n-битных лексикодов с минимальным расстоянием Хэмминга d-бит, полученная в результате словаря кодовых слов длиной не более 2 м . Например, код F 4 (n=4,d=2,m=3), расширенный код Хэмминга (n=8,d=4,m=4) и особенно код Голея (n=24,d=8,m =12) демонстрирует исключительную компактность по сравнению с соседями.

Все нечетные d-битные расстояния лексикода являются точными копиями четных битовых расстояний d+1 минус последнее измерение, поэтому нечетномерное пространство никогда не сможет создать что-то новое или более интересное, чем четномерное пространство d+1, указанное выше.

Поскольку лексикоды линейны, их можно построить и с помощью их базиса . [3]

Выполнение

После C генерируется лексикографический код и устанавливаются параметры для кода Голея (N=24, D=8).

#include <stdio.h> #include <stdlib.h> int main () { /* Генерация КОДА ГОЛЕЯ */ int i , j , k ; int _pc [ 1 << 16 ] = {0} ; _ // Макрос PopCount for ( i = 0 ; i < ( 1 << 16 ); i ++ ) for ( j = 0 ; j < 16 ; j ++ ) _pc [ i ] += ( i >> j ) & 1 ; #define pc(X) (_pc[(X)&0xffff] + _pc[((X)>>16)&0xffff]) #define N 24 // N бит #define D 8 // Расстояние между D битами unsigned int * z = malloc ( 1 << 29 ); for ( i = j = 0 ; i < ( 1 << N ); i ++ ) { // Сканируем все предыдущие for ( k = j -1 ; k >= 0 ; k -- ) // лексикоды. if ( pc ( z [ k ] ^ i ) < D ) // Обратная проверка Break ; // намного быстрее... if ( k == -1 ) { // Добавляем новый лексикод для ( k = 0 ; k < N ; k ++ ) // и печатаем его printf ( "%d" , ( i >> к ) & 1 ); printf ( ": %d \n " , j ); z [ j ++ ] = я                                                                                      ; } } }

Комбинаторная теория игр

Теория лексикографических кодов тесно связана с комбинаторной теорией игр . В частности, кодовые слова в двоичном лексикографическом коде расстояния d кодируют выигрышные позиции в варианте игры Гранди , играемой на наборе куч камней, в которой каждый ход состоит из замены любой одной кучки не более чем на d − 1 меньшую. кучи, и цель – взять последний камень. [2]

Примечания

  1. ^ Левенштейн, В.И. (1960), "Об одном классе систематических кодов", Доклады Академии наук СССР , 131 (5): 1011–1014, MR  0122629.; Английский перевод в советской математике. Доклады 1 (1960), 368–371.
  2. ^ abc Конвей, Джон Х .; Слоан, NJA (1986), «Лексикографические коды: коды с исправлением ошибок из теории игр», IEEE Transactions on Information Theory , 32 (3): 337–348, CiteSeerX 10.1.1.392.795 , doi :10.1109/TIT.1986.1057187, МР  0838197 
  3. ^ Трахтенберг, Ари (2002), «Проектирование лексикографических кодов с заданной решетчатой ​​сложностью», IEEE Transactions on Information Theory , 48 (1): 89–100, doi : 10.1109/18.971740, MR  1866958

Внешние ссылки