Линейно упорядоченная группа

Группа с трансляционно инвариантным полным порядком; т.е. если a ≤ b, то ca ≤ cb

В математике , в частности, в абстрактной алгебре , линейно упорядоченная или полностью упорядоченная группа — это группа G, снабженная полным порядком «≤», который является инвариантным относительно трансляции . Это может иметь разные значения. Мы говорим, что ( G , ≤) — это:

• левоупорядоченная группа , если ≤ является левоинвариантной, то есть a  ≤  b влечет ca  ≤  cb для всех a ,  b ,  c в G ,
• правоупорядоченная группа , если ≤ является правоинвариантной, то есть a  ≤  b влечет ac  ≤  bc для всех a ,  b ,  c в G ,
• Биупорядоченная группа, если ≤, является биинвариантной, то есть она инвариантна как слева, так и справа.

Группа G называется левоупорядочиваемой (или правоупорядочиваемой , или биупорядочиваемой ), если существует лево- (или право-, или биупорядочиваемый) инвариантный порядок на G. Простое необходимое условие для того, чтобы группа была левоупорядочиваемой, — отсутствие элементов конечного порядка; однако это не является достаточным условием. Это эквивалентно тому, чтобы группа была левоупорядочиваемой или правоупорядочиваемой; однако существуют левоупорядочиваемые группы, которые не являются биупорядочиваемыми.

Дополнительные определения

В этом разделе представлен левоинвариантный порядок на группе с единичным элементом . Все сказанное применимо к правоинвариантным порядкам с очевидными изменениями. Обратите внимание, что быть левоинвариантным эквивалентно порядку, определяемому выражением если и только если быть правоинвариантным. В частности, левоупорядочиваемая группа то же самое, что и правоупорядочиваемая. ${\displaystyle \leq }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle \leq }$ ${\displaystyle \leq '}$ ${\displaystyle g\leq 'h}$ ${\displaystyle h^{-1}\leq g^{-1}}$

По аналогии с обычными числами мы называем элемент упорядоченной группы положительным , если . Множество положительных элементов в упорядоченной группе называется положительным конусом , его часто обозначают ; для положительного конуса вместе с единичным элементом используется несколько иное обозначение . ^[1] ${\displaystyle g\not =e}$ ${\displaystyle e\leq g}$ ${\displaystyle G_{+}}$ ${\displaystyle G^{+}}$

Положительный конус характеризует порядок ; действительно, по левой инвариантности мы видим, что тогда и только тогда, когда . Фактически левоупорядоченная группа может быть определена как группа вместе с подмножеством, удовлетворяющим двум условиям: ${\displaystyle G_{+}}$ ${\displaystyle \leq }$ ${\displaystyle g\leq h}$ ${\displaystyle g^{-1}h\in G_{+}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle P}$

1. ибо у нас также есть ; ${\displaystyle g,h\in P}$ ${\displaystyle gh\in P}$
2. пусть , тогда — несвязное объединение и . ${\displaystyle P^{-1}=\{g^{-1},g\in P\}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle P,P^{-1}}$ ${\displaystyle \{e\}}$

Порядок, связанный с , определяется как ; первое условие равносильно левой инвариантности, а второе — порядку, который является хорошо определенным и полным. Положительный конус равен . ${\displaystyle \leq _{P}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle g\leq _{P}h\Leftrightarrow g^{-1}h\in P}$ ${\displaystyle \leq _{P}}$ ${\displaystyle P}$

Левоинвариантный порядок является биинвариантным тогда и только тогда, когда он инвариантен относительно сопряженности, то есть если тогда для любого мы имеем также. Это эквивалентно тому, что положительный конус устойчив относительно внутренних автоморфизмов . ${\displaystyle \leq }$ ${\displaystyle g\leq h}$ ${\displaystyle x\in G}$ ${\displaystyle xgx^{-1}\leq xhx^{-1}}$

Если ^{[ требуется ссылка ]} , то абсолютное значение , обозначаемое как , определяется как: Если, кроме того , группа абелева , то для любого неравенства треугольника выполняется : . ${\displaystyle a\in G}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle |a|}$ $${\displaystyle |a|:={\begin{cases}a,&{\text{if }}a\geq 0,\\-a,&{\text{otherwise}}.\end{cases}}}$$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle a,b\in G}$ ${\displaystyle |a+b|\leq |a|+|b|}$

Примеры

Любая лево- или правоупорядочиваемая группа не имеет кручения , то есть не содержит элементов конечного порядка, кроме единицы. Наоборот, Ф. В. Леви показал, что абелева группа без кручения является биупорядочиваемой; ^[2] это по-прежнему верно для нильпотентных групп ^[3], но существуют конечно представленные группы без кручения, которые не являются левоупорядочиваемыми.

Архимедовы упорядоченные группы

Отто Гёльдер показал, что каждая архимедова группа (биупорядоченная группа, удовлетворяющая архимедову свойству ) изоморфна подгруппе аддитивной группы действительных чисел (Fuchs & Salce 2001, стр. 61). Если мы запишем архимедову группу lo мультипликативно, это можно показать, рассмотрев пополнение Дедекинда замыкания группы lo под корнями th. Мы наделяем это пространство обычной топологией линейного порядка, и тогда можно показать, что для каждого экспоненциальные отображения являются хорошо определенными сохраняющими/обращающими порядок топологическими изоморфизмами групп. Пополнение группы lo может быть сложным в неархимедовом случае. В этих случаях можно классифицировать группу по ее рангу : который связан с типом порядка наибольшей последовательности выпуклых подгрупп. ${\displaystyle {\widehat {G}}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle g\in {\widehat {G}}}$ ${\displaystyle g^{\cdot }:(\mathbb {R} ,+)\to ({\widehat {G}},\cdot ):\lim _{i}q_{i}\in \mathbb {Q} \mapsto \lim _{i}g^{q_{i}}}$

Другие примеры

Свободные группы левоупорядочиваемы. В более общем случае это также относится к прямоугольным группам Артина . ^[4] Группы кос также левоупорядочиваемы. ^[5]

Группа, заданная представлением, не имеет кручения, но не является левоупорядоченной; ^[6] обратите внимание, что это 3-мерная кристаллографическая группа (ее можно реализовать как группу, порожденную двумя скользящими полуповоротами с ортогональными осями и одинаковой длиной трансляции), и это та же самая группа, которая, как было доказано, является контрпримером к гипотезе о единице . В более общем плане тема упорядочиваемости групп 3-многообразий интересна своей связью с различными топологическими инвариантами. ^[7] Существует группа 3-многообразий, которая является левоупорядоченной, но не биупорядоченной ^[8] (на самом деле она не удовлетворяет более слабому свойству локальной индикации). ${\displaystyle \langle a,b|a^{2}ba^{2}b^{-1},b^{2}ab^{2}a^{-1}\rangle }$

Левоупорядочиваемые группы также привлекли интерес с точки зрения динамических систем , поскольку известно, что счетная группа левоупорядочиваема тогда и только тогда, когда она действует на вещественной прямой гомеоморфизмами. ^[9] Непримерами, связанными с этой парадигмой, являются решетки в группах Ли более высокого ранга ; известно, что (например) подгруппы конечного индекса в не являются левоупорядочиваемыми; ^[10] недавно было объявлено о широком обобщении этого. ^[11] ${\displaystyle \mathrm {SL} _{n}(\mathbb {Z} )}$

Смотрите также

• Циклически упорядоченная группа
• Теорема вложения Хана
• Частично упорядоченная группа

Примечания

1. Дероин, Навас и Ривас 2014, 1.1.1.
2. Леви 1942.
3. Дероин, Навас и Ривас 2014, 1.2.1.
4. Дюшан, Жерар; Тибон, Жан-Ив (1992). «Простые упорядочения для свободных частично коммутативных групп». Международный журнал алгебры и вычислений . 2 (3): 351–355. doi :10.1142/S0218196792000219. Zbl  0772.20017.
5. Дехорной, Патрик; Дынников Иван; Рольфсен, Дейл; Вист, Берт (2002). Почему косы можно заказать? . Париж: Математическое общество Франции. п. xiii + 190. ISBN 2-85629-135-X.
6. Дероин, Навас и Ривас 2014, 1.4.1.
7. Бойер, Стивен; Рольфсен, Дейл; Вист, Берт (2005). «Упорядочиваемые группы трехмерных многообразий». Анналы Института Фурье . 55 (1): 243–288. arXiv : математика/0211110 . дои : 10.5802/aif.2098 . Збл  1068.57001.
8. Бергман, Джордж (1991). «Правоупорядочиваемые группы, которые не являются локально индицируемыми». Pacific Journal of Mathematics . 147 (2): 243–248. doi : 10.2140/pjm.1991.147.243 . Zbl  0677.06007.
9. Деройн, Навас и Ривас 2014, Предложение 1.1.8.
10. Витте, Дэйв (1994). «Арифметические группы более высокого \(\mathbb{Q}\)-ранга не могут действовать на \(1\)-многообразиях». Труды Американского математического общества . 122 (2): 333–340. doi :10.2307/2161021. JSTOR  2161021. Zbl  0818.22006.
11. Деруан, Бертран; Уртадо, Себастьян (2020). «Нелевоупорядочиваемость решеток в полупростых группах Ли более высокого ранга». arXiv : 2008.10687 [math.GT].

Ссылки

• Деруан, Бертран; Навас, Андрес; Ривас, Кристобаль (2014). «Группы, порядки и динамика». arXiv : 1408,5805 [math.GT].
• Леви, Ф. В. (1942), «Упорядоченные группы», Proc. Indian Acad. Sci. , A16 (4): 256–263, doi :10.1007/BF03174799, S2CID  198139979
• Фукс, Ласло; Сальче, Луиджи (2001), Модули над не-нётеровыми областями , Математические обзоры и монографии, т. 84, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN 978-0-8218-1963-0, г-н  1794715
• Гис, Э. (2001), «Группы, действующие на окружности», L'Enseignement Mathématique , 47 : 329–407.