Логарифмическое распределение

Дискретное распределение вероятностей

В теории вероятности и статистики логарифмическое распределение (также известное как логарифмическое распределение ряда или логарифмическое распределение ряда ) представляет собой дискретное распределение вероятностей, полученное из разложения ряда Маклорена.

${\displaystyle -\ln(1-p)=p+{\frac {p^{2}}{2}}+{\frac {p^{3}}{3}}+\cdots .}$

Отсюда получаем тождество

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {-1}{\ln(1-p)}}\;{\frac {p^{k}}{k}}=1.}$

Это приводит непосредственно к функции массы вероятности случайной величины, распределенной по закону Log( p ) :

${\displaystyle f(k)={\frac {-1}{\ln(1-p)}}\;{\frac {p^{k}}{k}}}$

для k  ≥ 1 и где 0 <  p  < 1. В силу вышеуказанного тождества распределение правильно нормализовано.

Кумулятивная функция распределения имеет вид

${\displaystyle F(k)=1+{\frac {\mathrm {B} (p;k+1,0)}{\ln(1-p)}}}$

где B — неполная бета-функция .

Пуассоновское распределение с распределенными по логарифму ( p ) случайными величинами имеет отрицательное биномиальное распределение . Другими словами, если N — случайная величина с распределением Пуассона , а X _i , i = 1, 2, 3, ... — бесконечная последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин, каждая из которых имеет распределение по логарифму ( p ), то

${\displaystyle \sum _{i=1}^{N}X_{i}}$

имеет отрицательное биномиальное распределение. Таким образом, отрицательное биномиальное распределение рассматривается как составное распределение Пуассона .

RA Fisher описал логарифмическое распределение в статье, в которой оно использовалось для моделирования относительной численности видов . ^[1]

Смотрите также

• Распределение Пуассона (также полученное из ряда Маклорена)

Ссылки

1. Фишер, РА; Корбет, А.С.; Уильямс, К.Б. (1943). «Соотношение между числом видов и числом особей в случайной выборке популяции животных» (PDF) . Журнал экологии животных . 12 (1): 42–58. doi :10.2307/1411. JSTOR  1411. Архивировано из оригинала (PDF) 2011-07-26.

Дальнейшее чтение

• Джонсон, Норман Ллойд; Кемп, Адриенн В.; Коц, Сэмюэл (2005). "Глава 7: Логарифмические и лагранжевы распределения". Одномерные дискретные распределения (3-е изд.). John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-27246-5.
• Вайсштейн, Эрик В. «Распределение логарифмических рядов». MathWorld .