Список уравнений классической механики

Классическая механика — раздел физики, используемый для описания движения макроскопических объектов. ^[1] Это наиболее известная из теорий физики. Понятия, которые она охватывает, такие как масса , ускорение и сила , широко используются и известны. ^[2] Предмет основан на трехмерном евклидовом пространстве с фиксированными осями, называемом системой отсчета. Точка совпадения трех осей известна как начало конкретного пространства. ^[3]

Классическая механика использует множество уравнений — а также другие математические концепции — которые связывают различные физические величины друг с другом. К ним относятся дифференциальные уравнения , многообразия , группы Ли и эргодическая теория . ^[4] В этой статье дается краткое изложение наиболее важных из них.

В этой статье перечислены уравнения ньютоновской механики , более общую формулировку классической механики (включающую лагранжеву и гамильтонову механику ) см . в аналитической механике .

Классическая механика

Масса и инерция

Производные кинематические величины

Кинематические величины классической частицы: масса m , положение r , скорость v , ускорение a .

Производные динамические величины

Угловые моменты классического объекта.

Слева: внутренний «спиновый» угловой момент S на самом деле является орбитальным угловым моментом объекта в каждой точке,

справа: внешний орбитальный угловой момент L относительно оси,

вверху: тензор момента инерции I и угловая скорость ω ( L не всегда параллельна ω ) ^[6]

внизу: импульс p и его радиальное положение r от оси.

Полный угловой момент (спин + орбитальный) равен J.

Общие определения энергии

Каждая консервативная сила имеет потенциальную энергию . Следуя двум принципам, можно последовательно присвоить неотносительное значение U :

• Везде, где сила равна нулю, ее потенциальная энергия также определяется как равная нулю.
• Всякий раз, когда сила действует, потенциальная энергия теряется.

Обобщенная механика

Кинематика

В следующих определениях вращения угол может быть любым углом вокруг указанной оси вращения. Обычно используется θ , но это не обязательно должен быть полярный угол, используемый в полярных системах координат. Единичный аксиальный вектор

$${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} =\mathbf {\hat {e}} _{r}\times \mathbf {\hat {e}} _{\theta }}$$

определяет ось вращения, = единичный вектор в направлении r , = единичный вектор, касательный к углу. ${\displaystyle \scriptstyle \mathbf {\hat {e}} _{r}}$ ${\displaystyle \scriptstyle \mathbf {\hat {e}} _{\theta }}$

Динамика

Прецессия

Угловая скорость прецессии волчка определяется по формуле:

$${\displaystyle {\boldsymbol {\Omega }}={\frac {wr}{I{\boldsymbol {\omega }}}}}$$

где w — вес вращающегося маховика.

Энергия

Механическая работа, совершаемая внешним агентом над системой, равна изменению кинетической энергии системы:

Общийтеорема о работе и энергии(перевод и вращение)

Работа, совершаемая W внешним агентом, который оказывает силу F (в точке r ) и крутящий момент τ на объект вдоль криволинейной траектории C, равна:

$${\displaystyle W=\Delta T=\int _{C}\left(\mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {r} +{\boldsymbol {\tau }}\cdot \mathbf {n} \,{\mathrm {d} \theta }\right)}$$

где θ — угол поворота вокруг оси, определяемой единичным вектором n .

Кинетическая энергия

Изменение кинетической энергии для объекта, первоначально движущегося со скоростью , а затем со скоростью, равно: ${\displaystyle v_{0}}$ ${\displaystyle v}$ $${\displaystyle \Delta E_{k}=W={\frac {1}{2}}m(v^{2}-{v_{0}}^{2})}$$

Упругая потенциальная энергия

Для растянутой пружины, закрепленной на одном конце, подчиняющейся закону Гука , упругая потенциальная энергия равна

$${\displaystyle \Delta E_{p}={\frac {1}{2}}k(r_{2}-r_{1})^{2}}$$

где r ₂ и r ₁ — коллинеарные координаты свободного конца пружины в направлении растяжения/сжатия, а k — жесткость пружины.

Уравнения Эйлера для динамики твердого тела

Эйлер также разработал аналогичные законы движения Ньютона, см. Законы движения Эйлера . Они расширяют область действия законов Ньютона на твердые тела, но по сути те же, что и выше. Новое уравнение, сформулированное Эйлером, выглядит так: ^[10]

$${\displaystyle \mathbf {I} \cdot {\boldsymbol {\alpha }}+{\boldsymbol {\omega }}\times \left(\mathbf {I} \cdot {\boldsymbol {\omega }}\right)={\boldsymbol {\tau }}}$$

где I — тензор момента инерции .

Общее плоскостное движение

Здесь можно использовать предыдущие уравнения для плоского движения: следствия импульса, углового момента и т. д. могут немедленно следовать, применяя приведенные выше определения. Для любого объекта, движущегося по любой траектории в плоскости,

$${\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {r} (t)=r{\hat {\mathbf {r} }}}$$

следующие общие результаты применимы к частице.

Движение центральной силы

Для массивного тела, движущегося в центральном потенциале , создаваемом другим объектом, который зависит только от радиального расстояния между центрами масс двух объектов, уравнение движения имеет вид:

$${\displaystyle {\frac {d^{2}}{d\theta ^{2}}}\left({\frac {1}{\mathbf {r} }}\right)+{\frac {1}{\mathbf {r} }}=-{\frac {\mu \mathbf {r} ^{2}}{\mathbf {l} ^{2}}}\mathbf {F} (\mathbf {r} )}$$

Уравнения движения (постоянное ускорение)

Эти уравнения могут быть использованы только тогда, когда ускорение постоянно. Если ускорение не постоянно, то должны быть использованы общие уравнения исчисления, приведенные выше, найденные путем интегрирования определений положения, скорости и ускорения (см. выше).

Галилеев кадр преобразуется

Для классической (галилеевско-ньютоновской) механики закон преобразования из одной инерциальной или ускоряющейся (включая вращение) системы отсчета (системы отсчета, движущейся с постоянной скоростью, включая ноль) в другую называется преобразованием Галилея.

Нештрихованные величины относятся к положению, скорости и ускорению в одной системе отсчета F; штрихованные величины относятся к положению, скорости и ускорению в другой системе отсчета F', движущейся с поступательной скоростью V или угловой скоростью Ω относительно F. И наоборот, F движется со скоростью (— V или — Ω ) относительно F'. Аналогичная ситуация и для относительных ускорений.

Механические генераторы

SHM, DHM, SHO и DHO обозначают простое гармоническое движение, затухающее гармоническое движение, простой гармонический осциллятор и затухающий гармонический осциллятор соответственно.

Смотрите также

• Список физических формул
• Определение уравнения (физическая химия)
• Уравнение состояния
• Механика
• Оптика
• Электромагнетизм
• Термодинамика
• Акустика
• Исаак Ньютон
• Список уравнений волновой теории
• Список релятивистских уравнений
• Список уравнений механики жидкости
• Список уравнений гравитации
• Список уравнений электромагнетизма
• Список уравнений фотоники
• Список уравнений квантовой механики
• Список уравнений в ядерной физике и физике элементарных частиц

Примечания

1. Майер, Сассман и Виздом 2001, стр. xiii
2. Беркшир и Киббл 2004, стр. 1
3. Беркшир и Киббл 2004, стр. 2
4. Арнольд 1989, стр. v
5. «Раздел: Моменты и центр масс».
6. RP Feynman; RB Leighton; M. Sands (1964). Лекции Фейнмана по физике (том 2) . Addison-Wesley. стр. 31–7. ISBN 978-0-201-02117-2.
7. "Относительность, JR Forshaw 2009"
8. "Механика, Д. Клеппнер 2010"
9. "Относительность, JR Forshaw 2009"
10. "Относительность, JR Forshaw 2009"

Ссылки

• Арнольд, Владимир И. (1989), Математические методы классической механики (2-е изд.), Springer, ISBN 978-0-387-96890-2
• Беркшир, Фрэнк Х .; Киббл, TWB (2004), Классическая механика (5-е изд.), Imperial College Press, ISBN 978-1-86094-435-2
• Майер, Мейнхард Э.; Сассман, Джерард Дж.; Виздом, Джек (2001), Структура и интерпретация классической механики , MIT Press, ISBN 978-0-262-19455-6