система Лоренца

Система обыкновенных дифференциальных уравнений с хаотическими решениями

Пример решения в аттракторе Лоренца при ρ  = 28 , σ  = 10 и β  =  ⁠8/3⁠

Система Лоренца — это система обыкновенных дифференциальных уравнений , впервые изученная математиком и метеорологом Эдвардом Лоренцом . Она примечательна тем, что имеет хаотические решения для определенных значений параметров и начальных условий. В частности, аттрактор Лоренца — это набор хаотических решений системы Лоренца. Термин « эффект бабочки » в популярных СМИ может происходить из реальных последствий аттрактора Лоренца, а именно, что крошечные изменения начальных условий развиваются по совершенно разным траекториям. Это подчеркивает, что хаотические системы могут быть полностью детерминированными и все же по своей сути непрактичными или даже не поддающимися прогнозированию в течение более длительных периодов времени. Например, даже небольшой взмах крыльев бабочки может направить атмосферу Земли на совершенно иную траекторию, в которой, например, ураган возникает там, где он в противном случае не возник бы (см. Седловые точки ). Форма самого аттрактора Лоренца, нанесенная на график в фазовом пространстве , также может напоминать бабочку.

Обзор

В 1963 году Эдвард Лоренц с помощью Эллен Феттер , которая отвечала за численное моделирование и рисунки, ^[1] и Маргарет Гамильтон , которая помогала в начальных числовых вычислениях, приведших к выводам модели Лоренца, ^[2] разработал упрощенную математическую модель атмосферной конвекции . ^[1] Модель представляет собой систему из трех обыкновенных дифференциальных уравнений, теперь известных как уравнения Лоренца:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}&=\sigma (y-x),\\[6pt]{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}&=x(\rho -z)-y,\\[6pt]{\frac {\mathrm {d} z}{\mathrm {d} t}}&=xy-\beta z.\end{aligned}}}$

Уравнения связывают свойства двумерного слоя жидкости, равномерно нагретого снизу и охлажденного сверху. В частности, уравнения описывают скорость изменения трех величин по времени: x пропорционален скорости конвекции, y — горизонтальному изменению температуры, а z — вертикальному изменению температуры. ^[3] Константы σ , ρ и β являются параметрами системы, пропорциональными числу Прандтля , числу Рэлея и определенным физическим размерам самого слоя. ^[3]

Уравнения Лоренца могут возникать в упрощенных моделях для лазеров , ^[4] динамо-машин , ^[5] термосифонов , ^[6] бесщеточных двигателей постоянного тока , ^[7] электрических цепей , ^[8] химических реакций ^[9] и прямого осмоса . ^[10] Уравнения Лоренца также являются определяющими уравнениями в пространстве Фурье для водяного колеса Малкуса . ^{[11] [12]} Водяное колесо Малкуса демонстрирует хаотическое движение, при котором вместо вращения в одном направлении с постоянной скоростью его вращение будет ускоряться, замедляться, останавливаться, менять направление и колебаться вперед и назад между комбинациями таких поведений непредсказуемым образом.

С технической точки зрения система Лоренца является нелинейной , апериодической, трехмерной и детерминированной . Уравнения Лоренца были предметом сотен исследовательских статей и по крайней мере одного исследования объемом в книгу. ^[3]

Анализ

Обычно предполагается, что параметры σ , ρ и β положительны. Лоренц использовал значения σ = 10 , β = ⁠8/3⁠ и ρ = 28. Система демонстрирует хаотическое поведение для этих (и близких) значений. ^[13]

Если ρ < 1, то существует только одна точка равновесия, которая находится в начале координат. Эта точка соответствует отсутствию конвекции. Все орбиты сходятся к началу координат, который является глобальным аттрактором , когда ρ < 1. [ ^14]

Бифуркация вил происходит при ρ = 1 , а при ρ > 1 появляются две дополнительные критические точки при Они соответствуют устойчивой конвекции. Эта пара точек равновесия устойчива только если $${\displaystyle \left({\sqrt {\beta (\rho -1)}},{\sqrt {\beta (\rho -1)}},\rho -1\right)\quad {\text{and}}\quad \left(-{\sqrt {\beta (\rho -1)}},-{\sqrt {\beta (\rho -1)}},\rho -1\right).}$$

${\displaystyle \rho <\sigma {\frac {\sigma +\beta +3}{\sigma -\beta -1}},}$

что может иметь место только для положительного ρ, если σ > β + 1. При критическом значении обе точки равновесия теряют устойчивость через субкритическую бифуркацию Хопфа . ^[15]

Когда ρ  = 28 , σ  = 10 и β  =  ⁠8/3⁠ , система Лоренца имеет хаотические решения (но не все решения хаотичны). Почти все начальные точки будут стремиться к инвариантному множеству – аттрактору Лоренца – странному аттрактору , фракталу и самовозбуждающемуся аттрактору относительно всех трех равновесий. Ее хаусдорфова размерность оценивается сверху по размерности Ляпунова (размерность Каплана-Йорка) как2,06 ± 0,01 ^[16] , а корреляционная размерность оценивается как2,05 ± 0,01 . ^[17] Точная формула размерности Ляпунова глобального аттрактора может быть найдена аналитически при классических ограничениях на параметры: ^{[18] [16] [19]}

${\displaystyle 3-{\frac {2(\sigma +\beta +1)}{\sigma +1+{\sqrt {\left(\sigma -1\right)^{2}+4\sigma \rho }}}}}$

Аттрактор Лоренца трудно анализировать, но действие дифференциального уравнения на аттрактор описывается довольно простой геометрической моделью. ^[20] Доказательство того, что это действительно так, является четырнадцатой проблемой в списке проблем Смейла . Эта проблема была первой, решенной Уориком Такером в 2002 году. ^[21]

Для других значений ρ система демонстрирует заузленные периодические орбиты. Например, при ρ = 99,96 она становится торическим узлом T (3,2) .

Подключение к карте палатки

Воссоздание результатов Лоренца, созданное на Mathematica . Точки над красной линией соответствуют лепесткам переключения системы.

На рисунке 4 своей статьи ^[1] Лоренц нанес на график относительное максимальное значение в направлении z, достигнутое системой, по сравнению с предыдущим относительным максимумом в направлении z . Эта процедура позже стала известна как карта Лоренца (не путать с графиком Пуанкаре , который отображает пересечения траектории с заданной поверхностью). Полученный график имеет форму, очень похожую на карту палатки . Лоренц также обнаружил, что когда максимальное значение z превышает определенную границу, система переключится на следующий лепесток. Объединив это с хаосом, который, как известно, демонстрирует карта палатки, он показал, что система переключается между двумя лепестками хаотично.

Обобщенная система Лоренца

За последние несколько лет ряд статей, посвященных многомерным моделям Лоренца, привели к созданию обобщенной модели Лоренца ^[22], которую можно упростить до классической модели Лоренца для трех переменных состояния или до следующей пятимерной модели Лоренца для пяти переменных состояния: ^[23] $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}&=\sigma (y-x),\\[6pt]{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}&=x(\rho -z)-y,\\[6pt]{\frac {\mathrm {d} z}{\mathrm {d} t}}&=xy-xy_{1}-\beta z,\\[6pt]{\frac {\mathrm {d} y_{1}}{\mathrm {d} t}}&=xz-2xz_{1}-d_{0}y_{1},\\[6pt]{\frac {\mathrm {d} z_{1}}{\mathrm {d} t}}&=2xy_{1}-4\beta z_{1}.\end{aligned}}}$$

Выбор параметра был применен для согласования с выбором других параметров. Подробности см. в ^{[22] [23]} ${\textstyle d_{0}={\dfrac {19}{3}}}$

Моделирование

Джулия Моделирование

симуляция Джулии

с помощью Plots # определить аттрактор Лоренца @kwdef mutable struct Lorenz dt :: Float64 = 0.02 σ :: Float64 = 10 ρ :: Float64 = 28 β :: Float64 = 8 / 3 x :: Float64 = 2 y :: Float64 = 1 z :: Float64 = 1 end                         шаг функции ! ( l :: Лоренц ) dx = l.σ * ( l.y - l.x ) ; l.x + = l.dt * dx dy = l.x * ( l.ρ - l.z ) - l.y ; l.y + = l.dt * dy dz = l.x * l.y - l.β * l.z ; l.z + = l.dt * dz конец​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​                                         аттрактор = Лоренц ()  # инициализируем 3D - график с 1 пустой серией plt = plot3d ( 1 , xlim = ( - 30,30 ) , ylim = ( - 30,30 ) , zlim = ( 0,60 ) , title = " Аттрактор Лоренца " , marker = 2 , )                     # создаем анимированный gif, добавляя новые точки на график, сохраняя каждый 10-й кадр @gif для i = 1 : 1500 шаг! ( attactor ) push! ( plt , attraction . x , attraction . y , attraction . z ) end every 10         

Моделирование клена

deq := [ diff ( x ( t ) , t ) = 10 * ( y ( t ) - x ( t )) , diff ( y ( t ) , t ) = 28 * x ( t ) - y ( t ) - x ( t ) * z ( t ) , diff ( z ( t ) , t ) = x ( t ) * y ( t ) - 8/3 * z ( t )] : с ( DEtools ) : DEplot3d ( deq , { x ( t ) , y ( t ) , z ( t ) } , t = 0 .. 100 , [ [ x ( 0 ) = 10 , y ( 0 ) = 10 , z ( 0 ) = 10 ]] , размер шага = 0,01 , x = - 20 .. 20 , y = - 25 .. 25 , z = 0 .. 50 , цвет линии = sin ( t * Pi / 3 ) , толщина = 1 , ориентация = [ - 40 , 80 ] , заголовок = `Хаотический аттрактор Лоренца` ) ;                                                                     

Максимальное моделирование

[ сигма , ро , бета ] : [ 10 , 28 , 8 / 3 ]$ eq : [ сигма * ( y - x ), x * ( rho - z ) - y , x * y - beta * z ]$ sol : rk ( eq , [ x , y , z ], [ 1 , 0 , 0 ], [ t , 0 , 50 , 1/100 ] )$ len : длина ( sol ) $ x : makelist ( sol [ k ][ 2 ], k , len )$ y : makelist ( sol [ k ][ 3 ], k , len )$ z : makelist ( sol [ k ][ 4 ], k , len )$ draw3d ( points_joined = true , point_type =- 1 , баллы ( x , y , z ), пропорциональные_оси = xyz )$                                  

Моделирование MATLAB

% Решить за интервал времени [0,100] с начальными условиями [1,1,1] % ''f'' — набор дифференциальных уравнений % ''a'' — массив, содержащий переменные x, y и z % ''t'' — переменная временисигма = 10 ; бета = 8/3 ; ро = 28 ; f = @( t , a ) [ - сигма * a ( 1 ) + сигма * a ( 2 ); ро * a ( 1 ) - a ( 2 ) - a ( 1 ) * a ( 3 ) ; - бета * a ( 3 ) + a ( 1 ) * a ( 2 )]; [ t , a ] = ode45 ( f ,[ 0100 ] ,[ 1111 ]); % Решатель ОДУ Рунге-Кутты 4-го/5-го порядка plot3 (a(:,1 ) , a ( : , 2 ) , a ( : , 3 ) )                         

Математическое моделирование

Стандартный способ:

тенденция = 50 ; eq = { x ' [ t ] == σ ( y [ t ] - x [ t ]), y ' [ t ] == x [ t ] ( ρ - z [ t ]) - y [ t ], z ' [ т ] == Икс [ т ] y [ т ] - β z [ т ]}; init = { x [ 0 ] == 10 , y [ 0 ] == 10 , z [ 0 ] == 10 }; парс = { σ -> 10 , ρ -> 28 , β - > 8/3 } ; { xs , ys , zs } = NDSolveValue [{ eq /. pars , init }, { x , y , z }, { t , 0 , tendency }]; ParametricPlot3D [{ xs [ t ], ys [ t ], zs [ t ]}, { t , 0 , tendency }]                                                           

Менее многословно:

lorenz = NonlinearStateSpaceModel [{{ σ ( y - x ), x ( ρ - z ) - y , x y - β z }, {}}, { x , y , z }, { σ , ρ , β }]; soln [ t_ ] = StateResponse [{ lorenz , { 10 , 10 , 10 } } , { 10 , 28 , 8/3 } , { t , 0 , 50 }]; ParametricPlot3D [ сольн [ т ], { т , 0 , 50 }]                                     

Моделирование Python

импортировать  matplotlib.pyplot  как  plt импортировать  numpy  как  npdef  lorenz ( xyz ,  * ,  s = 10 ,  r = 28 ,  b = 2,667 ): """  Параметры  ----------  xyz : массивоподобный, форма (3,)  Точка интереса в трехмерном пространстве.  s, r, b : float  Параметры, определяющие аттрактор Лоренца.  Возвращает  -------  xyz_dot : array, shape (3,)  Значения частных производных аттрактора Лоренца в *xyz*.  """  x ,  y ,  z  =  xyz  x_dot  =  s * ( y  -  x )  y_dot  =  r * x  -  y  -  x * z  z_dot  =  x * y  -  b * z  return  np . array ([ x_dot ,  y_dot ,  z_dot ])dt  =  0,01 num_steps  =  10000xyzs  =  np . empty (( num_steps  +  1 ,  3 ))  # Нужен еще один для начальных значений xyzs [ 0 ]  =  ( 0. ,  1. ,  1.05 )  # Задаем начальные значения # Шагаем по "времени", вычисляя частные производные в текущей точке # и используя их для оценки следующей точки для  i  в  диапазоне ( num_steps ):  xyzs [ i  +  1 ]  =  xyzs [ i ]  +  lorenz ( xyzs [ i ])  *  dt# Plot ax  =  plt.figure ( ) . add_subplot ( projection = '3d' )ax.plot ( * xyzs.T , lw = 0.6 ) ax.set_xlabel ( " Ось X " ) ax.set_ylabel ( " Ось Y " ) ax.set_zlabel ( " Ось Z " ) ax.set_title ( " Аттрактор Лоренца " ) plt . показать ()

Моделирование R

R-симуляция

библиотека ( deSolve ) библиотека ( plotly ) # параметры prm <- list ( sigma = 10 , rho = 28 , beta = 8/3 ) # начальные значения varini <- c ( X = 1 , Y = 1 , Z = 1 )                      Лоренц <- функция ( t , vars , prm ) { with ( as.list ( vars ), { dX <- prm $ sigma * ( Y - X ) dY <- X * ( prm $ rho - Z ) - Y dZ <- X * Y - prm $ beta * Z return ( list ( c ( dX , dY , dZ ))) }) }                            times <- seq ( from = 0 , to = 100 , by = 0.01 ) # вызвать решатель ode out <- ode ( y = varini , times = times , func = Lorenz , parms = prm )                       # для назначения цвета точкам gfill <- function ( repArr , long ) { rep ( repArr , ceiling ( long / length ( repArr )))[ 1 : long ] }      dout <- as.data.frame ( out )  dout $ color <- gfill ( rainbow ( 10 ), nrow ( dout ))   # Создание графики с помощью Plotly: plot_ly ( data = dout , x = ~ X , y = ~ Y , z = ~ Z , type = 'scatter3d' , mode = 'lines' , opacity = 1 , line = list ( width = 6 , color = ~ color , reverscale = FALSE ) )                              

Приложения

Модель атмосферной конвекции

Как показано в оригинальной статье Лоренца, ^[24] система Лоренца является уменьшенной версией более крупной системы, изученной ранее Барри Зальцманом. ^[25] Уравнения Лоренца выведены из приближения Обербека–Буссинеска к уравнениям, описывающим циркуляцию жидкости в мелком слое жидкости, равномерно нагреваемой снизу и равномерно охлаждаемой сверху. ^[26] Эта циркуляция жидкости известна как конвекция Рэлея–Бенара . Предполагается, что жидкость циркулирует в двух измерениях (вертикальном и горизонтальном) с периодическими прямоугольными граничными условиями. ^[27]

Уравнения в частных производных, моделирующие функцию потока и температуру системы, подвергаются спектральному приближению Галеркина : гидродинамические поля разлагаются в ряды Фурье, которые затем сильно усекаются до одного члена для функции потока и двух членов для температуры. Это сводит уравнения модели к набору из трех связанных нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений. Подробный вывод можно найти, например, в текстах по нелинейной динамике из Hilborn (2000), Приложение C; Bergé, Pomeau & Vidal (1984), Приложение D; или Shen (2016), ^[28] Дополнительные материалы.

Модель природы хаоса и порядка в атмосфере

Научное сообщество признает, что хаотические особенности, обнаруженные в низкоразмерных моделях Лоренца, могут представлять особенности атмосферы Земли ( ^{[29] [30] [31]} ), что приводит к утверждению, что «погода хаотична». Для сравнения, основываясь на концепции сосуществования аттракторов в обобщенной модели Лоренца ^[22] и исходной модели Лоренца ( ^{[32] [33]} ), Шен и его соавторы ^{[31] [34]} предложили пересмотренную точку зрения, согласно которой «погода обладает как хаосом, так и порядком с отчетливой предсказуемостью». Пересмотренная точка зрения, которая является надстройкой над общепринятой точкой зрения, используется для предположения, что «хаотические и регулярные особенности, обнаруженные в теоретических моделях Лоренца, могут лучше представлять особенности атмосферы Земли».

Решение 14-й проблемы Смейла

14-я проблема Смейла гласит: «Проявляют ли свойства аттрактора Лоренца свойства странного аттрактора ?». На проблему утвердительно ответил Уорик Такер в 2002 году. ^[21] Чтобы доказать этот результат, Такер использовал строгие числовые методы, такие как интервальная арифметика и нормальные формы . Сначала Такер определил поперечное сечение , которое поперечно разрезано траекториями потока. Из этого можно определить отображение первого возвращения , которое назначает каждому точку, где траектория первого пересекает . ${\displaystyle \Sigma \subset \{x_{3}=r-1\}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle x\in \Sigma }$ ${\displaystyle P(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \Sigma }$

Затем доказательство разделяется на три основных пункта, которые доказываются и подразумевают существование странного аттрактора. ^[35] Три пункта таковы:

• Существует область, инвариантная относительно отображения первого возвращения, то есть . ${\displaystyle N\subset \Sigma }$ ${\displaystyle P(N)\subset N}$
• Обратное отображение допускает прямое инвариантное коническое поле.
• Векторы внутри этого инвариантного конического поля равномерно расширяются производной обратного отображения. ${\displaystyle DP}$

Чтобы доказать первый пункт, мы замечаем, что поперечное сечение разрезается двумя дугами, образованными . ^[35] Такер покрывает местоположение этих двух дуг небольшими прямоугольниками , объединение этих прямоугольников дает . Теперь цель состоит в том, чтобы доказать, что для всех точек в поток вернет точки в , в . Чтобы сделать это, мы берем план ниже на небольшом расстоянии , затем, взяв центр и используя метод интегрирования Эйлера, можно оценить, куда поток принесет , что дает нам новую точку . Затем можно оценить, где точки в будут отображены в , используя разложение Тейлора, это дает нам новый прямоугольник с центром в . Таким образом, мы знаем, что все точки в будут отображены в . Цель состоит в том, чтобы применять этот метод рекурсивно, пока поток не вернется в , и мы получим прямоугольник в , так что мы знаем, что . Проблема в том, что наша оценка может стать неточной после нескольких итераций, поэтому Такер разбивает на меньшие прямоугольники , а затем применяет процесс рекурсивно. Другая проблема заключается в том, что при применении этого алгоритма поток становится более «горизонтальным», ^[35] что приводит к резкому увеличению неточности. Чтобы предотвратить это, алгоритм изменяет ориентацию поперечных сечений, становясь либо горизонтальными, либо вертикальными. ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle P(\Sigma )}$ ${\displaystyle R_{i}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \Sigma '}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle c_{i}}$ ${\displaystyle R_{i}}$ ${\displaystyle c_{i}}$ ${\displaystyle \Sigma '}$ ${\displaystyle c_{i}'}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \Sigma '}$ ${\displaystyle R_{i}'}$ ${\displaystyle c_{i}}$ ${\displaystyle R_{i}}$ ${\displaystyle R_{i}'}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle Rf_{i}}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle P(R_{i})\subset Rf_{i}}$ ${\displaystyle R_{i}'}$ ${\displaystyle R_{i,j}}$

Галерея

• 
  Решение в аттракторе Лоренца, построенное с высоким разрешением в плоскости xz .
• 
  Решение в аттракторе Лоренца, представленное в виде SVG .
• Анимация, демонстрирующая траектории множественных решений в системе Лоренца.
• 
  Решение в аттракторе Лоренца, представленное в виде металлической проволоки для демонстрации направления и трехмерной структуры.
• Анимация, демонстрирующая расхождение близких решений системы Лоренца.
• 
  Визуализация аттрактора Лоренца вблизи прерывистого цикла.
• 
  Две линии тока в системе Лоренца от ρ = 0 до ρ = 28 ( σ = 10 , β = ⁠8/3⁠ ).
• 
  Анимация системы Лоренца с ро-зависимостью.
• 
  Анимация аттрактора Лоренца в Brain Dynamics Toolbox. ^[36]

Смотрите также

• Гипотеза Идена о размерности Ляпунова
• Модель Лоренц 96
• Список хаотичных карт
• Теорема Такенса

Примечания

1. Лоренц (1963)
2. Лоренц (1960)
3. Воробей (1982)
4. Хакен (1975)
5. Кноблох (1981)
6. Горман, Видманн и Роббинс (1986)
7. Гемати (1994)
8. Куомо и Оппенгейм (1993)
9. Польша (1993)
10. Ценов (2014) ^{[ необходима ссылка ]}
11. Коларж и Гамбс (1992)
12. Мишра и Санги (2006)
13. Хирш, Смейл и Девани (2003), стр. 303–305
14. Хирш, Смейл и Девани (2003), стр. 306+307
15. Хирш, Смейл и Девани (2003), стр. 307–308.
16. Кузнецов, НВ; Мокаев, ТН; Кузнецова, ОА; Кудряшова, ЕВ (2020). "Система Лоренца: скрытая граница практической устойчивости и размерность Ляпунова". Нелинейная динамика . 102 (2): 713–732. doi : 10.1007/s11071-020-05856-4 .
17. Грассбергер и Прокачча (1983)
18. Леонов и др. (2016)
19. Кузнецов, Николай; Рейтманн, Фолькер (2021). Оценки размерности аттрактора для динамических систем: теория и вычисления. Cham: Springer.
20. Гукенхаймер, Джон; Уильямс, РФ (1 декабря 1979 г.). «Структурная устойчивость аттракторов Лоренца». Публикации Mathématiques de l'Institut des Hautes Études Scientifiques . 50 (1): 59–72. дои : 10.1007/BF02684769. ISSN  0073-8301. S2CID  55218285.
21. Такер (2002)
22. Шен, Бо-Вен (2019-03-01). «Агрегированная отрицательная обратная связь в обобщенной модели Лоренца». Международный журнал бифуркации и хаоса . 29 (3): 1950037–1950091. Bibcode : 2019IJBC...2950037S. doi : 10.1142/S0218127419500378 . ISSN  0218-1274. S2CID  132494234.
23. Shen, Bo-Wen (2014-04-28). "Нелинейная обратная связь в пятимерной модели Лоренца". Журнал атмосферных наук . 71 (5): 1701–1723. Bibcode :2014JAtS...71.1701S. doi :10.1175/jas-d-13-0223.1. ISSN  0022-4928. S2CID  123683839.
24. Лоренц (1963)
25. Зальцман (1962)
26. Лоренц (1963)
27. Лоренц (1963)
28. Шен, Б.-В. (2015-12-21). «Нелинейная обратная связь в шестимерной модели Лоренца: влияние дополнительного нагревательного члена». Нелинейные процессы в геофизике . 22 (6): 749–764. Bibcode : 2015NPGeo..22..749S. doi : 10.5194/npg-22-749-2015 . ISSN  1607-7946.
29. Гил, Майкл; Рид, Питер; Смит, Леонард (2010-07-23). ​​«Геофизические потоки как динамические системы: влияние экспериментов Хайда». Астрономия и геофизика . 51 (4): 4.28–4.35. Bibcode : 2010A&G....51d..28G. doi : 10.1111/j.1468-4004.2010.51428.x. ISSN  1366-8781.
30. Read, P. (1993). Применение хаоса к метеорологии и климату. В книге «Природа хаоса»; Маллин, Т., ред . Оксфорд, Великобритания: Oxford Science Publications. стр. 220–260. ISBN 0198539541.
31. Shen, Bo-Wen; Pielke, Roger; Zeng, Xubin; Cui, Jialin; Faghih-Naini, Sara; Paxson, Wei; Kesarkar, Amit; Zeng, Xiping; Atlas, Robert (12.11.2022). "Двойственная природа хаоса и порядка в атмосфере". Атмосфера . 13 (11): 1892. Bibcode : 2022Atmos..13.1892S. doi : 10.3390/atmos13111892 . ISSN  2073-4433.
32. Йорк, Джеймс А.; Йорк, Эллен Д. (1979-09-01). «Метастабильный хаос: переход к устойчивому хаотическому поведению в модели Лоренца». Журнал статистической физики . 21 (3): 263–277. Bibcode : 1979JSP....21..263Y. doi : 10.1007/BF01011469. ISSN  1572-9613. S2CID  12172750.
33. Шен, Бо-Вен; Пильке, РА; Цзэн, X.; Байк, Дж.-Дж.; Фаги-Наини, С.; Куй, Дж.; Атлас, Р.; Рейес, ТАЛ (2021), Скиадас, Христос Х.; Димотикалис, Яннис (ред.), «Является ли погода хаотичной? Сосуществование хаотических и нехаотических аттракторов в моделях Лоренца», 13-я Международная конференция по хаотическому моделированию и имитации , Труды Springer по сложности, Cham: Springer International Publishing, стр. 805–825, doi : 10.1007/978-3-030-70795-8_57, ISBN 978-3-030-70794-1, S2CID  245197840 , получено 2022-12-22
34. Шен, Бо-Вен; Пильке, Роджер А.; Цзэн, Сюбин; Байк, Чон-Джин; Фаги-Наини, Сара; Куй, Цзялинь; Атлас, Роберт (01.01.2021). «Является ли погода хаотичной?: Сосуществование хаоса и порядка в рамках обобщенной модели Лоренца». Бюллетень Американского метеорологического общества . 102 (1): E148–E158. Bibcode : 2021BAMS..102E.148S. doi : 10.1175/BAMS-D-19-0165.1 . ISSN  0003-0007. S2CID  208369617.
35. Виана (2000)
36. Хайтманн, С., Брейкспир, М (2017-2022) Brain Dynamics Toolbox. bdtoolbox.org doi.org/10.5281/zenodo.5625923

Ссылки

• Берже, Пьер; Помо, Ив; Видаль, Кристиан (1984). Порядок в хаосе: к детерминированному подходу к турбулентности . Нью-Йорк: John Wiley & Sons . ISBN 978-0-471-84967-4.
• Куомо, Кевин М.; Оппенгейм, Алан В. (1993). «Реализация схем синхронизированного хаоса с приложениями к коммуникациям». Physical Review Letters . 71 (1): 65–68. Bibcode :1993PhRvL..71...65C. doi :10.1103/PhysRevLett.71.65. ISSN  0031-9007. PMID  10054374.
• Горман, М.; Видман, П. Дж.; Роббинс, КА (1986). «Нелинейная динамика конвективной петли: количественное сравнение эксперимента с теорией». Physica D. 19 ( 2): 255–267. Bibcode : 1986PhyD...19..255G. doi : 10.1016/0167-2789(86)90022-9.
• Grassberger, P.; Procaccia, I. (1983). «Измерение странности странных аттракторов». Physica D. 9 ( 1–2): 189–208. Bibcode : 1983PhyD....9..189G. doi : 10.1016/0167-2789(83)90298-1.
• Хакен, Х. (1975). «Аналогия между высшими неустойчивостями в жидкостях и лазерами». Physics Letters A. 53 ( 1): 77–78. Bibcode : 1975PhLA...53...77H. doi : 10.1016/0375-9601(75)90353-9.
• Hemati, N. (1994). «Странные аттракторы в бесщеточных двигателях постоянного тока». IEEE Transactions on Circuits and Systems I: Fundamental Theory and Applications . 41 (1): 40–45. doi :10.1109/81.260218. ISSN  1057-7122.
• Хилборн, Роберт С. (2000). Хаос и нелинейная динамика: введение для ученых и инженеров (второе изд.). Oxford University Press . ISBN 978-0-19-850723-9.
• Хирш, Моррис В .; Смейл, Стивен ; Девани, Роберт (2003). Дифференциальные уравнения, динамические системы и введение в хаос (второе изд.). Бостон, Массачусетс: Academic Press . ISBN 978-0-12-349703-1.
• Кноблох, Эдгар (1981). «Хаос в сегментированном дисковом динамо». Physics Letters A. 82 ( 9): 439–440. Bibcode : 1981PhLA...82..439K. doi : 10.1016/0375-9601(81)90274-7.
• Коларж, Мирослав; Гамбс, Годфри (1992). «Теория экспериментального наблюдения хаоса во вращающемся водяном колесе». Physical Review A. 45 ( 2): 626–637. Bibcode : 1992PhRvA..45..626K. doi : 10.1103/PhysRevA.45.626. PMID  9907027.
• Леонов Г.А.; Кузнецов Н.В.; Коржеманова Н.А.; Кусакин, Д.В. (2016). «Формула размерности Ляпунова для глобального аттрактора системы Лоренца». Коммуникации в нелинейной науке и численном моделировании . 41 : 84–103. arXiv : 1508.07498 . Бибкод : 2016CNSNS..41...84L. doi :10.1016/j.cnsns.2016.04.032. S2CID  119614076.
• Лоренц, Эдвард Нортон (1963). «Детерминированный непериодический поток». Журнал атмосферных наук . 20 (2): 130–141. Bibcode :1963JAtS...20..130L. doi : 10.1175/1520-0469(1963)020<0130:DNF>2.0.CO;2 .
• Mishra, Aashwin; Sanghi, Sanjeev (2006). "Исследование асимметричного водяного колеса Малкуса: смещенные уравнения Лоренца". Хаос: междисциплинарный журнал нелинейной науки . 16 (1): 013114. Bibcode : 2006Chaos..16a3114M. doi : 10.1063/1.2154792. PMID  16599745.
• Пчелинцев, АН (2014). «Численное и физическое моделирование динамики системы Лоренца». Численный анализ и приложения . 7 (2): 159–167. doi :10.1134/S1995423914020098. S2CID  123023929.
• Poland, Douglas (1993). «Кооперативный катализ и химический хаос: химическая модель для уравнений Лоренца». Physica D. 65 ( 1): 86–99. Bibcode : 1993PhyD...65...86P. doi : 10.1016/0167-2789(93)90006-M.
• Saltzman, Barry (1962). "Конечная амплитуда свободной конвекции как задача начального значения — I". Журнал атмосферных наук . 19 (4): 329–341. Bibcode :1962JAtS...19..329S. doi : 10.1175/1520-0469(1962)019<0329:FAFCAA>2.0.CO;2 .
• Шен, Б.-В. (2015-12-21). «Нелинейная обратная связь в шестимерной модели Лоренца: влияние дополнительного нагревательного члена». Нелинейные процессы в геофизике . 22 (6): 749–764. doi :10.5194/npg-22-749-2015. ISSN 1607-7946.
• Sparrow, Colin (1982). Уравнения Лоренца: бифуркации, хаос и странные аттракторы . Springer.
• Такер, Уорик (2002). «Строгий решатель ОДУ и 14-я проблема Смейла» (PDF) . Основы вычислительной математики . 2 (1): 53–117. CiteSeerX  10.1.1.545.3996 . doi :10.1007/s002080010018. S2CID  353254.
• Ценов, Стефан (2014). «Странные аттракторы, характеризующие осмотическую нестабильность». arXiv : 1406.0979v1 [physics.flu-dyn].
• Виана, Марсело (2000). «Что нового о странных аттракторах Лоренца?». The Mathematical Intelligencer . 22 (3): 6–19. doi :10.1007/BF03025276. S2CID  121427433.
• Лоренц, Эдвард Н. (1960). "Статистическое предсказание решений динамических уравнений" (PDF) . Симпозиум по численному прогнозированию погоды в Токио . Архивировано из оригинала (PDF) 2019-05-23 . Получено 2020-09-16 .

Дальнейшее чтение

• GA Leonov & NV Kuznetsov (2015). «О различиях и сходствах в анализе систем Лоренца, Чена и Лу». Прикладная математика и вычисления . 256 : 334–343. arXiv : 1409.8649 . doi : 10.1016/j.amc.2014.12.132 .
• Пчелинцев, АН (2022). "О высокоточном методе исследования аттракторов динамических систем и систем взрывного типа". Математика . 10 (8): 1207. arXiv : 2206.08195 . doi : 10.3390/math10081207 .

Внешние ссылки

• «Аттрактор Лоренца», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Вайсштейн, Эрик В. «Аттрактор Лоренца». Математический мир .
• Аттрактор Лоренца Роба Морриса, Wolfram Demonstrations Project .
• Уравнение Лоренца Архивировано 2009-06-07 на Wayback Machine на planetmath.org
• Синхронизированный хаос и частные коммуникации, с Кевином Куомо. Реализация аттрактора Лоренца в электронной схеме.
• Интерактивная анимация аттрактора Лоренца (вам понадобится плагин Adobe Shockwave)
• 3D Attractors: программа для Mac для визуализации и исследования аттрактора Лоренца в 3 измерениях
• Аттрактор Лоренца, реализованный в аналоговой электронике
• Интерактивная анимация аттрактора Лоренца (реализовано в Ada с помощью GTK+. Исходники и исполняемый файл)
• Интерактивный веб-аттрактор Лоренца, созданный с использованием йодида