Предельный цикл

В математике , при изучении динамических систем с двумерным фазовым пространством , предельный цикл — это замкнутая траектория в фазовом пространстве, обладающая тем свойством, что по крайней мере одна другая траектория закручивается в нее либо по мере того, как время приближается к бесконечности, либо по мере того, как время приближается к отрицательной бесконечности. Такое поведение проявляется в некоторых нелинейных системах . Предельные циклы использовались для моделирования поведения многих реальных колебательных систем. Изучение предельных циклов было инициировано Анри Пуанкаре (1854–1912).

Определение

Рассмотрим двумерную динамическую систему вида , где — гладкая функция. Траектория этой системы — некоторая гладкая функция со значениями в которой удовлетворяет этому дифференциальному уравнению. Такая траектория называется замкнутой (или периодической ), если она не является постоянной, но возвращается в свою исходную точку, т.е. если существует такое , что для всех . Орбита — это образ траектории, подмножества . Замкнутая орбита , или цикл , — это образ замкнутой траектории. Предельный цикл — это цикл, являющийся предельным множеством некоторой другой траектории. $x'(t)=V(x(t))$ $V:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}$ $x(t)$ $\mathbb {R} ^{2}$ $t_{0}>0$ $x(t+t_{0})=x(t)$ $t\in \mathbb {R}$ $\mathbb {R} ^{2}$

Характеристики

По теореме Жордана о кривой каждая замкнутая траектория делит плоскость на две области: внутреннюю и внешнюю часть кривой.

Если задан предельный цикл и траектория внутри него, которая приближается к предельному циклу за время, приближающееся , то существует окрестность вокруг предельного цикла такая, что все траектории внутри, которые начинаются в окрестности, приближаются к предельному циклу за время, приближающееся . Соответствующее утверждение справедливо для траектории внутри, которая приближается к предельному циклу за время, приближающееся , а также для траекторий снаружи, приближающихся к предельному циклу. $+\infty$ $+\infty$ $-\infty$

Устойчивые, неустойчивые и полуустойчивые предельные циклы

В случае, когда все соседние траектории приближаются к предельному циклу по мере того, как время приближается к бесконечности, он называется устойчивым или притягивающим предельным циклом (ω-предельным циклом). Если же вместо этого все соседние траектории приближаются к нему по мере того, как время приближается к отрицательной бесконечности, то это неустойчивый предельный цикл (α-предельный цикл). Если есть соседняя траектория, которая закручивается в предельный цикл по мере того, как время приближается к бесконечности, и еще одна, которая закручивается в нее по мере того, как время приближается к отрицательной бесконечности, то это полуустойчивый предельный цикл. Существуют также предельные циклы, которые не являются ни устойчивыми, ни неустойчивыми, ни полуустойчивыми: например, соседняя траектория может приближаться к предельному циклу снаружи, но к внутренней части предельного цикла приближается семейство других циклов (которые не будут предельными циклами).

Устойчивые предельные циклы являются примерами аттракторов . Они подразумевают самоподдерживающиеся колебания : замкнутая траектория описывает идеальное периодическое поведение системы, и любое малое возмущение от этой замкнутой траектории заставляет систему возвращаться к ней, заставляя систему придерживаться предельного цикла.

Нахождение предельных циклов

Каждая замкнутая траектория содержит внутри себя стационарную точку системы, т. е. точку , где . Теорема Бендиксона–Дюлака и теорема Пуанкаре–Бендиксона предсказывают отсутствие или существование, соответственно, предельных циклов двумерных нелинейных динамических систем. $p$ $V'(p)=0$

Открытые проблемы

Нахождение предельных циклов, в общем случае, является очень сложной задачей. Количество предельных циклов полиномиального дифференциального уравнения на плоскости является основным объектом второй части шестнадцатой проблемы Гильберта . Неизвестно, например, существует ли какая-либо система на плоскости, где обе компоненты являются квадратичными полиномами двух переменных, такая, что система имеет более 4 предельных циклов. $x'=V(x)$ $V$

Приложения

Примеры предельных циклов, ответвляющихся от неподвижных точек вблизи бифуркации Хопфа . Траектории показаны красным, устойчивые структуры — темно-синим, неустойчивые структуры — светло-синим. Выбор параметра определяет возникновение и устойчивость предельных циклов.

Предельные циклы важны во многих научных приложениях, где моделируются системы с самоподдерживающимися колебаниями. Вот некоторые примеры:

Аэродинамические предельные колебания ^[1]
Модель Ходжкина–Хаксли для потенциалов действия в нейронах .
Модель гликолиза Селькова . ^[2]
Ежедневные колебания экспрессии генов, уровня гормонов и температуры тела животных, которые являются частью циркадного ритма , ^[3]^[4] хотя это противоречит более поздним данным. ^[5]
Миграция раковых клеток в ограниченных микросредах следует предельным циклическим колебаниям. ^[6]
Некоторые нелинейные электрические цепи демонстрируют предельные циклические колебания ^[7] , которые вдохновили на создание оригинальной модели Ван дер Поля .
Контроль дыхания и кроветворения, как показано в уравнениях Макки-Гласса . ^[8]

Смотрите также

Ссылки

^ Томас, Джеффри П.; Доуэлл, Эрл Х.; Холл, Кеннет К. (2002), «Нелинейные невязкие аэродинамические эффекты при трансзвуковой дивергенции, флаттере и колебаниях предельного цикла» (PDF) , Журнал AIAA , 40 (4), Американский институт аэронавтики и астронавтики: 638, Bibcode : 2002AIAAJ..40..638T, doi : 10.2514/2.1720 , получено 9 декабря 2019 г.
^ Сельков, ЕЕ (1968). "Автоколебания в гликолизе 1. Простая кинетическая модель". European Journal of Biochemistry . 4 (1): 79–86. doi : 10.1111/j.1432-1033.1968.tb00175.x . ISSN 1432-1033. PMID 4230812.
^ Leloup, Jean-Christophe; Gonze, Didier; Goldbeter, Albert (1999-12-01). «Модели предельного цикла для циркадных ритмов на основе транскрипционной регуляции у Drosophila и Neurospora». Journal of Biological Rhythms . 14 (6): 433–448. doi :10.1177/074873099129000948. ISSN 0748-7304. PMID 10643740. S2CID 15074869.
^ Roenneberg, Till; Chua, Elaine Jane; Bernardo, Ric; Mendoza, Eduardo (2008-09-09). «Моделирование биологических ритмов». Current Biology . 18 (17): R826–R835. Bibcode : 2008CBio...18.R826R. doi : 10.1016/j.cub.2008.07.017 . ISSN 0960-9822. PMID 18786388. S2CID 2798371.
^ Мейер, Дж. Х.; Мишель, С.; Вандерлист, Х. Т.; Ролинг, Дж. Х. (декабрь 2010 г.). «Ежедневная и сезонная адаптация циркадных часов требует пластичности нейронной сети SCN». Европейский журнал нейронауки . 32 (12): 2143–51. doi :10.1111/j.1460-9568.2010.07522.x. PMID 21143668. S2CID 12754517.
^ Брюкнер, Дэвид Б.; Финк, Александра; Шрайбер, Кристоф; Ретгерманн, Питер Дж. Ф.; Рэдлер, Иоахим; Бродерс, Чейз П. (2019). «Стохастическая нелинейная динамика ограниченной миграции клеток в двухгосударственных системах». Физика природы . 15 (6): 595–601. Бибкод : 2019NatPh..15..595B. дои : 10.1038/s41567-019-0445-4. ISSN 1745-2481. S2CID 126819906.
^ Ginoux, Jean-Marc; Letellier, Christophe (2012-04-30). "Ван дер Поль и история релаксационных колебаний: к возникновению концепции". Chaos: An Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science . 22 (2): 023120. arXiv : 1408.4890 . Bibcode : 2012Chaos..22b3120G. doi : 10.1063/1.3670008. ISSN 1054-1500. PMID 22757527. S2CID 293369.
^ Mackey, M.; Glass, L (1977-07-15). «Осцилляция и хаос в физиологических системах управления». Science . 197 (4300): 287–289. Bibcode :1977Sci...197..287M. doi :10.1126/science.267326. ISSN 0036-8075. PMID 267326.

Дальнейшее чтение

Стивен Х. Строгац (2014). Нелинейная динамика и хаос: с приложениями к физике, биологии, химии и технике . Avalon. ISBN 9780813349114.
М. Видьясагар (2002). Нелинейный системный анализ (второе изд.). SIAM. ISBN 9780898715262.
Филип Хартман, «Обыкновенные дифференциальные уравнения», Общество промышленной и прикладной математики, 2002.
Витольд Гуревич, «Лекции по обыкновенным дифференциальным уравнениям», Довер, 2002.
Соломон Лефшец, «Дифференциальные уравнения: геометрическая теория», Довер, 2005.
Лоуренс Перко, «Дифференциальные уравнения и динамические системы», Springer-Verlag, 2006.
Артур Мэттук, Предельные циклы: критерии существования и несуществования, MIT Open Courseware http://videolectures.net/mit1803s06_mattuck_lec32/#

Внешние ссылки

"предельный цикл". planetmath.org . Получено 2019-07-06 .