Теорема Лиувилля (комплексный анализ)

Теорема комплексного анализа

В комплексном анализе теорема Лиувилля , названная в честь Жозефа Лиувилля (хотя теорема была впервые доказана Коши в 1844 году ^[1] ), утверждает, что каждая ограниченная целая функция должна быть константой . То есть, каждая голоморфная функция , для которой существует положительное число такое, что для всех является константой. Эквивалентно, непостоянные голоморфные функции на имеют неограниченные образы. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle |f(z)|\leq M}$ ${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

Теорема значительно улучшена малой теоремой Пикара , которая гласит, что каждая целая функция, изображение которой исключает два или более комплексных числа, должна быть константой.

Доказательство

Эта важная теорема имеет несколько доказательств.

Стандартное аналитическое доказательство использует тот факт, что голоморфные функции являются аналитическими .

Доказательство

Если — целая функция, то ее можно представить в виде ряда Тейлора относительно 0: ${\displaystyle f}$

${\displaystyle f(z)=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}z^{k}}$

где (по интегральной формуле Коши )

${\displaystyle a_{k}={\frac {f^{(k)}(0)}{k!}}={1 \over 2\pi i}\oint _{C_{r}}{\frac {f(\zeta )}{\zeta ^{k+1}}}\,d\zeta }$

и является окружностью вокруг 0 ​​радиуса . Предположим, что ограничено: т.е. существует константа такая, что для всех . Мы можем оценить непосредственно ${\displaystyle C_{r}}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle |f(z)|\leq M}$ ${\displaystyle z}$

${\displaystyle |a_{k}|\leq {\frac {1}{2\pi }}\oint _{C_{r}}{\frac {|f(\zeta )|}{|\zeta |^{k+1}}}\,|d\zeta |\leq {\frac {1}{2\pi }}\oint _{C_{r}}{\frac {M}{r^{k+1}}}\,|d\zeta |={\frac {M}{2\pi r^{k+1}}}\oint _{C_{r}}|d\zeta |={\frac {M}{2\pi r^{k+1}}}2\pi r={\frac {M}{r^{k}}},}$

где во втором неравенстве мы воспользовались тем фактом, что на окружности . (Эта оценка известна как оценка Коши .) Но выбор в приведенном выше равенстве является произвольным положительным числом. Поэтому, устремляя к бесконечности (мы устремляем к бесконечности, поскольку является аналитической на всей плоскости), получаем для всех . Таким образом , и это доказывает теорему. ${\displaystyle |z|=r}$ ${\displaystyle C_{r}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle a_{k}=0}$ ${\displaystyle k\geq 1}$ ${\displaystyle f(z)=a_{0}}$

Другое доказательство использует свойство среднего значения гармонических функций.

Доказательство ^[2]

Дано две точки, выберите два шара с данными точками в качестве центров и одинакового радиуса. Если радиус достаточно большой, два шара совпадут, за исключением произвольно малой доли их объема. Поскольку ограничено, его средние значения по двум шарам произвольно близки, и поэтому принимает одно и то же значение в любых двух точках. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$

Доказательство можно адаптировать к случаю, когда гармоническая функция ограничена только сверху или снизу. См. Гармоническая функция#Теорема Лиувилля . ${\displaystyle f}$

Следствия

Основная теорема алгебры

Существует краткое доказательство основной теоремы алгебры, основанное на теореме Лиувилля. ^[3]

Никакая целая функция не доминирует над другой целой функцией.

Следствием теоремы является то, что «подлинно различные» целые функции не могут доминировать друг над другом, т. е. если и являются целыми, и всюду, то для некоторого комплексного числа . Предположим, что для теорема тривиальна, поэтому предположим . Рассмотрим функцию . Достаточно доказать, что может быть расширена до целой функции, в этом случае результат следует из теоремы Лиувилля. Голоморфность очевидна, за исключением точек в . Но поскольку ограничена и все нули изолированы, любые сингулярности должны быть устранимы. Таким образом, может быть расширена до целой ограниченной функции, которая по теореме Лиувилля влечет ее постоянство. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle |f|\leq |g|}$ ${\displaystyle f=\alpha g}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle g=0}$ ${\displaystyle g\neq 0}$ ${\displaystyle h=f/g}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle g^{-1}(0)}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle h}$

Еслифменьше или равно скаляру, умноженному на вход, то он линейный

Предположим, что является целым и , для . Мы можем применить интегральную формулу Коши; имеем, что ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle |f(z)|\leq M|z|}$ ${\displaystyle M>0}$

${\displaystyle |f'(z)|={\frac {1}{2\pi }}\left|\oint _{C_{r}}{\frac {f(\zeta )}{(\zeta -z)^{2}}}d\zeta \right|\leq {\frac {1}{2\pi }}\oint _{C_{r}}{\frac {|f(\zeta )|}{\left|(\zeta -z)^{2}\right|}}|d\zeta |\leq {\frac {1}{2\pi }}\oint _{C_{r}}{\frac {M|\zeta |}{\left|(\zeta -z)^{2}\right|}}\left|d\zeta \right|={\frac {MI}{2\pi }}}$

где — значение оставшегося интеграла. Это показывает, что является ограниченным и целым, поэтому он должен быть постоянным по теореме Лиувилля. Интегрирование затем показывает, что является аффинным , а затем, возвращаясь к исходному неравенству, мы получаем, что постоянный член равен нулю. ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle f'}$ ${\displaystyle f}$

Непостоянные эллиптические функции не могут быть определены на комплексной плоскости.

Теорему также можно использовать для вывода, что область определения непостоянной эллиптической функции не может быть . Предположим, что это так. Тогда, если и — два периода такой, что не является вещественным, рассмотрим параллелограмм , вершины которого равны 0, , , и . Тогда образ равен . Поскольку непрерывен и компактен , также компактен и, следовательно, ограничен. Таким образом, постоянен . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\tfrac {a}{b}}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a+b}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(P)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle f(P)}$ ${\displaystyle f}$

Тот факт, что область определения непостоянной эллиптической функции не может быть , на самом деле доказал Лиувилль в 1847 году, используя теорию эллиптических функций. ^[4] Фактически, именно Коши доказал теорему Лиувилля. ^{[5] [6]} ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

Целые функции имеют плотные изображения

Если — непостоянная целая функция, то ее образ плотен в . Это может показаться гораздо более сильным результатом, чем теорема Лиувилля, но на самом деле это простое следствие. Если образ не плотный, то существуют комплексное число и действительное число такие, что открытый круг с центром в точке и радиусом не имеет элемента образа . Определить ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle g(z)={\frac {1}{f(z)-w}}.}$

Тогда — ограниченная целая функция, так как для всех , ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle z}$

${\displaystyle |g(z)|={\frac {1}{|f(z)-w|}}<{\frac {1}{r}}.}$

Итак, является постоянным, а значит, является постоянным. ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle f}$

На компактных римановых поверхностях

Любая голоморфная функция на компактной римановой поверхности обязательно постоянна. ^[7]

Пусть голоморфна на компактной римановой поверхности . По компактности существует точка , в которой достигает своего максимума. Тогда мы можем найти карту из окрестности до единичного круга такую, что голоморфна на единичном круге и имеет максимум при , поэтому она постоянна по принципу максимума модуля . ${\displaystyle f(z)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle p_{0}\in M}$ ${\displaystyle |f(p)|}$ ${\displaystyle p_{0}}$ ${\displaystyle \mathbb {D} }$ ${\displaystyle f(\varphi ^{-1}(z))}$ ${\displaystyle \varphi (p_{0})\in \mathbb {D} }$

Замечания

Пусть будет одноточечной компактификацией комплексной плоскости . Вместо голоморфных функций, определенных на областях в , можно рассмотреть области в . При таком рассмотрении единственной возможной особенностью для целых функций, определенных на , является точка . Если целая функция ограничена в окрестности , то является устранимой особенностью , т.е. не может взорваться или вести себя хаотично в . В свете разложения в степенной ряд неудивительно, что теорема Лиувилля верна. ${\displaystyle \mathbb {C} \cup \{\infty \}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} \cup \{\infty \}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} \subset \mathbb {C} \cup \{\infty \}}$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \infty }$

Аналогично, если целая функция имеет полюс порядка в —то есть она растет по величине, сравнимой с в некоторой окрестности —то является многочленом. Эту расширенную версию теоремы Лиувилля можно сформулировать точнее: если для достаточно большого, то является многочленом степени не выше . Это можно доказать следующим образом. Снова возьмем представление ряда Тейлора для , ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle z^{n}}$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle |f(z)|\leq M|z|^{n}}$ ${\displaystyle |z|}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle f(z)=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}z^{k}.}$

Аргумент, использованный при доказательстве с использованием оценок Коши, показывает, что для всех , ${\displaystyle k\geq 0}$

${\displaystyle |a_{k}|\leq Mr^{n-k}.}$

Итак, если , то ${\displaystyle k>n}$

${\displaystyle |a_{k}|\leq \lim _{r\to \infty }Mr^{n-k}=0.}$

Поэтому, . ${\displaystyle a_{k}=0}$

Теорема Лиувилля не распространяется на обобщения комплексных чисел, известные как двойные числа и дуальные числа . ^[8]

Смотрите также

• Теорема Миттаг-Леффлера

Ссылки

1. Соломенцев, Е.Д.; Степанов, С.А.; Квасников, И.А. (2001) [1994], "Теоремы Лиувилля", Энциклопедия математики , Издательство EMS Press
2. Нельсон, Эдвард (1961). «Доказательство теоремы Лиувилля». Труды Американского математического общества . 12 (6): 995. doi : 10.1090/S0002-9939-1961-0259149-4 .
3. Бенджамин Файн; Герхард Розенбергер (1997). Основная теорема алгебры. Springer Science & Business Media. С. 70–71. ISBN 978-0-387-94657-3.
4. Лиувилль, Жозеф (1847), «Leçons sur les fonctions doublement periodiques», Journal für die Reine und Angewandte Mathematik , vol. 88 (опубликовано в 1879 г.), стр. 277–310, ISSN  0075-4102, заархивировано из оригинала 11 июля 2012 г.
5. Коши, Огюстен-Луи (1844), «Mémoires sur les fonctions complémentaires», Œuvres complètes d'Augustin Cauchy , 1, vol. 8, Париж: Готье-Виллар (опубликовано в 1882 г.)
6. Lützen, Jesper (1990), Йозеф Лиувилль 1809–1882: магистр чистой и прикладной математики , Исследования по истории математики и физических наук, т. 15, Springer-Verlag, ISBN 3-540-97180-7
7. краткий курс комплексного анализа и римановых поверхностей, Вильгельм Шлаг, следствие 4.8, стр. 77 http://www.math.uchicago.edu/~schlag/bookweb.pdf Архивировано 30 августа 2017 г. на Wayback Machine
8. Денхарти, Кайл; Флим, Рэйчел (15 января 2017 г.). «Теоремы Лиувилля в дуальных и двойных плоскостях». Журнал бакалаврской математики Rose-Hulman . 12 (2).

Внешние ссылки

• «Теорема Лиувилля». PlanetMath .
• Вайсштейн, Эрик В. «Теорема Лиувилля об ограниченности». MathWorld .