скаляр Лоренца

Выражение, которое вычисляется как скаляр, инвариантный относительно любого преобразования Лоренца в физике.

В релятивистской теории физики скаляр Лоренца — это скалярное выражение, значение которого инвариантно относительно любого преобразования Лоренца . Скаляр Лоренца может быть получен, например , из скалярного произведения векторов или путем свертки тензоров. В то время как компоненты свернутых величин могут изменяться при преобразованиях Лоренца, скаляры Лоренца остаются неизменными.

Простой скаляр Лоренца в пространстве-времени Минковского — это пространственно-временное расстояние («длина» их разности) двух фиксированных событий в пространстве-времени. В то время как «позиционные» 4-векторы событий изменяются между различными инерциальными системами отсчета, их пространственно-временное расстояние остается инвариантным при соответствующем преобразовании Лоренца. Другими примерами скаляров Лоренца являются «длина» 4-скоростей (см. ниже) или кривизна Риччи в точке пространства-времени из общей теории относительности , которая является сверткой тензора кривизны Римана там.

Простые скаляры в специальной теории относительности

Длина радиус-вектора

Мировые линии для двух частиц с разными скоростями.

В специальной теории относительности местоположение частицы в 4-мерном пространстве-времени определяется выражением , где — местоположение частицы в 3-мерном пространстве, — скорость в 3-мерном пространстве, — скорость света . $${\displaystyle x^{\mu }=(ct,\mathbf {x} )}$$ ${\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {v} t}$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle c}$

«Длина» вектора является скаляром Лоренца и определяется выражением, где — собственное время, измеренное часами в системе покоя частицы, а метрика Минковского определяется выражением Это метрика, подобная времени. $${\displaystyle x_{\mu }x^{\mu }=\eta _{\mu \nu }x^{\mu }x^{\nu }=(ct)^{2}-\mathbf {x} \cdot \mathbf {x} \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ (c\tau )^{2}}$$ ${\displaystyle \tau }$ $${\displaystyle \eta ^{\mu \nu }=\eta _{\mu \nu }={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{pmatrix}}.}$$

Часто используется альтернативная сигнатура метрики Минковского , в которой знаки единиц меняются на противоположные. Это пространственноподобная метрика. $${\displaystyle \eta ^{\mu \nu }=\eta _{\mu \nu }={\begin{pmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}.}$$

В метрике Минковского пространственно-подобный интервал определяется как ${\displaystyle s}$ $${\displaystyle x_{\mu }x^{\mu }=\eta _{\mu \nu }x^{\mu }x^{\nu }=\mathbf {x} \cdot \mathbf {x} -(ct)^{2}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ s^{2}.}$$

В оставшейся части статьи мы используем пространственно-подобную метрику Минковского.

Длина вектора скорости

Векторы скорости в пространстве-времени для частицы с двумя различными скоростями. В теории относительности ускорение эквивалентно вращению в пространстве-времени

Скорость в пространстве-времени определяется как где $${\displaystyle v^{\mu }\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {dx^{\mu } \over d\tau }=\left(c{dt \over d\tau },{dt \over d\tau }{d\mathbf {x} \over dt}\right)=\left(\gamma c,\gamma {\mathbf {v} }\right)=\gamma \left(c,{\mathbf {v} }\right)}$$ $${\displaystyle \gamma \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {1 \over {\sqrt {1-{{\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} } \over c^{2}}}}}.}$$

Величина 4-скорости является скаляром Лоренца, $${\displaystyle v_{\mu }v^{\mu }=-c^{2}\,.}$$

Следовательно, ⁠ ⁠ ${\displaystyle c}$ — скаляр Лоренца.

Внутренний продукт ускорения и скорости

4-ускорение определяется как $${\displaystyle a^{\mu }\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {dv^{\mu } \over d\tau }.}$$

4-ускорение всегда перпендикулярно 4-скорости $${\displaystyle 0={1 \over 2}{d \over d\tau }\left(v_{\mu }v^{\mu }\right)={dv_{\mu } \over d\tau }v^{\mu }=a_{\mu }v^{\mu }.}$$

Поэтому мы можем рассматривать ускорение в пространстве-времени просто как вращение 4-скорости. Внутреннее произведение ускорения и скорости является скаляром Лоренца и равно нулю. Это вращение является просто выражением закона сохранения энергии: где — энергия частицы, а — 3-сила, действующая на частицу. $${\displaystyle {dE \over d\tau }=\mathbf {F} \cdot \mathbf {v} }$$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \mathbf {F} }$

Энергия, масса покоя, 3-импульс и 3-скорость из 4-импульса

4-импульс частицы равен, где — масса покоя частицы, — импульс в 3-мерном пространстве, — энергия частицы. $${\displaystyle p^{\mu }=mv^{\mu }=\left(\gamma mc,\gamma m\mathbf {v} \right)=\left(\gamma mc,\mathbf {p} \right)=\left({\frac {E}{c}},\mathbf {p} \right)}$$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \mathbf {p} }$ $${\displaystyle E=\gamma mc^{2}}$$

Энергия частицы

Рассмотрим вторую частицу с 4-скоростью и 3-скоростью . В системе покоя второй частицы внутреннее произведение с пропорционально энергии первой частицы, где индекс 1 указывает на первую частицу. ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \mathbf {u} _{2}}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle p}$ $${\displaystyle p_{\mu }u^{\mu }=-E_{1}}$$

Поскольку соотношение верно в системе покоя второй частицы, оно верно в любой системе отсчета. , энергия первой частицы в системе второй частицы, является скаляром Лоренца. Следовательно, в любой инерциальной системе отсчета, где по-прежнему есть энергия первой частицы в системе второй частицы. ${\displaystyle E_{1}}$ $${\displaystyle E_{1}=\gamma _{1}\gamma _{2}m_{1}c^{2}-\gamma _{2}\mathbf {p} _{1}\cdot \mathbf {u} _{2}}$$ ${\displaystyle E_{1}}$

Масса покоя частицы

В системе покоя частицы внутреннее произведение импульса равно $${\displaystyle p_{\mu }p^{\mu }=-(mc)^{2}\,.}$$

Следовательно, масса покоя ( m ) является скаляром Лоренца. Соотношение остается верным независимо от системы, в которой вычисляется скалярное произведение. Во многих случаях масса покоя записывается как , чтобы избежать путаницы с релятивистской массой, которая равна . ${\displaystyle m_{0}}$ ${\displaystyle \gamma m_{0}}$

3-импульс частицы

Обратите внимание, что $${\displaystyle \left({\frac {p_{\mu }u^{\mu }}{c}}\right)^{2}+p_{\mu }p^{\mu }={E_{1}^{2} \over c^{2}}-(mc)^{2}=\left(\gamma _{1}^{2}-1\right)(mc)^{2}=\gamma _{1}^{2}{\mathbf {v} _{1}\cdot \mathbf {v} _{1}}m^{2}=\mathbf {p} _{1}\cdot \mathbf {p} _{1}.}$$

Квадрат величины 3-импульса частицы, измеренной в системе отсчета второй частицы, является скаляром Лоренца.

Измерение 3-скорости частицы

3-скорость в системе отсчета второй частицы может быть построена из двух скаляров Лоренца $${\displaystyle v_{1}^{2}=\mathbf {v} _{1}\cdot \mathbf {v} _{1}={\frac {\mathbf {p} _{1}\cdot \mathbf {p} _{1}}{E_{1}^{2}}}c^{4}.}$$

Более сложные скаляры

Скаляры также могут быть построены из тензоров и векторов, из свертки тензоров (например , ) или комбинаций сверток тензоров и векторов (например, ). ${\displaystyle F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }}$ ${\displaystyle g_{\mu \nu }x^{\mu }x^{\nu }}$

Ссылки

• Мизнер, Чарльз; Торн, Кип С. и Уилер, Джон Арчибальд (1973). Гравитация . Сан-Франциско: WH Freeman. ISBN 0-7167-0344-0.
• Ландау, Л. Д. и Лифшиц, Э. М. (1975). Классическая теория полей (Четвертое пересмотренное английское издание). Оксфорд: Пергам. ISBN 0-08-018176-7.

Внешние ссылки

• Медиа, связанные с Лоренцевым скаляром на Wikimedia Commons