Локально Хаусдорфово пространство

В математике , в области топологии , топологическое пространство называется локально хаусдорфовым, если каждая точка имеет окрестность , которая является хаусдорфовым пространством относительно топологии подпространства . ^[1]

Примеры и достаточные условия

• Каждое хаусдорфово пространство локально хаусдорфово.
• Существуют локально хаусдорфовы пространства, где последовательность имеет более одного предела. Этого никогда не может случиться для хаусдорфова пространства.
• Прямая с двумя началами является локально хаусдорфовой (фактически она локально метризуема ), но не хаусдорфовой.
• Этальное пространство для пучка дифференцируемых функций на дифференциальном многообразии не является хаусдорфовым, но локально хаусдорфово.
• Пусть будет множеством, заданным топологией частной точки с конкретной точкой Пространство локально хаусдорфово в точке , так как является изолированной точкой в ​​, а синглтон является хаусдорфовой окрестностью точки . Для любой другой точки любая окрестность ее содержит , и поэтому пространство локально хаусдорфово в точке . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p,}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \{p\}}$ ${\displaystyle p.}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle x.}$

Характеристики

Пространство локально хаусдорфово в точности тогда, когда его можно записать в виде объединения хаусдорфовых открытых подпространств. ^[2] А в локально хаусдорфовом пространстве каждая точка принадлежит некоторому плотному хаусдорфову открытому подпространству. ^[3]

Каждое локально хаусдорфово пространство есть T 1 . ^[4] Обратное в общем случае неверно. Например, бесконечное множество с кофинитной топологией есть пространство T 1 , которое не является локально хаусдорфовым.

Каждое локально хаусдорфово пространство является трезвым . ^[5]

Если — топологическая группа , локально хаусдорфова в некоторой точке , то — хаусдорфова. Это следует из того факта, что если существует гомеоморфизм из в себя, переносящий в , то — локально хаусдорфова в каждой точке, и, следовательно, является T 1 (а топологические группы T ₁ являются хаусдорфовыми). ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle x\in G,}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle y\in G,}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y,}$ ${\displaystyle G}$

Ссылки

1. Нифилд, Сьюзен Б. (1991), «Слабые произведения над локальной хаусдорфовой областью», Теория категорий (Комо, 1990) , Lecture Notes in Math., т. 1488, Springer, Берлин, стр. 298–305, doi :10.1007/BFb0084228, MR  1173020.
2. Нифилд, SB (1983). «Заметка о местной собственности Хаусдорфа». Cahiers de topologie et géométrie différentielle . 24 (1): 87–95. ISSN  2681-2398., Лемма 3.2
3. Baillif, Mathieu; Gabard, Alexandre (2008). «Многообразия: хаусдорфовость против однородности». Труды Американского математического общества . 136 (3): 1105–1111. arXiv : math/0609098 . doi : 10.1090/S0002-9939-07-09100-9 ., Лемма 4.2
4. Нифилд 1983, Предложение 3.4.
5. Нифилд 1983, Предложение 3.5.