Линейная функция

В математике термин линейная функция относится к двум различным, но связанным понятиям: ^[1]

В исчислении и смежных областях линейная функция — это функция , график которой представляет собой прямую линию , то есть полиномиальная функция нулевой или первой степени . [ ^2] Для отличия такой линейной функции от другого понятия часто используется термин аффинная функция^{. [3]}
В линейной алгебре , математическом анализе [ ^4] и функциональном анализе линейная функция — это линейное отображение ^[5] .

Как полиномиальная функция

В исчислении, аналитической геометрии и смежных областях линейная функция — это многочлен степени один или ниже, включая нулевой многочлен (последний не считается имеющим нулевую степень).

Если функция имеет только одну переменную , то она имеет вид

f(x)=ax+b,

где $a$ и $b$ — константы , часто действительные числа . График такой функции одной переменной — невертикальная линия. $a$ часто называют наклоном линии, а $b$ — отсекаемым отрезком.

Если a > 0 , то градиент положительный и график имеет восходящий наклон.

Если a < 0 , то градиент отрицательный и график имеет наклон вниз.

Для функции любого конечного числа переменных общая формула имеет вид $f(x_{1},\ldots ,x_{k})$

f(x_{1},\ldots ,x_{k})=b+a_{1}x_{1}+\cdots +a_{k}x_{k},

а график представляет собой гиперплоскость размерности k .

Постоянная функция также считается линейной в этом контексте, поскольку она является многочленом нулевой степени или является нулевым многочленом. Ее график, когда есть только одна переменная, представляет собой горизонтальную линию.

В этом контексте функция, которая также является линейным отображением (другое значение), может называться однородной линейной функцией или линейной формой . В контексте линейной алгебры полиномиальные функции степени 0 или 1 являются скалярнозначными аффинными отображениями .

Как линейная карта

В линейной алгебре линейная функция — это отображение f между двумя векторными пространствами, такое что

{\ displaystyle f (\ mathbf {x} + \ mathbf {y}) = f (\ mathbf {x}) + f (\ mathbf {y})}

f(a\mathbf {x} )=af(\mathbf {x} ).

Здесь $a$ обозначает константу, принадлежащую некоторому полю K скаляров ( $например$ , действительных чисел ), а $x$ и $y$ являются элементами векторного пространства , которое может быть самим $K.$

Другими словами, линейная функция сохраняет сложение векторов и умножение скаляров .

Некоторые авторы используют «линейную функцию» только для линейных отображений, которые принимают значения в скалярном поле; ^[6] их чаще называют линейными формами .

«Линейные функции» исчисления квалифицируются как «линейные отображения», когда (и только когда) $f (0, ..., 0) = 0$ , или, что эквивалентно, когда константа $b$ равна нулю в полиноме первой степени выше. Геометрически график функции должен проходить через начало координат.

Смотрите также

Примечания

^ "Термин линейная функция означает линейную форму в некоторых учебниках и аффинную функцию в других." Васерштейн 2006, стр. 50-1
^ Стюарт 2012, стр. 23
^ А. Курош (1975). Высшая алгебра . Издательство «Мир». п. 214.
^ TM Apostol (1981). Математический анализ . Addison-Wesley. стр. 345.
^ Шорс 2007, стр. 71
^ Гельфанд 1961

Ссылки

Израиль Моисеевич Гельфанд (1961), Лекции по линейной алгебре , Interscience Publishers, Inc., Нью-Йорк. Переиздано Dover, 1989. ISBN 0-486-66082-6
Томас С. Шорс (2007), Прикладная линейная алгебра и матричный анализ , Бакалаврские тексты по математике , Springer. ISBN 0-387-33195-6
Джеймс Стюарт (2012), Исчисление: Ранние трансцендентали , издание 7E, Брукс/Коул. ISBN 978-0-538-49790-9
Леонид Н. Васерштейн (2006), «Линейное программирование», в Лесли Хогбен , ред., Справочник по линейной алгебре , Дискретная математика и ее приложения, Чапман и Холл/CRC, гл. 50. ISBN 1-584-88510-6