Словарь математических символов

Значения символов, используемых в математике

Математический символ — это фигура или комбинация фигур, которая используется для представления математического объекта , действия над математическими объектами, отношения между математическими объектами или для структурирования других символов, которые встречаются в формуле . Поскольку формулы полностью состоят из символов различных типов, для выражения всей математики требуется много символов.

Самыми основными символами являются десятичные цифры (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) и буквы латинского алфавита . Десятичные цифры используются для представления чисел через индо-арабскую систему счисления . Исторически заглавные буквы использовались для представления точек в геометрии, а строчные буквы использовались для переменных и констант . Буквы используются для представления многих других видов математических объектов . Поскольку число этих видов значительно возросло в современной математике, также используются греческий алфавит и некоторые еврейские буквы . В математических формулах стандартным шрифтом является курсивный шрифт для латинских букв и строчных греческих букв и прямой шрифт для заглавных греческих букв. Для большего количества символов используются также другие гарнитуры шрифтов, в основном жирный шрифт , рукописный шрифт (строчный рукописный шрифт используется редко из-за возможной путаницы со стандартным шрифтом), немецкий fraktur и полужирный шрифт blackboard (другие буквы в этом шрифте используются редко или их использование нетрадиционно). ${\displaystyle \mathbf {a,A,b,B} ,\ldots }$ ${\displaystyle {\mathcal {A,B}},\ldots }$ ${\displaystyle {\mathfrak {a,A,b,B}},\ldots }$ ${\displaystyle \mathbb {N,Z,Q,R,C,H,F} _{q}}$

Использование латинских и греческих букв в качестве символов для обозначения математических объектов в этой статье не описывается. Для таких случаев использования см. Переменная (математика) и Список математических констант . Однако некоторые символы, которые описаны здесь, имеют ту же форму, что и буква, от которой они получены, например и . ${\displaystyle \textstyle \prod {}}$ ${\displaystyle \textstyle \sum {}}$

Этих букв недостаточно для нужд математиков, и используются многие другие символы. Некоторые берут свое начало от знаков препинания и диакритических знаков, традиционно используемых в типографике ; другие — путем деформации буквенных форм , как в случаях и . Другие, такие как + и = , были специально разработаны для математики. ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle \forall }$

Макет этой статьи

• Обычно записи глоссария структурированы по темам и отсортированы в алфавитном порядке. В данном случае это невозможно, поскольку нет естественного порядка символов, и многие символы используются в разных разделах математики с разными значениями, часто совершенно не связанными между собой. Поэтому пришлось сделать несколько произвольных выборов, которые суммированы ниже.
• Статья разделена на разделы, отсортированные по возрастанию уровня технической сложности. То есть, первые разделы содержат символы, которые встречаются в большинстве математических текстов и которые, как предполагается, известны даже новичкам. С другой стороны, последние разделы содержат символы, которые являются специфическими для какой-либо области математики и игнорируются за пределами этих областей. Однако длинный раздел о скобках был помещен ближе к концу, хотя большинство его записей являются элементарными: это облегчает поиск записи символа путем прокрутки.
• Большинство символов имеют несколько значений, которые обычно различаются либо по области математики, в которой они используются, либо по их синтаксису , то есть по их положению внутри формулы и характеру других частей формулы, которые близки к ним.
• Поскольку читатели могут не знать, к какой области математики относится искомый ими символ, различные значения символа сгруппированы в разделе, соответствующем их наиболее распространенному значению.
• Когда значение зависит от синтаксиса, символ может иметь разные записи в зависимости от синтаксиса. Для обобщения синтаксиса в имени записи, символ используется для представления соседних частей формулы, содержащей символ. См. § Скобки для примеров использования. ${\displaystyle \Box }$
• Большинство символов имеют две печатные версии. Они могут отображаться как символы Unicode или в формате LaTeX . С версией Unicode использование поисковых систем и копирование-вставка проще. С другой стороны, рендеринг LaTeX часто намного лучше (эстетичнее) и, как правило, считается стандартом в математике. Поэтому в этой статье версия символов Unicode используется (когда это возможно) для маркировки их записи, а версия LaTeX используется в их описании. Таким образом, чтобы узнать, как набрать символ в LaTeX, достаточно заглянуть в источник статьи.
• Для большинства символов имя записи — это соответствующий символ Unicode. Таким образом, для поиска записи символа достаточно ввести или скопировать символ Unicode в текстовое поле поиска. Аналогично, когда это возможно, имя записи символа также является якорем , что позволяет легко ссылаться на другую статью Википедии. Когда имя записи содержит специальные символы, такие как [, ], и |, также есть якорь, но нужно посмотреть источник статьи, чтобы узнать его.
• Наконец, когда есть статья о самом символе (а не о его математическом значении), ссылка на нее указывается в названии записи.

Арифметические операторы

+     ( знак плюс )

1. Обозначает сложение и читается как плюс ; например, 3 + 2 .

2. Обозначает, что число положительное и читается как плюс . Избыточное, но иногда используется для подчеркивания того, что число положительное , особенно когда другие числа в контексте являются или могут быть отрицательными; например, +2 .

3. Иногда используется вместо для обозначения непересекающегося объединения множеств . ${\displaystyle \sqcup }$

−     ( знак минус )

1. Обозначает вычитание и читается как минус ; например, 3 – 2 .

2. Обозначает аддитивную обратную величину и читается как минус , отрицательное значение или противоположность ; например, –2 .

3. Также используется вместо \ для обозначения теоретико-множественного дополнения ; см. \ в § Теория множеств.

×     ( знак умножения )

1. В элементарной арифметике обозначает умножение и читается как умножение , например, 3 × 2 .

2. В геометрии и линейной алгебре обозначает векторное произведение .

3. В теории множеств и теории категорий обозначает декартово произведение и прямое произведение . См. также × в § Теория множеств.

·     ( точка )

1. Обозначает умножение и читается как раз ; например, 3 ⋅ 2 .

2. В геометрии и линейной алгебре обозначает скалярное произведение .

3. Заполнитель, используемый для замены неопределенного элемента. Например, сказать « абсолютное значение обозначается как | · | » возможно, будет понятнее, чем сказать, что оно обозначается как | | .

±     ( знак плюс–минус )

1. Обозначает либо знак плюс, либо знак минус.

2. Обозначает диапазон значений, которые может иметь измеряемая величина; например, 10 ± 2 обозначает неизвестное значение, которое лежит между 8 и 12.

∓     ( знак минус-плюс )

Используется в паре с ± , обозначает противоположный знак; то есть + , если ± равно – , и – , если ± равно + .

÷     ( знак деления )

Широко используемый для обозначения деления в англоязычных странах, он больше не используется в математике и его использование «не рекомендуется». ^[1] В некоторых странах он может обозначать вычитание.

:     ( двоеточие )

1. Обозначает отношение двух величин.

2. В некоторых странах может обозначать разделение .

3. В нотации построения множеств он используется как разделитель, означающий «такой, что»; см. {□ : □}.

/     ( косая черта )

1. Обозначает деление и читается как разделенное на или более . Часто заменяется горизонтальной чертой. Например, 3 / 2 или . ${\displaystyle {\frac {3}{2}}}$

2. Обозначает факторную структуру . Например, фактор-множество , фактор-группа , фактор-категория и т. д.

3. В теории чисел и теории поля обозначает расширение поля , где F — поле расширения поля E. ${\displaystyle F/E}$

4. В теории вероятностей обозначает условную вероятность . Например, обозначает вероятность события A при условии, что произойдет событие B. Обычно обозначается : см. "|". ${\displaystyle P(A/B)}$ ${\displaystyle P(A\mid B)}$

√     ( символ квадратного корня )

Обозначает квадратный корень и читается как квадратный корень из . Редко используется в современной математике без горизонтальной черты, ограничивающей ширину его аргумента (см. следующий пункт). Например, √2 .

√      ( символ радикала )

1. Обозначает квадратный корень и читается как квадратный корень из . Например, . ${\displaystyle {\sqrt {3+2}}}$

2. С целым числом больше 2 в качестве левого верхнего индекса обозначает корень n- й степени . Например, обозначает корень 7-й степени из 3. ${\displaystyle {\sqrt[{7}]{3}}}$

^     ( каретка )

1.   Возведение в степень обычно обозначается верхним индексом . Однако часто обозначается x ^ y , когда верхние индексы недоступны, например, в языках программирования (включая LaTeX ) или в текстовых электронных письмах . ${\displaystyle x^{y}}$

2. Не путать с ∧

Равенство, эквивалентность и подобие

=     ( знак равенства )

1. Обозначает равенство .

2. Используется для обозначения математического объекта в предложении типа "let ", где E — выражение . См. также ≝ , ≜ или . ${\displaystyle x=E}$  ${\displaystyle :=}$

${\displaystyle \triangleq \quad {\stackrel {\scriptscriptstyle \mathrm {def} }{=}}\quad :=}$

Любой из них иногда используется для обозначения математического объекта . Таким образом, и являются сокращением фразы "let ", где ⁠ ⁠ — это выражение , а ⁠ ⁠ — это переменная . Это похоже на концепцию присваивания в информатике, которая обозначается по-разному (в зависимости от используемого языка программирования ) ${\displaystyle x\triangleq E,}$ ${\displaystyle x\mathrel {\stackrel {\scriptscriptstyle \mathrm {def} }{=}} E,}$ ${\displaystyle x\mathrel {:=} E}$ ${\displaystyle E\mathrel {=:} x}$ ${\displaystyle x=E}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle =,:=,\leftarrow ,\ldots }$

≠     ( знак неравенства )

Обозначает неравенство и означает «не равно».

≈

Наиболее распространенный символ для обозначения приблизительного равенства . Например, ${\displaystyle \pi \approx 3.14159.}$

~     ( тильда )

1. Между двумя числами он используется либо вместо ≈, чтобы означать «приблизительно равен», либо означает «имеет тот же порядок величины, что и».

2. Обозначает асимптотическую эквивалентность двух функций или последовательностей.

3. Часто используется для обозначения других видов подобия, например, подобия матриц или подобия геометрических фигур .

4. Стандартное обозначение для отношения эквивалентности .

5. В вероятности и статистике может указывать на распределение вероятностей случайной величины . Например, означает, что распределение случайной величины X является стандартным нормальным . ^[2] ${\displaystyle X\sim N(0,1)}$

6. Обозначение пропорциональности . См. также ∝ для менее двусмысленного символа.

≡     ( тройная черта )

1. Обозначает тождество , то есть равенство, которое является истинным, какие бы значения ни были присвоены переменным, встречающимся в нем.

2. В теории чисел , а точнее в модульной арифметике , обозначает сравнение по модулю целого числа.

3. Может обозначать логическую эквивалентность .

${\displaystyle \cong }$

1. Может обозначать изоморфизм между двумя математическими структурами и читается как «изоморфен».

2. В геометрии может обозначать равенство двух геометрических фигур (то есть равенство с точностью до смещения ) и читается как «равнозначно».

Сравнение

<     ( знак «меньше» )

1.   Строгое неравенство между двумя числами; означает и читается как « меньше ».

2. Обычно используется для обозначения любого строгого порядка .

3. Между двумя группами может означать, что первая из них является собственной подгруппой второй.

>     ( знак больше )

1.   Строгое неравенство между двумя числами; означает и читается как « больше чем ».

2. Обычно используется для обозначения любого строгого порядка .

3. Между двумя группами может означать, что вторая группа является собственной подгруппой первой.

≤

1. Означает « меньше или равно ». То есть, каковы бы ни были A и B , A ≤ B эквивалентно A < B или A = B.

2. Между двумя группами может означать, что первая является подгруппой второй.

≥

1. Означает « больше или равно ». То есть, какими бы ни были A и B , A ≥ B эквивалентно A > B или A = B.

2. Между двумя группами может означать, что вторая группа является подгруппой первой.

${\displaystyle \ll {\text{ and }}\gg }$

1. Означает « намного меньше, чем » и « намного больше, чем ». Как правило, «много » формально не определяется, но означает, что меньшей величиной можно пренебречь по отношению к другой. Это обычно имеет место, когда меньшая величина меньше другой на один или несколько порядков величины .

2. В теории меры означает , что мера абсолютно непрерывна относительно меры . ${\displaystyle \mu \ll \nu }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \nu }$

${\displaystyle \leqq }$

Редко используемый символ, обычно синоним ≤ .

${\displaystyle \prec {\text{ and }}\succ }$

1. Часто используется для обозначения порядка или, в более общем смысле, предварительного порядка , когда было бы запутанно или неудобно использовать < и > .

2.   Последовательность в асинхронной логике .

Теория множеств

∅

Обозначает пустое множество , и чаще пишется . Используя нотацию set-builder , его также можно обозначить { } {\displaystyle \{\}} . ${\displaystyle \emptyset }$

#     ( знак числа )

1. Количество элементов: может обозначать мощность множества S. Альтернативная нотация: ; см. | ◻ | {\displaystyle |\square |} . ${\displaystyle \#{}S}$ ${\displaystyle |S|}$

2.   Простейшее число : обозначает произведение простых чисел , не превосходящих n . ${\displaystyle n{}\#}$

3. В топологии обозначает связную сумму двух многообразий или двух узлов . ${\displaystyle M\#N}$

∈

Обозначает принадлежность к множеству и читается как «находится в», «принадлежит» или «является членом». То есть означает, что x является элементом множества S. ${\displaystyle x\in S}$

∉

Означает «не входит». То есть, означает . ${\displaystyle x\notin S}$ ${\displaystyle \neg (x\in S)}$

⊂

Обозначает включение множества . Однако распространены два немного отличающихся определения.

1.   может означать, что A является подмножеством B и , возможно , равно B ; то есть каждый элемент A принадлежит B ; выражается в виде формулы, . ${\displaystyle A\subset B}$ ${\displaystyle \forall {}x,\,x\in A\Rightarrow x\in B}$

2.   может означать, что A является собственным подмножеством B , то есть два множества различны, и каждый элемент A принадлежит B ; выражается в виде формулы, . ${\displaystyle A\subset B}$ ${\displaystyle A\neq B\land \forall {}x,\,x\in A\Rightarrow x\in B}$

⊆

${\displaystyle A\subseteq B}$означает, что A является подмножеством B. Используется для подчеркивания возможности равенства или когда A ⊂ B {\displaystyle A\subset B} означает, что является собственным подмножеством ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B.}$

⊊

${\displaystyle A\subsetneq B}$означает, что A является собственным подмножеством B. Используется для подчеркивания того, что , или когда A ⊂ B {\displaystyle A\subset B} не подразумевает, что является собственным подмножеством ${\displaystyle A\neq B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B.}$

⊃, ⊇, ⊋

Обозначим обратное отношение ⊂ {\displaystyle \subset } , ⊆ {\displaystyle \subseteq } и ⊊ {\displaystyle \subsetneq } соответственно. Например, эквивалентно . ${\displaystyle B\supset A}$ ${\displaystyle A\subset B}$

∪

Обозначает теоретико-множественное объединение , то есть множество, образованное элементами A и B вместе. То есть, . ${\displaystyle A\cup B}$ ${\displaystyle A\cup B=\{x\mid (x\in A)\lor (x\in B)\}}$

∩

Обозначает теоретико-множественное пересечение , то есть множество, образованное элементами как A , так и B. То есть, . ${\displaystyle A\cap B}$ ${\displaystyle A\cap B=\{x\mid (x\in A)\land (x\in B)\}}$

∖     ( обратная косая черта )

Разность множеств ; то есть, это множество, образованное элементами A , которые не входят в B . Иногда вместо этого используется ; см. – в § Арифметические операторы. ${\displaystyle A\setminus B}$ ${\displaystyle A-B}$

⊖ или ${\displaystyle \triangle }$

Симметричная разность : то есть, или — это множество , образованное элементами, которые принадлежат ровно одному из двух множеств A и B. ${\displaystyle A\ominus B}$ ${\displaystyle A\operatorname {\triangle } B}$

${\displaystyle \complement }$

1. С нижним индексом обозначает дополнение множества : то есть, если , то . ${\displaystyle B\subseteq A}$ ${\displaystyle \complement _{A}B=A\setminus B}$

2. Без нижнего индекса обозначает абсолютное дополнение ; то есть , где U — множество, неявно определенное контекстом, которое содержит все рассматриваемые множества. Это множество U иногда называют универсумом дискурса . ${\displaystyle \complement A=\complement _{U}A}$

×     ( знак умножения )

См. также × в § Арифметические операторы.

1. Обозначает декартово произведение двух множеств. То есть, это множество, образованное всеми парами элемента A и элемента B. ${\displaystyle A\times B}$

2. Обозначает прямое произведение двух математических структур одного типа, которое является декартовым произведением базовых множеств, снабженных структурой того же типа. Например, прямое произведение колец , прямое произведение топологических пространств .

3. В теории категорий обозначает прямое произведение (часто называемое просто произведением ) двух объектов, которое является обобщением предыдущих понятий произведения.

${\displaystyle \sqcup }$

Обозначает непересекающееся объединение . То есть, если A и B — множества, то — множество пар , где i _A и i _B — различные индексы, различающие элементы A и B в ⁠ ⁠ . ${\displaystyle A\sqcup B=\left(A\times \{i_{A}\}\right)\cup \left(B\times \{i_{B}\}\right)}$ ${\displaystyle A\sqcup B}$

${\displaystyle \bigsqcup {\text{ or }}\coprod }$

1. Используется для непересекающегося объединения семейства множеств, например, в ${\textstyle \bigsqcup _{i\in I}A_{i}.}$

2. Обозначает копроизведение математических структур или объектов в категории .

Базовая логика

Несколько логических символов широко используются во всей математике и перечислены здесь. Для символов, которые используются только в математической логике или используются редко, см. Список логических символов .

¬     ( не подписывать )

Обозначает логическое отрицание и читается как «не». Если E — логический предикат , — это предикат, который оценивается как истина , если и только если E оценивается как ложь . Для ясности его часто заменяют словом «не». В языках программирования и некоторых математических текстах его иногда заменяют на « ~ » или « ! », которые легче набирать на некоторых клавиатурах. ${\displaystyle \neg E}$

∨     ( нисходящий клин )

1. Обозначает логическое или и читается как «или». Если E и F — логические предикаты , то истинно, если либо E , F , либо оба истинны. Часто заменяется словом «или». ${\displaystyle E\lor F}$

2. В теории решеток обозначает операцию соединения или наименьшей верхней границы .

3. В топологии обозначает клиновидную сумму двух точечных пространств .

∧     ( клин )

1. Обозначает логическое и , и читается как «и». Если E и F являются логическими предикатами , является истинным, если E и F оба истинны. Часто заменяется словом «и» или символом « & ». ${\displaystyle E\land F}$

2. В теории решеток обозначает операцию пересечения или нахождения наилучшей нижней границы .

3. В полилинейной алгебре , геометрии и многомерном исчислении обозначает клиновое произведение или внешнее произведение .

⊻

Исключающее ИЛИ : если E и F — две булевы переменные или предикаты , обозначает исключающее ИЛИ. Обозначения E, XOR, F и также широко используются; см. ⊕. ${\displaystyle E\veebar F}$ ${\displaystyle E\oplus F}$

∀     ( повернулся на A )

1. Обозначает всеобщую квантификацию и читается как «для всех». Если E — логический предикат , означает, что E истинно для всех возможных значений переменной x . ${\displaystyle \forall x\;E}$

2. Часто используется неправильно ^[3] в обычном тексте как сокращение от «для всех» или «для каждого».

∃

1. Обозначает экзистенциальную квантификацию и читается как «существует ... такой, что». Если E — логический предикат , это означает, что существует по крайней мере одно значение x , для которого E истинно. ${\displaystyle \exists x\;E}$

2. Часто используется неправильно ^[3] в обычном тексте как сокращение от «существует».

∃!

Обозначает квантификацию уникальности , то есть означает «существует ровно один x такой, что P (истинно)». Другими словами, является сокращением от . ${\displaystyle \exists !x\;P}$ ${\displaystyle \exists !x\;P(x)}$ ${\displaystyle \exists x\,(P(x)\,\wedge \neg \exists y\,(P(y)\wedge y\neq x))}$

⇒

1. Обозначает материальное условное , и читается как «подразумевает». Если P и Q являются логическими предикатами , означает, что если P истинно, то Q также истинно. Таким образом, логически эквивалентно . ${\displaystyle P\Rightarrow Q}$ ${\displaystyle P\Rightarrow Q}$ ${\displaystyle Q\lor \neg P}$

2. Часто используется неправильно ^[3] в обычном тексте как сокращение от «подразумевает».

⇔

1. Обозначает логическую эквивалентность и читается как «эквивалентно» или « если и только если ». Если P и Q — логические предикаты , то является сокращением от , или от . ${\displaystyle P\Leftrightarrow Q}$ ${\displaystyle (P\Rightarrow Q)\land (Q\Rightarrow P)}$ ${\displaystyle (P\land Q)\lor (\neg P\land \neg Q)}$

2. Часто используется неправильно ^[3] в обычном тексте как сокращение от « если и только если ».

⊤     ( тройник )

1.   обозначает логический предикат «всегда истинен» . ${\displaystyle \top }$

2. Обозначает также значение истинности true .

3. Иногда обозначает верхний элемент ограниченной решетки (предыдущие значения являются конкретными примерами).

4. Для использования в качестве верхнего индекса см. □⊤.

⊥     ( вверх по липучке )

1.   обозначает логический предикат всегда ложный . ${\displaystyle \bot }$

2. Обозначает также значение истинности false .

3. Иногда обозначает нижний элемент ограниченной решетки (предыдущие значения являются конкретными примерами).

4. В криптографии часто обозначает ошибку вместо обычного значения.

5. Для использования в качестве верхнего индекса см. □⊥.

6. Похожий символ см. в ⊥ {\displaystyle \perp } .

Доска жирный шрифт

Шрифт blackboard bold широко используется для обозначения основных систем счисления . Эти системы часто также обозначаются соответствующей заглавной жирной буквой. Явным преимуществом blackboard bold является то, что эти символы невозможно спутать ни с чем другим. Это позволяет использовать их в любой области математики, не вспоминая их определение. Например, если в комбинаторике встречается , то следует сразу знать, что это обозначает действительные числа , хотя комбинаторика не изучает действительные числа (но использует их для многих доказательств). ${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle \mathbb {N} }$

Обозначает множество натуральных чисел или иногда Когда различие важно и читатели могут предположить любое из определений, и используются, соответственно, для однозначного обозначения одного из них. Также обычно используется обозначение. ${\displaystyle \{1,2,\ldots \},}$ ${\displaystyle \{0,1,2,\ldots \}.}$ ${\displaystyle \mathbb {N} _{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {N} _{0}}$ ${\displaystyle \mathbf {N} }$

${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Обозначает множество целых чисел. Часто обозначается также как ${\displaystyle \{\ldots ,-2,-1,0,1,2,\ldots \}.}$ ${\displaystyle \mathbf {Z} .}$

${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$

1. Обозначает множество p -адических целых чисел , где p — простое число .

2. Иногда обозначает целые числа по модулю n , где n — целое число больше 0. Эта нотация также используется и является менее двусмысленной. ${\displaystyle \mathbb {Z} _{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$

${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Обозначает множество рациональных чисел (дробей двух целых чисел). Часто обозначается также как ${\displaystyle \mathbf {Q} .}$

${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$

Обозначает множество p -адических чисел , где p — простое число .

${\displaystyle \mathbb {R} }$

Обозначает множество действительных чисел . Часто обозначается также как ${\displaystyle \mathbf {R} .}$

${\displaystyle \mathbb {C} }$

Обозначает множество комплексных чисел . Часто обозначается также как ${\displaystyle \mathbf {C} .}$

${\displaystyle \mathbb {H} }$

Обозначает множество кватернионов . Часто обозначается также как ${\displaystyle \mathbf {H} .}$

${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$

Обозначает конечное поле с q элементами, где q — степень простого числа (включая простые числа ). Обозначается также как GF( q ) .

${\displaystyle \mathbb {O} }$

Используется в редких случаях для обозначения набора октонионов . Часто обозначается также ${\displaystyle \mathbf {O} .}$

Исчисление

□ '

Обозначение Лагранжа для производной : Если f — функция одной переменной, , читается как «f prime », — производная f по этой переменной. Вторая производная — это производная , и обозначается . ${\displaystyle f'}$ ${\displaystyle f'}$ ${\displaystyle f''}$

${\displaystyle {\dot {\Box }}}$

Обозначение Ньютона , чаще всего используемое для производной по времени. Если x — переменная, зависящая от времени, то читается как «x точка», — ее производная по времени. В частности, если x представляет собой движущуюся точку, то — ее скорость . ${\displaystyle {\dot {x}},}$ ${\displaystyle {\dot {x}}}$

${\displaystyle {\ddot {\Box }}}$

Обозначение Ньютона для второй производной : Если x — переменная, представляющая движущуюся точку, то — ее ускорение . ${\displaystyle {\ddot {x}}}$

⁠г □/г □⁠

Обозначение Лейбница для производной , которое используется несколькими немного различающимися способами.

1. Если y — переменная, зависящая от x , то , читаемая как «dy по d x» (обычно сокращается до «dyd x»), является производной y по x . ${\displaystyle \textstyle {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}}$

2. Если f является функцией одной переменной x , то — производная f , а — значение производной в точке a . ${\displaystyle \textstyle {\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}}}$ ${\displaystyle \textstyle {\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}}(a)}$

3.   Полная производная : Если — функция нескольких переменных, зависящих от x , то производная f рассматривается как функция x . То есть, . ${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{n})}$ ${\displaystyle \textstyle {\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}}}$ ${\displaystyle \textstyle {\frac {\mathrm {d} f}{dx}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}\,{\frac {\mathrm {d} x_{i}}{\mathrm {d} x}}}$

⁠∂ □/∂ □⁠

Частная производная : Если — функция нескольких переменных, то — производная по i-й переменной, рассматриваемой как независимая переменная , а остальные переменные рассматриваются как константы. ${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{n})}$ ${\displaystyle \textstyle {\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}}$

⁠𝛿 □/𝛿 □⁠

Функциональная производная : Если — функционал нескольких функций , то — функциональная производная по n-й функции, рассматриваемой как независимая переменная , а остальные функции считаются постоянными. ${\displaystyle f(y_{1},\ldots ,y_{n})}$ ${\displaystyle \textstyle {\frac {\delta f}{\delta y_{i}}}}$

${\displaystyle {\overline {\Box }}}$

1.   Комплексно сопряженное число : Если z — комплексное число , то — его комплексно сопряженное число. Например, . ${\displaystyle {\overline {z}}}$ ${\displaystyle {\overline {a+bi}}=a-bi}$

2.   Топологическое замыкание : если S — подмножество топологического пространства T , то — его топологическое замыкание, то есть наименьшее замкнутое подмножество T , содержащее S. ${\displaystyle {\overline {S}}}$

3.   Алгебраическое замыкание : Если F — поле , то — его алгебраическое замыкание, то есть наименьшее алгебраически замкнутое поле , содержащее F. Например, — поле всех алгебраических чисел . ${\displaystyle {\overline {F}}}$ ${\displaystyle {\overline {\mathbb {Q} }}}$

4.   Среднее значение : если x — переменная , принимающая свои значения в некоторой последовательности чисел S , то может обозначать среднее значение элементов S. ${\displaystyle {\overline {x}}}$

5.   Отрицание : Иногда используется для обозначения отрицания всего выражения под чертой, особенно при работе с булевой алгеброй . Например, один из законов Де Моргана гласит, что . ${\displaystyle {\overline {A\land B}}={\overline {A}}\lor {\overline {B}}}$

→

1.   обозначает функцию с областью определения A и областью значений B. Для обозначения такой функции пишут , что читается как « f от A до B ». ${\displaystyle A\to B}$ ${\displaystyle f:A\to B}$

2. В более общем смысле обозначает гомоморфизм или морфизм из A в B. ${\displaystyle A\to B}$

3. Может обозначать логическое импликирование . Для материального импликирования , которое широко используется в математических рассуждениях, в настоящее время его обычно заменяют на ⇒. В математической логике он по-прежнему используется для обозначения импликации, но его точное значение зависит от конкретной изучаемой теории.

4. Над именем переменной , означает, что переменная представляет вектор , в контексте, где обычные переменные представляют скаляры ; например, . Жирный шрифт ( ) или циркумфлекс ( ) часто используются для той же цели. ${\displaystyle {\overrightarrow {v}}}$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle {\hat {v}}}$

5. В евклидовой геометрии и, в более общем смысле, в аффинной геометрии обозначает вектор , определяемый двумя точками P и Q , который можно отождествить с переносом , который отображает P в Q. Тот же вектор можно обозначить также ; см. Аффинное пространство . ${\displaystyle {\overrightarrow {PQ}}}$ ${\displaystyle Q-P}$

↦

" Maps to ": Используется для определения функции без необходимости называть ее. Например, это квадратная функция . ${\displaystyle x\mapsto x^{2}}$

○ ^[4]

1.   Композиция функций : если f и g — две функции, то является ли функция такой, что для каждого значения x . ${\displaystyle g\circ f}$ ${\displaystyle (g\circ f)(x)=g(f(x))}$

2.   Произведение Адамара матриц : если A и B — две матрицы одинакового размера, то матрица такова, что . Возможно, также используется вместо ⊙ для произведения Адамара степенных рядов . ^{[ необходима ссылка ]} ${\displaystyle A\circ B}$ ${\displaystyle (A\circ B)_{i,j}=(A)_{i,j}(B)_{i,j}}$ ${\displaystyle \circ }$

∂

1.   Граница топологического подпространства : если S — подпространство топологического пространства, то его граница , обозначаемая , представляет собой заданную разность между замыканием и внутренностью S. ${\displaystyle \partial S}$

2.   Частная производная : см. ⁠∂□/∂□⁠.

∫

1. Без нижнего индекса обозначает первообразную . Например, . ${\displaystyle \textstyle \int x^{2}dx={\frac {x^{3}}{3}}+C}$

2. С нижним и верхним индексами или выражениями, расположенными под и над ним, обозначает определенный интеграл . Например, . ${\displaystyle \textstyle \int _{a}^{b}x^{2}dx={\frac {b^{3}-a^{3}}{3}}}$

3. С нижним индексом, обозначающим кривую, обозначает линейный интеграл . Например, , если r — параметризация кривой C , от a до b . ${\displaystyle \textstyle \int _{C}f=\int _{a}^{b}f(r(t))r'(t)\operatorname {d} t}$

∮

Часто используется, как правило, в физике, вместо для линейных интегралов по замкнутой кривой . ${\displaystyle \textstyle \int }$

∬, ∯

Аналогично и для поверхностных интегралов . ${\displaystyle \textstyle \int }$ ${\displaystyle \textstyle \oint }$

${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}}$или ${\displaystyle {\vec {\nabla }}}$

Набла , градиент , оператор векторной производной , также называемый del или grad , ${\displaystyle \textstyle \left({\frac {\partial }{\partial x}},{\frac {\partial }{\partial y}},{\frac {\partial }{\partial z}}\right)}$

или ковариантная производная .

∇ ² или ∇⋅∇

Оператор Лапласа или Лапласиан : . Формы и представляют собой скалярное произведение градиента ( или ) с самим собой. Также обозначается Δ (следующий пункт). ${\displaystyle \textstyle {\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}}$ ${\displaystyle \nabla ^{2}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\boldsymbol {\nabla }}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}}$ ${\displaystyle {\vec {\nabla }}}$

Δ

(Заглавная греческая буква дельта — не путать с , которая может обозначать геометрический треугольник или, альтернативно, симметричную разность двух множеств.) ${\displaystyle \triangle }$

1. Другое обозначение для лапласиана (см. выше).

2. Оператор конечной разности .

${\displaystyle {\boldsymbol {\partial }}}$или ${\displaystyle \partial _{\mu }}$

(Примечание: обозначение не рекомендуется для четырехградиента, поскольку и используются для обозначения даламбертиана ; см. ниже.) ${\displaystyle \Box }$ ${\displaystyle \Box }$ ${\displaystyle {\Box }^{2}}$

Quad , оператор 4-векторного градиента или четырехградиентный оператор . ${\displaystyle \textstyle \left({\frac {\partial }{\partial t}},{\frac {\partial }{\partial x}},{\frac {\partial }{\partial y}},{\frac {\partial }{\partial z}}\right)}$

${\displaystyle \Box }$или ${\displaystyle {\Box }^{2}}$

(здесь реальный ящик, а не заполнитель)

Обозначает даламбертиан или квадратный четырехградиент , который является обобщением лапласиана на четырехмерное пространство-время. В плоском пространстве-времени с евклидовыми координатами это может означать или ; необходимо указать соглашение о знаках. В искривленном пространстве-времени (или плоском пространстве-времени с неевклидовыми координатами) определение более сложное. Также называется ящиком или кабблой . ${\displaystyle ~\textstyle -{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}~\;}$ ${\displaystyle \;~\textstyle +{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}~\;}$

Линейная и полилинейная алгебра

∑     ( обозначение с заглавной буквой «сигма» )

1. Обозначает сумму конечного числа членов, которые определяются нижними и верхними индексами (которые также могут располагаться ниже и выше), например, или . ${\displaystyle \textstyle \sum _{i=1}^{n}i^{2}}$ ${\displaystyle \textstyle \sum _{0<i<j<n}j-i}$

2. Обозначает ряд и, если ряд сходится , сумму ряда . Например, . ${\displaystyle \textstyle \sum _{i=0}^{\infty }{\frac {x^{i}}{i!}}=e^{x}}$

∏    ( обозначение с заглавной буквы «пи» )

1. Обозначает произведение конечного числа членов, которые определяются нижними и верхними индексами (которые также могут располагаться ниже и выше), например, или . ${\displaystyle \textstyle \prod _{i=1}^{n}i^{2}}$ ${\displaystyle \textstyle \prod _{0<i<j<n}j-i}$

2. Обозначает бесконечное произведение . Например, формула произведения Эйлера для дзета-функции Римана имеет вид . ${\displaystyle \textstyle \zeta (z)=\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{1-p_{n}^{-z}}}}$

3. Также используется для декартова произведения любого числа множеств и прямого произведения любого числа математических структур .

${\displaystyle \oplus }$

1. Внутренняя прямая сумма : если E и F являются абелевыми подгруппами абелевой группы V , то обозначение означает, что V является прямой суммой E и F ; то есть каждый элемент V может быть записан единственным образом как сумма элемента E и элемента F . Это применимо также в случае, когда E и F являются линейными подпространствами или подмодулями векторного пространства или модуля V . ${\displaystyle V=E\oplus F}$

2.   Прямая сумма : если E и F — две абелевы группы , векторные пространства или модули , то их прямая сумма, обозначаемая как абелева группа, векторное пространство или модуль (соответственно), снабженная двумя мономорфизмами и , такая, что является внутренней прямой суммой и . Это определение имеет смысл, поскольку эта прямая сумма единственна с точностью до единственного изоморфизма . ${\displaystyle E\oplus F}$ ${\displaystyle f:E\to E\oplus F}$ ${\displaystyle g:F\to E\oplus F}$ ${\displaystyle E\oplus F}$ ${\displaystyle f(E)}$ ${\displaystyle g(F)}$

3.   Исключающее ИЛИ : если E и F — две булевы переменные или предикаты , может обозначать исключающее ИЛИ. Обозначения E, XOR, F и также широко используются; см. ⊻. ${\displaystyle E\oplus F}$ ${\displaystyle E\veebar F}$

${\displaystyle \otimes }$

1. Обозначает тензорное произведение абелевых групп , векторных пространств , модулей или других математических структур, таких как или ${\displaystyle E\otimes F,}$ ${\displaystyle E\otimes _{K}F.}$

2. Обозначает тензорное произведение элементов: если и то ${\displaystyle x\in E}$ ${\displaystyle y\in F,}$ ${\displaystyle x\otimes y\in E\otimes F.}$

□ ^⊤

1.   Транспонирование : если A — матрица, обозначает транспонирование A , то есть матрицу, полученную путем обмена строк и столбцов A. Также используется обозначение . Символ часто заменяется буквой T или t . ${\displaystyle A^{\top }}$ ${\displaystyle ^{\top }\!\!A}$ ${\displaystyle \top }$

2. Для использования символа в тексте см. ⊤.

□ ^⊥

1.   Ортогональное дополнение : если W является линейным подпространством пространства скалярного произведения V , то обозначает его ортогональное дополнение , то есть линейное пространство элементов V, скалярные произведения которых с элементами W все равны нулю. ${\displaystyle W^{\bot }}$

2.   Ортогональное подпространство в двойственном пространстве : если W является линейным подпространством (или подмодулем ) векторного пространства (или модуля ) V , то может обозначать ортогональное подпространство W , то есть множество всех линейных форм , которые отображают W в ноль. ${\displaystyle W^{\bot }}$

3. Для использования символа в тексте см. ⊥.

Расширенная теория групп

⋉
⋊

1. Внутреннее полупрямое произведение : если N и H являются подгруппами группы G , такими, что N является нормальной подгруппой G , то и означает, что G является полупрямым произведением N и H , то есть каждый элемент G может быть однозначно разложен в виде произведения элемента N и элемента H. (В отличие от прямого произведения групп , элемент H может измениться, если изменить порядок множителей.) ${\displaystyle G=N\rtimes H}$ ${\displaystyle G=H\ltimes N}$

2. Внешнее полупрямое произведение : если N и H — две группы , а — гомоморфизм групп из N в группу автоморфизмов H , то обозначает группу G , единственную с точностью до изоморфизма групп , которая является полупрямым произведением N и H , с коммутацией элементов из N и H, определяемой соотношением . ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle N\rtimes _{\varphi }H=H\ltimes _{\varphi }N}$ ${\displaystyle \varphi }$

≀

В теории групп обозначает сплетение групп G и H. Также обозначается как или ; см. Сплетение § Обозначения и соглашения для нескольких вариантов обозначений. ${\displaystyle G\wr H}$ ${\displaystyle G\operatorname {wr} H}$ ${\displaystyle G\operatorname {Wr} H}$

Бесконечные числа

${\displaystyle \infty }$    ( символ бесконечности )

1. Символ читается как бесконечность . Как верхняя граница суммы , бесконечного произведения , интеграла и т. д., означает, что вычисление неограниченно. Аналогично, в нижней границе означает, что вычисление не ограничено в сторону отрицательных значений. ${\displaystyle -\infty }$

2.   и — обобщенные числа, которые добавляются к действительной прямой для формирования расширенной действительной прямой . ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle +\infty }$

3.   — обобщенное число, которое добавляется к действительной прямой для образования проективно расширенной действительной прямой . ${\displaystyle \infty }$

${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$   ( фрактур 𝔠)

${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$обозначает мощность континуума , которая является мощностью множества действительных чисел .

${\displaystyle \aleph }$   ( алеф )

С ординалом i в качестве нижнего индекса, обозначает i- е алефное число , то есть i- й бесконечный кардинал . Например, — наименьший бесконечный кардинал, то есть кардинал натуральных чисел. ${\displaystyle \aleph _{0}}$

${\displaystyle \beth }$   ( ставка (буква) )

С порядковым числом i в качестве нижнего индекса обозначает i- е бета-число . Например, является кардиналом натуральных чисел, а является кардиналом континуума . ${\displaystyle \beth _{0}}$ ${\displaystyle \beth _{1}}$

${\displaystyle \omega }$   ( омега )

1. Обозначает первый предельный ординал . Он также обозначается и может быть отождествлен с упорядоченным множеством натуральных чисел . ${\displaystyle \omega _{0}}$

2. С порядковым числом i в качестве нижнего индекса обозначает i-й предельный порядковый номер , имеющий мощность, большую, чем у всех предыдущих порядковых чисел.

3. В информатике обозначает (неизвестную) наибольшую нижнюю границу показателя вычислительной сложности умножения матриц .

4. Записанная как функция другой функции, она используется для сравнения асимптотического роста двух функций. См. нотацию Big O § Связанные асимптотические нотации .

5. В теории чисел может обозначать простую омега-функцию . То есть, это количество различных простых множителей целого числа n . ${\displaystyle \omega (n)}$

Скобки

В математике используются многие виды скобок . Их значения зависят не только от их формы, но и от природы и расположения того, что ими ограничивается, а иногда и от того, что находится между ними или перед ними. По этой причине в заголовках статей символ □ используется в качестве заполнителя для схематизации синтаксиса, лежащего в основе значения.

Скобки

(□)

Используется в выражении для указания того, что подвыражение в скобках следует рассматривать как единое целое; обычно используется для указания порядка операций .

□(□)
□(□, □)
□(□, ..., □)

1.   Функциональная нотация : если первым идет имя (символ) функции , то обозначает значение функции, примененное к выражению в скобках; например, , . В случае многомерной функции скобки содержат несколько выражений, разделенных запятыми, например . ${\displaystyle \Box }$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle \sin(x+y)}$ ${\displaystyle f(x,y)}$

2. Может также обозначать продукт, например , . Когда возможна путаница, контекст должен различать, какие символы обозначают функции, а какие — переменные . ${\displaystyle a(b+c)}$

(□, □)

1. Обозначает упорядоченную пару математических объектов , например, . ${\displaystyle (\pi ,0)}$

2. Если a и b — действительные числа , , или , и a < b , то обозначает открытый интервал, ограниченный a и b . См. ]□, □[ для альтернативного обозначения. ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle +\infty }$ ${\displaystyle (a,b)}$

3. Если a и b — целые числа , может обозначать наибольший общий делитель a и b . Вместо этого часто используется обозначение . ${\displaystyle (a,b)}$ ${\displaystyle \gcd(a,b)}$

(□, □, □)

Если x , y , z — векторы в , то может обозначать скалярное тройное произведение . ^{[ необходима ссылка ]} См. также [□,□,□] в § Квадратные скобки. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle (x,y,z)}$

(□, ..., □)

Обозначает кортеж . Если есть n объектов, разделенных запятыми, это n -кортеж.

(□, □, ...)
(□, ..., □, ...)

Обозначает бесконечную последовательность .

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\Box &\cdots &\Box \\\vdots &\ddots &\vdots \\\Box &\cdots &\Box \end{pmatrix}}}$

Обозначает матрицу . Часто обозначается квадратными скобками.

${\displaystyle {\binom {\Box }{\Box }}}$

Обозначает биномиальный коэффициент : При двух неотрицательных целых числах читается как « n выбирает k » и определяется как целое число (если k = 0 , его значение обычно равно 1 ). Используя выражение с левой стороны, он обозначает многочлен от n и, таким образом, определяется и используется для любого действительного или комплексного значения n . ${\displaystyle {\binom {n}{k}}}$ ${\displaystyle {\frac {n(n-1)\cdots (n-k+1)}{1\cdot 2\cdots k}}={\frac {n!}{k!\,(n-k)!}}}$

${\displaystyle \left({\frac {\Box }{\Box }}\right)}$

Символ Лежандра : Если p — нечётное простое число , а a — целое число , то значение равно 1, если a — квадратичный вычет по модулю p ; оно равно –1, если a — квадратичный невычет по модулю p ; оно равно 0, если p делит a . Та же самая нотация используется для символа Якоби и символа Кронекера , которые являются обобщениями, где p — соответственно любое нечётное положительное целое число или любое целое число. ${\displaystyle \left({\frac {a}{p}}\right)}$

Квадратные скобки

[□]

1. Иногда используется как синоним (□) для избежания вложенных скобок.

2.   Класс эквивалентности : при заданном отношении эквивалентности часто обозначает класс эквивалентности элемента x . ${\displaystyle [x]}$

3.   Целая часть : если x — действительное число , часто обозначает целую часть или усечение x , то есть целое число, полученное путем удаления всех цифр после десятичной точки . Эта нотация также использовалась для других вариантов функций пола и потолка . ${\displaystyle [x]}$

4.   Скобка Айверсона : если P — предикат , может обозначать скобку Айверсона, то есть функцию , которая принимает значение 1 для значений свободных переменных в P, для которых P истинно, и принимает значение 0 в противном случае. Например, — это дельта-функция Кронекера , которая равна единице, если , и нулю в противном случае. ${\displaystyle [P]}$ ${\displaystyle [x=y]}$ ${\displaystyle x=y}$

5. В комбинаторике или информатике иногда обозначается множество положительных целых чисел до n , при этом . ${\displaystyle [n]}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \{1,2,3,\ldots ,n\}}$ ${\displaystyle [0]=\emptyset }$

□[□]

Изображение подмножества : если S является подмножеством области определения функции f , то иногда используется для обозначения изображения S. Когда невозможно возникновение путаницы, обычно используется обозначение f(S). ${\displaystyle f[S]}$

[□, □]

1.   Замкнутый интервал : если a и b — действительные числа, такие, что , то обозначает замкнутый интервал, определяемый ими. ${\displaystyle a\leq b}$ ${\displaystyle [a,b]}$

2.   Коммутатор (теория групп) : если a и b принадлежат группе , то . ${\displaystyle [a,b]=a^{-1}b^{-1}ab}$

3.   Коммутатор (теория колец) : если a и b принадлежат кольцу , то . ${\displaystyle [a,b]=ab-ba}$

4. Обозначает скобку Ли , операцию алгебры Ли .

[□ : □]

1.   Степень расширения поля : если F является расширением поля E , то обозначает степень расширения поля . Например, . ${\displaystyle [F:E]}$ ${\displaystyle F/E}$ ${\displaystyle [\mathbb {C} :\mathbb {R} ]=2}$

2.   Индекс подгруппы : если H является подгруппой группы E , то обозначает индекс H в G. Также используется обозначение |G:H| ${\displaystyle [G:H]}$

[□, □, □]

Если x , y , z — векторы в , то может обозначать скалярное тройное произведение . ^[5] См. также (□,□,□) в § Скобки. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle [x,y,z]}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\Box &\cdots &\Box \\\vdots &\ddots &\vdots \\\Box &\cdots &\Box \end{bmatrix}}}$

Обозначает матрицу . Часто обозначается скобками.

Брекеты

{ }

Нотация для пустого множества , также обозначаемая символом ∅. ${\displaystyle \emptyset }$

{□}

1. Иногда используется как синоним (□) и [□] для избежания вложенных скобок.

2.   Обозначение конструктора множеств для одноэлементного множества : обозначает множество , в котором x является единственным элементом. ${\displaystyle \{x\}}$

{□, ..., □}

Обозначение построителя множества : обозначает множество , элементы которого перечислены в фигурных скобках и разделены запятыми.

{□ : □}
{□ | □}

Обозначение множества-строителя : если — предикат, зависящий от переменной x , то и то , и другое обозначают множество , образованное значениями x , для которых истинно. ${\displaystyle P(x)}$ ${\displaystyle \{x:P(x)\}}$ ${\displaystyle \{x\mid P(x)\}}$ ${\displaystyle P(x)}$

Одинарная скобка

1. Используется для подчеркивания того, что несколько уравнений следует рассматривать как одновременные уравнения , например, . ${\displaystyle \textstyle {\begin{cases}2x+y=1\\3x-y=1\end{cases}}}$

2.   Кусочное определение, например, . ${\displaystyle \textstyle |x|={\begin{cases}x&{\text{if }}x\geq 0\\-x&{\text{if }}x<0\end{cases}}}$

3. Используется для групповой аннотации элементов в формуле, например, , , ${\displaystyle \textstyle \underbrace {(a,b,\ldots ,z)} _{26}}$ ${\displaystyle \textstyle \overbrace {1+2+\cdots +100} ^{=5050}}$ ${\displaystyle \textstyle \left.{\begin{bmatrix}A\\B\end{bmatrix}}\right\}m+n{\text{ rows}}}$

Другие скобки

|□|

1.   Абсолютное значение : если x — действительное или комплексное число, обозначает его абсолютное значение. ${\displaystyle |x|}$

2. Количество элементов: Если S — множество , может обозначать его мощность , то есть количество его элементов. также часто используется, см. #. ${\displaystyle |S|}$ ${\displaystyle \#S}$

3. Длина отрезка прямой : если P и Q — две точки в евклидовом пространстве , то часто обозначает длину отрезка прямой, который они определяют, то есть расстояние от P до Q , и часто обозначается . ${\displaystyle |PQ|}$ ${\displaystyle d(P,Q)}$

4. Похожий оператор см. в разделе |.

| □:□ |

Индекс подгруппы : если H является подгруппой группы G , то обозначает индекс H в G. Также используется обозначение [G:H] ${\displaystyle |G:H|}$

${\displaystyle \textstyle {\begin{vmatrix}\Box &\cdots &\Box \\\vdots &\ddots &\vdots \\\Box &\cdots &\Box \end{vmatrix}}}$

${\displaystyle {\begin{vmatrix}x_{1,1}&\cdots &x_{1,n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\x_{n,1}&\cdots &x_{n,n}\end{vmatrix}}}$обозначает определитель квадратной матрицы . ${\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{1,1}&\cdots &x_{1,n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\x_{n,1}&\cdots &x_{n,n}\end{bmatrix}}}$

||□||

1. Обозначает норму элемента нормированного векторного пространства .

2. О похожем операторе с именем parallel см. ∥.

⌊□⌋

Функция пола : если x — действительное число, то это наибольшее целое число , которое не больше x . ${\displaystyle \lfloor x\rfloor }$

⌈□⌉

Функция потолка : если x — действительное число, то это наименьшее целое число , которое не меньше x . ${\displaystyle \lceil x\rceil }$

⌊□⌉

Функция ближайшего целого числа : если x — действительное число, то это целое число , которое ближе всего к x . ${\displaystyle \lfloor x\rceil }$

]□, □[

Открытый интервал : Если a и b — действительные числа, , или , и , то обозначает открытый интервал, ограниченный a и b. См. (□, □) для альтернативной записи. ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle +\infty }$ ${\displaystyle a<b}$ ${\displaystyle ]a,b[}$

(□, □]
]□, □]

Оба обозначения используются для левого открытого интервала .

[□, □)
[□, □[

Оба обозначения используются для правого открытого интервала .

⟨□⟩

1.   Сгенерированный объект : если S — это набор элементов в алгебраической структуре, часто обозначает объект, сгенерированный S . Если , то пишут (то есть фигурные скобки опускаются). В частности, это может обозначать ${\displaystyle \langle S\rangle }$ ${\displaystyle S=\{s_{1},\ldots ,s_{n}\}}$ ${\displaystyle \langle s_{1},\ldots ,s_{n}\rangle }$

• линейная прослойка в векторном пространстве (также часто обозначается Span( S ) ),
• сгенерированная подгруппа в группе ,
• сгенерированный идеал в кольце ,
• сгенерированный подмодуль в модуле .

2. Часто используется, в основном в физике, для обозначения ожидаемого значения . В теории вероятностей обычно используется вместо . ${\displaystyle E(X)}$ ${\displaystyle \langle S\rangle }$

⟨□, □⟩
⟨□ | □⟩

Оба символа и обычно используются для обозначения внутреннего произведения в пространстве внутренних произведений . ${\displaystyle \langle x,y\rangle }$ ${\displaystyle \langle x\mid y\rangle }$

${\displaystyle \langle \Box |{\text{ and }}|\Box \rangle }$

Обозначение Бракета или обозначение Дирака : если x и y являются элементами пространства внутреннего произведения , то — вектор, определяемый x , а — ковектор, определяемый y ; их внутреннее произведение равно . ${\displaystyle |x\rangle }$ ${\displaystyle \langle y|}$ ${\displaystyle \langle y\mid x\rangle }$

Символы, не входящие в формулы

В этом разделе перечисленные символы используются как некоторые виды знаков препинания в математических рассуждениях или как сокращения фраз естественного языка. Они, как правило, не используются внутри формулы. Некоторые использовались в классической логике для указания логической зависимости между предложениями, написанными на обычном языке. За исключением первых двух, они обычно не используются в печатных математических текстах, поскольку для удобства чтения обычно рекомендуется иметь по крайней мере одно слово между двумя формулами. Однако они по-прежнему используются на черной доске для указания связей между формулами.

■ , □

Используется для обозначения конца доказательства и отделения его от текущего текста. Аббревиатура Q.ED или QED ( лат . quod erat demonstrandum , «как должно было быть показано») часто используется для той же цели, как в заглавной, так и в строчной форме.

☡

Символ опасного изгиба Бурбаки : Иногда используется на полях, чтобы предостеречь читателей от серьезных ошибок, в которые они рискуют попасть, или чтобы отметить отрывок, который сложен при первом прочтении из-за особенно тонкого аргумента.

∴

Сокращение от «therefore». Расположенное между двумя утверждениями, оно означает, что первое подразумевает второе. Например: «Все люди смертны, и Сократ — человек. ∴ Сократ смертен».

∵

Сокращение от "because" или "since". Расположенное между двумя утверждениями, оно означает, что первое подразумевается вторым. Например: " 11 является простым числом ∵ оно не имеет положительных целых множителей, кроме себя и единицы".

∋

1. Сокращение от «such that». Например, обычно печатается « x such that ». ${\displaystyle x\ni x>3}$ ${\displaystyle x>3}$

2. Иногда используется для изменения порядка операндов ; то есть имеет то же значение, что и . См. ∈ в § Теория множеств. ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle S\ni x}$ ${\displaystyle x\in S}$

∝

Сокращение от «пропорционален».

Разнообразный

!

1.   Факториал : если n — положительное целое число , то n ! является произведением первых n положительных целых чисел и читается как «n факториал».

2.   Двойной факториал : если n — положительное целое число , то n !! является произведением всех положительных целых чисел до n с той же четностью, что и n , и читается как «двойной факториал n».

3.   Субфакториал : если n — положительное целое число, то ! n — количество нарушений в наборе из n элементов и читается как «субфакториал n».

*

Множество различных применений в математике; см. Asterisk § Математика .

|

1.   Делимость : если m и n — два целых числа, это означает, что m делит n без остатка. ${\displaystyle m\mid n}$

2. В нотации построения множеств он используется как разделитель, означающий «такой, что»; см. {□ | □}.

3.   Ограничение функции : если f — функция , а S — подмножество ее области определения , то функция с S в качестве области определения равна f на S. ${\displaystyle f|_{S}}$

4.   Условная вероятность : обозначает вероятность X при условии, что произойдет событие E. Также обозначается ; см. «/». ${\displaystyle P(X\mid E)}$ ${\displaystyle P(X/E)}$

5. Для получения информации о различных вариантах использования в качестве скобок (парами или с ⟨ и ⟩ ) см. § Другие скобки.

∤

Неделимость : означает, что n не является делителем m . ${\displaystyle n\nmid m}$

∥

1. Обозначает параллельность в элементарной геометрии : если PQ и RS — две прямые , это означает, что они параллельны. ${\displaystyle PQ\parallel RS}$

2.   Параллельно — арифметическая операция, используемая в электротехнике для моделирования параллельных резисторов : . ${\displaystyle x\parallel y={\frac {1}{{\frac {1}{x}}+{\frac {1}{y}}}}}$

3. Используется парами в виде скобок, обозначает норму ; см. ||□||.

4.   Конкатенация : обычно используется в информатике и представляет собой значение, полученное в результате добавления цифр y к концу x . ${\displaystyle x\mathbin {\vert \vert } y}$

5.   , обозначает статистическое расстояние или меру того, насколько одно распределение вероятностей P отличается от второго, эталонного распределения вероятностей Q. ${\displaystyle {\displaystyle D_{\text{KL}}(P\parallel Q)}}$

∦

Иногда используется для обозначения того, что две линии не параллельны; например, . ${\displaystyle PQ\not \parallel RS}$

${\displaystyle \perp }$

1. Обозначает перпендикулярность и ортогональность . Например, если A, B, C — три точки в евклидовом пространстве , то означает, что отрезки AB и AC перпендикулярны и образуют прямой угол . ${\displaystyle AB\perp AC}$

2. Похожий символ см. в ⊥ {\displaystyle \bot } .

⊙

Произведение Адамара степенных рядов : если и , то . Возможно, также используется вместо ○ для произведения Адамара матриц . ^{[ необходима цитата ]} ${\displaystyle \textstyle S=\sum _{i=0}^{\infty }s_{i}x^{i}}$ ${\displaystyle \textstyle T=\sum _{i=0}^{\infty }t_{i}x^{i}}$ ${\displaystyle \textstyle S\odot T=\sum _{i=0}^{\infty }s_{i}t_{i}x^{i}}$ ${\displaystyle \odot }$

Смотрите также

Похожие статьи

• Язык математики
• Математическая нотация
• Обозначения в теории вероятностей и статистике
• Физические константы

Связанные списки

• Список логических символов
• Список математических констант
• Таблица математических символов по дате введения
• Доска жирный шрифт
• Греческие буквы, используемые в математике, науке и технике
• Латинские буквы, используемые в математике, науке и технике
• Список общепринятых физических обозначений
• Список букв, используемых в математике, науке и технике
• Список математических сокращений
• Список типографских символов и знаков препинания
• ISO 31-11 (Математические знаки и символы для использования в физических науках и технологиях)
• Список функций APL

Юникодсимволы

• блок Юникода
• Математические буквенно-цифровые символы (блок Unicode)
• Список символов Unicode
• Буквоподобные символы
• Математические операторы и символы в Unicode
• Различные математические символы: A , B , технические
• Стрелка (символ) и прочие символы и стрелки
• Числовые формы
• Геометрические фигуры

Ссылки

1. ISO 80000-2 , Раздел 9 «Операции», 2-9.6
2. «Статистика и анализ данных: от элементарного до среднего уровня».
3. Летурно, Мэри; Райт Шарп, Дженнифер (2017). "Руководство по стилю AMS" (PDF) . Американское математическое общество . стр. 99.
4. Эквивалентом LaTeX для обоих символов Unicode ∘ и ○ является \circ. Символ Unicode, который имеет тот же размер, что и \circ, зависит от браузера и его реализации. В некоторых случаях ∘ настолько мал, что его можно спутать с точкой соединения , а ○ выглядит похоже на \circ. В других случаях ○ слишком велик для обозначения бинарной операции, и именно ∘ выглядит как \circ. Поскольку LaTeX обычно считается стандартом для математической типографики и не различает эти два символа Unicode, здесь они рассматриваются как имеющие одинаковое математическое значение.
5. Резерфорд, Д. Э. (1965). Векторные методы . Университетские математические тексты. Oliver and Boyd Ltd., Эдинбург.

Внешние ссылки

• Джефф Миллер: Раннее использование различных математических символов
• Numericana: Научные символы и значки
• Изображения GIF и PNG для математических символов
• Математические символы в Unicode
• Detexify: инструмент распознавания рукописного ввода LaTeX

Некоторые таблицы математических операторов и символов Unicode:

• Индекс символов Unicode
• Диапазон 2100–214F: Буквоподобные символы Unicode
• Диапазон 2190–21FF: Стрелки Unicode
• Диапазон 2200–22FF: математические операторы Unicode
• Диапазон 27C0–27EF: Различные математические символы Unicode–A
• Диапазон 2980–29FF: Различные математические символы Unicode–B
• Диапазон 2A00–2AFF: Дополнительные математические операторы Unicode

Некоторые перекрестные ссылки Unicode:

• Краткий список часто используемых символов LaTeX и полный список символов LaTeX
• Символы MathML — сортировка имен Unicode, HTML и MathML/TeX на одной странице
• Значения Unicode и имена MathML
• Значения Unicode и имена Postscript из исходного кода Ghostscript