Уравнение Лугиато–Лефевера

Численные модели лазеров и большинства нелинейных оптических систем вытекают из уравнений Максвелла–Блоха (МБЭ). Этот полный набор дифференциальных уравнений в частных производных включает уравнения Максвелла для электромагнитного поля и полуклассические уравнения двухуровневых (или многоуровневых) атомов. По этой причине упрощенные теоретические подходы были разработаны для численного моделирования формирования лазерных пучков и их распространения с первых лет лазерной эры. ^[1] Приближение медленно меняющейся огибающей МБЭ следует из стандартного нелинейного волнового уравнения с нелинейной поляризацией в качестве источника: ^[2] ${\displaystyle \mathbf {P} ^{\text{NL}}}$

${\displaystyle \nabla ^{2}{\cal {E({\vec {r}},t)}}-{\frac {n^{2}}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}{\cal {E({\vec {r}},t)}}={\frac {1}{\varepsilon _{0}c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\mathbf {P} ^{\text{NL}},}$ где : ${\displaystyle {\cal {E}}({\vec {r}},t)\propto E({\vec {r}}_{\perp },z,t)e^{i(nk_{0})(z-ct)}+{\text{c.c.}}}$

в результате получается стандартное «параболическое» волновое уравнение:

${\displaystyle {\frac {\partial E}{\partial z}}+{\frac {\;\omega _{0}\ }{k_{0}c^{2}}}{\frac {\partial E}{\partial t}}-{\tfrac {1}{2k_{0}}}\ i\ \nabla _{\perp }^{2}E={\frac {1}{\varepsilon _{0}k_{0}c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\mathbf {P} ^{\text{NL}}~}$, при условиях:

${\displaystyle \displaystyle \left|\ \nabla ^{2}E\ \right|\ll \left|\ k_{0}\nabla E\ \right|}$  и .  ${\displaystyle \displaystyle \left|\ {\frac {\partial ^{2}E}{\partial t^{2}}}\ \right|\ll \left|\ \omega _{0}\,{\frac {\partial E}{\partial t}}\ \right|\ }$

Усреднение по продольной координате приводит к уравнению «среднего поля» Сучкова-Летохова (SLE), описывающему нестационарную эволюцию картины поперечных мод. ^[3] ${\displaystyle z}$

Модель, обычно называемая уравнением Лугиато–Лефевра (LLE), была сформулирована в 1987 году Луиджи Лугиато и Рене Лефевра ^[4] как парадигма спонтанного формирования узоров в нелинейных оптических системах. ^{[5] [6] [7]} Узоры возникают в результате взаимодействия когерентного поля, которое вводится в резонансную оптическую полость, со средой Керра , которая заполняет полость.

Одно и то же уравнение управляет двумя типами паттернов: стационарными паттернами, которые возникают в плоскостях, ортогональных по отношению к направлению распространения света ( поперечные паттерны ), и паттернами, которые формируются в продольном направлении ( продольные паттерны ), перемещаются вдоль полости со скоростью света в среде и вызывают последовательность импульсов на выходе полости.

Случай продольных паттернов неразрывно связан с явлением « частотных гребенок Керра » в микрорезонаторах, открытым в 2007 году Тобиасом Киппенбергом и его коллегами ^[8] , которое вызвало очень живой интерес, особенно из-за открывшихся им прикладных возможностей.

Уравнение LLE

На рисунке 1 показан световой луч, распространяющийся в направлении , а и являются поперечными направлениями. Если предположить, что электрическое поле как , где обозначает время, линейно поляризовано и, следовательно, может рассматриваться как скаляр, то мы можем выразить его в терминах медленно меняющейся нормализованной комплексной огибающей следующим образом ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle {\cal {E}}(x,y,z,t)}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle E(x,y,z,t)}$

Рисунок 1. Световой луч распространяется вдоль направления. и являются поперечными направлениями ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

${\displaystyle {\cal {E}}(x,y,z,t)\propto E(x,y,z,t)e^{i(\omega _{0}/{\tilde {c}})(z-{\tilde {c}}t)}+{\text{c.c.}}}$

где - частота светового пучка, инжектируемого в полость, и скорость света в среде Керра , заполняющей полость. Для определенности рассмотрим кольцевой резонатор (рис. 2) очень высокого качества (High-Q-резонатор). ${\displaystyle \omega _{0}}$ ${\displaystyle {\tilde {c}}}$

Рисунок 2. Вид сверху на кольцевую полость

В исходном LLE ^[4] предполагаются условия, при которых огибающая не зависит от продольной переменной (т.е. однородна вдоль полости), так что . Уравнение имеет вид ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle E=E(x,y,t)}$

${\displaystyle \nabla _{\perp }^{2}E={\frac {\partial ^{2}E}{\partial {\bar {x}}^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}E}{\partial {\bar {y}}^{2}}}}$

где и , являются нормированными временными и пространственными переменными, т. е . , , , причем - скорость затухания полости или ширина линии полости, дифракционная длина в полости. - параметр расстройки полости, причем - частота полости, ближайшая к . В правой части уравнения ( 1 ), - нормированная амплитуда входного поля, которое инжектируется в полость, второй - член затухания, третий - член расстройки, четвертый - кубический нелинейный член, учитывающий среду Керра, последний член с поперечным лапласианом описывает дифракцию в параксиальном приближении. Предполагается, что выполняются условия самофокусировки. ${\displaystyle {\bar {t}}}$ ${\displaystyle {\bar {x}}}$ ${\displaystyle {\bar {y}}}$ ${\displaystyle {\bar {t}}=\kappa t}$ ${\displaystyle {\bar {x}}=x/\ell _{d}}$ ${\displaystyle {\bar {y}}=y/\ell _{d}}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \ell _{d}}$ ${\displaystyle \theta =(\omega _{c}-\omega _{0})/\kappa }$ ${\displaystyle \omega _{c}}$ ${\displaystyle \omega _{0}}$ ${\displaystyle E_{\text{in}}}$ ${\displaystyle \nabla _{\perp }^{2}}$

Мы называем уравнение ( 1 ) поперечным LLE. Несколько лет спустя ^[4] была сформулирована продольная LLE, в которой дифракция заменена дисперсией. ^{[9] [10]} В этом случае предполагается, что огибающая не зависит от поперечных переменных и , так что . Продольная LLE имеет вид ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle E=E(z,t)}$

с , где зависит, в частности, от параметра дисперсии во втором порядке. Предполагаются условия аномальной дисперсии. Важным моментом является то, что после того, как получено путем решения уравнения ( 2 ), необходимо вернуться к исходным переменным и заменить на , так что стационарное решение, зависящее от - (стационарная модель), становится движущейся моделью (со скоростью ). ${\displaystyle {\bar {z}}=z/a}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle E({\bar {z}},{\bar {t}})}$ ${\displaystyle z,t}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z-{\tilde {c}}t}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle {\tilde {c}}}$

С математической точки зрения LLE представляет собой управляемое, затухающее, расстроенное нелинейное уравнение Шредингера .

Поперечный LLE ( 1 ) находится в 2D с пространственной точки зрения. В конфигурации волновода зависит только от одной пространственной переменной, скажем , а поперечный Лапласиан заменяется на и получается поперечный LLE в 1D. Продольный LLE ( 2 ) эквивалентен поперечному LLE в 1D. ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}E}{\partial {\bar {x}}^{2}}}}$

В некоторых работах, посвященных продольному случаю, рассматривается дисперсия за пределами второго порядка, так что уравнение ( 2 ) включает также члены с производными порядка выше второго по . ${\displaystyle {\bar {z}}}$

Единые стационарные решения. Связь соптическая бистабильность.Четырехволновое смешениеиформирование паттерна.

Рисунок 3. Стационарная кривая нормированной выходной интенсивности как функции нормированной входной интенсивности для . Стационарные состояния на участке с отрицательным наклоном неустойчивы. Стрелки показывают цикл гистерезиса, который охватывается при увеличении и затем уменьшении. ${\displaystyle |E|^{2}}$ ${\displaystyle |E_{\text{in}}|^{2}}$ ${\displaystyle \theta =4}$ ${\displaystyle |E_{\text{in}}|^{2}}$

Давайте сосредоточимся на случае, когда огибающая постоянна, т.е. на стационарных решениях, которые не зависят от всех пространственных переменных. Отбрасывая все производные в уравнениях ( 1 ) и ( 2 ) и взяв квадрат модуля , получим стационарное уравнение ${\displaystyle E}$

Если мы построим стационарную кривую как функцию , то получим кривую, показанную на рис.3. ${\displaystyle |E|^{2}}$ ${\displaystyle |E_{\text{in}}|^{2}}$ ${\displaystyle \theta >{\sqrt {3}}}$

Кривая имеет форму -, и существует интервал значений, где есть три стационарных состояния. Однако состояния, которые лежат в сегменте с отрицательным наклоном, нестабильны, так что в интервале есть два сосуществующих устойчивых стационарных состояния: это явление называется оптической бистабильностью . ^[11] Если входная интенсивность увеличивается, а затем уменьшается, то охватывается цикл гистерезиса. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle |E_{\text{in}}|^{2}}$ ${\displaystyle |E_{\text{in}}|^{2}}$

Если обратиться к модам пустой полости, то в случае однородных стационарных решений, описываемых уравнением ( 3 ), электрическое поле является одномодовым, соответствующим моде частоты, квазирезонансной с входной частотой . ${\displaystyle \omega _{c}}$ ${\displaystyle \omega _{0}}$

В поперечной конфигурации уравнения ( 1 ) в случае этих стационарных решений E соответствует одномодовой плоской волне с , где и — поперечные компоненты волнового вектора, точно так же, как и входное поле . ${\displaystyle e^{i(k_{x}x+k_{y}y)}}$ ${\displaystyle k_{x}=k_{y}=0}$ ${\displaystyle k_{x}}$ ${\displaystyle k_{y}}$ ${\displaystyle E_{\text{in}}}$

Кубическая нелинейность Керра уравнений ( 1 ) и ( 2 ) приводит к четырехволновому смешению (ЧВС), которое может генерировать другие моды, так что огибающая демонстрирует пространственную картину: в поперечной плоскости в случае уравнения ( 1 ), вдоль полости в случае уравнения ( 2 ). ${\displaystyle E}$

Поперечные узоры ирезонаторные солитоны

В поперечном случае уравнения ( 1 ) картина возникает из-за взаимодействия FWM и дифракции. FWM может привести, например, к процессам, в которых пары фотонов с поглощаются и, одновременно, система испускает пары фотонов с , и , таким образом, что полная энергия фотонов и их полный импульс сохраняются (рис.4). ${\displaystyle k_{x}=k_{y}=0}$ ${\displaystyle k_{x}={\bar {k}}_{x}}$ ${\displaystyle k_{y}=0}$ ${\displaystyle k_{x}=-{\bar {k}}_{x}}$ ${\displaystyle k_{y}=0}$

Рисунок 4. Процесс четырехволнового смешения, в котором поглощаются два фотона с и испускаются два фотона с и . , и являются компонентами волновых векторов. ${\displaystyle k_{x}=k_{y}=0}$ ${\displaystyle k_{x}={\bar {k}}_{x},k_{y}=0}$ ${\displaystyle k_{x}=-{\bar {k}}_{x},k_{y}=0}$ ${\displaystyle k_{x}}$ ${\displaystyle k_{y}}$ ${\displaystyle k_{z}}$

На самом деле в игру вступают дальнейшие процессы FWM, так что принимается конфигурация гексагонального узора ^[12] (см. рис. 5). ${\displaystyle E(x,y)}$

Рисунок 5. Типичная конфигурация узора, которая возникает в поперечных плоскостях на выходе, представляет собой шестиугольный узор.

Шаблон отображает упорядоченный массив пиков интенсивности. Можно также генерировать изолированные пики интенсивности, ^[13] , которые называются солитонами полости (см. рис. 6). Поскольку солитоны полости могут быть «записаны» и «стерты» один за другим в поперечной плоскости, как на доске, они представляют большой интерес для приложений в оптической обработке информации и телекоммуникациях.

Рисунок 6. Типичный солитон полости Керра в поперечной плоскости, демонстрирующий яркий пик на темном фоне с дифракционными кольцами.

Продольные паттерны и солитоны полости

В продольном случае уравнения ( 2 ) закономерности возникают из-за взаимодействия между FWM и дисперсией. FWM может приводить, например, к процессам, в которых пары фотонов продольной моды, квазирезонансной с поглощаются, и одновременно система испускает пары фотонов, соответствующие резонаторным модам, симметрично соседствующим с квазирезонансной модой, таким образом, что полная энергия фотона, а также полный продольный импульс фотона сохраняются. ${\displaystyle \omega _{0}}$

Рисунок 7. Пример продольного рисунка, который распространяется вдоль полости со скоростью света в среде и вызывает периодическую последовательность импульсов на выходе.

На рисунке 7 показан пример паттернов, которые генерируются и перемещаются вдоль полости и из полости. Как и в поперечном случае, в продольной конфигурации могут генерироваться один или несколько солитонов полости Керра; ​​на рисунке 8 показан случай одного солитона полости, который циркулирует в полости и производит последовательность узких импульсов на выходе. Такие солитоны были впервые обнаружены в волоконном резонаторе. ^[14]

Рисунок 8. Продольные солитоны полости Керра.

Важно отметить, что нестабильность, которая порождает продольные паттерны и солитоны полости в LLE, является частным случаем многомодовой нестабильности оптической бистабильности, предсказанной Бонифацио и Лугиато в ^[15] и впервые экспериментально обнаруженной в ^{[16] .}

Микрорезонаторные керровские частотные гребенки и резонаторные солитоны

Оптические частотные гребни представляют собой эквидистантный набор лазерных частот, которые могут использоваться для подсчета циклов света. Эта техника, введенная Теодором Хэншем ^[17] и Джоном Холлом ^[18] с использованием лазеров с синхронизацией мод , привела к множеству применений. Работа ^[8] продемонстрировала реализацию широкополосных оптических частотных гребней, использующих моды шепчущей галереи, активированные полем непрерывного лазера, введенным в высокодобротный микрорезонатор, заполненный средой Керра, что приводит к возникновению FWM. С тех пор частотные гребни Керра (KFC), полоса пропускания которых может превышать октаву с частотой повторения в диапазоне от микроволн до ТГц, были созданы в самых разных микрорезонаторах; обзоры по этой теме см., например, в ^{[19] [20].} Они предлагают значительный потенциал для миниатюризации и фотонной интеграции в масштабе чипа, а также для снижения мощности. Сегодня генерация KFC является зрелой областью, и эта технология применяется в нескольких областях, включая когерентную телекоммуникацию, спектроскопию, атомные часы, а также лазерную локацию и калибровку астрофизических спектрометров.

Ключевым стимулом для этих разработок стала реализация солитонов полости Керра в микрорезонаторах ^[21] , что открыло возможность использования солитонов полости Керра в фотонных интегрированных микрорезонаторах.

Продольный LLE ( 2 ) обеспечивает пространственно-временную картину вовлеченных явлений, но со спектральной точки зрения его решения соответствуют KFC. Связь между темой оптического KFC и LLE была теоретически разработана в. ^{[21] [22] [23] [24] [25]} Эти авторы показали, что LLE (или обобщения, включающие члены дисперсии более высокого порядка) является моделью, которая описывает генерацию KFC и способна предсказывать их свойства при изменении параметров системы. Спонтанное образование пространственных узоров и солитонов, перемещающихся вдоль полости, описываемой LLE, является пространственно-временным эквивалентом частотных гребенок и управляет их характеристиками. Довольно идеализированные условия, предполагаемые при формулировке LLE, особенно условие высокой добротности, были прекрасно материализованы впечатляющим технологическим прогрессом, который произошел в то же время в области фотоники и привел, в частности, к открытию KFC.

Уравнение Сучкова-Летохова

Усреднение по продольной координате приводит к уравнению СЛЭ «среднего поля» , в котором продольная производная отсутствует: ${\displaystyle z}$

${\displaystyle {\frac {\;\omega _{0}\ }{k_{0}c^{2}}}{\frac {\partial E}{\partial t}}-{\tfrac {1}{2k_{0}}}\ i\ \nabla _{\perp }^{2}E={\frac {1}{\varepsilon _{0}k_{0}c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\mathbf {P} ^{\text{NL}}~}$.

Строгая процедура ^[26] продемонстрировала, что этот предшественник LLE применим к моделированию нестационарной эволюции поперечной модовой картины в дисковом лазере (1966). При условии стационарной керровской нелинейности SLE сводится к LLE .

Квантовые аспекты

Два фотона, которые, как показано на рис. 4, испускаются в симметрично наклонных направлениях в процессе FWM, находятся в состоянии квантовой запутанности : они точно коррелируют, например, по энергии и импульсу. Этот факт является фундаментальным для квантовых аспектов оптических паттернов. Например, разница между интенсивностями двух симметричных пучков сжата, т.е. проявляет флуктуации ниже уровня дробового шума; ^[27] продольный аналог этого явления наблюдался экспериментально в KFC. ^[28] В свою очередь, такие квантовые аспекты являются базовыми для области квантовой визуализации . ^{[29] [30]}

Обзорные статьи

Для обзоров по теме LLE см. также. ^{[31] [32] [33]}

Смотрите также

• Четырехволновое смешение
• Частотная гребенка
• Гребень частоты Керра
• Нелинейное уравнение Шредингера
• Оптическая бистабильность
• Формирование паттерна
• Дисковый лазер

Ссылки

1. Зигман, Энтони Э. (1986). Лазеры . Университетские научные книги. п. 2. ISBN 978-0-935702-11-8.
2. Крюков, П. Г.; Летохов, В. С. (1970). «Распространение светового импульса в резонансно усиливающей (поглощающей) среде». Успехи физики 12 (5): 641–672. doi :10.1070/PU1970v012n05ABEH003957.
3. Сучков, АФ (1966). "Влияние неоднородностей на режим работы твердотельных лазеров". ЖЭТФ АН СССР . 22 (5): 1026. Bibcode :1966ЖЭТФ...22.1026S.
4. Lugiato, LA; Lefever, R. (1987). «Пространственные диссипативные структуры в пассивных оптических системах». Physical Review Letters . 58 (21): 2209–2211. Bibcode : 1987PhRvL..58.2209L. doi : 10.1103/PhysRevLett.58.2209. PMID  10034681.
5. Turing, AM. (1952). «Химическая основа морфогенеза». Philosophical Transactions of the Royal Society of London B: Biological Sciences . 237 (641): 37–72. Bibcode :1952RSPTB.237...37T. doi : 10.1098/rstb.1952.0012 .
6. Николис, Г.; Пригожин, И. (1977). Самоорганизация в неравновесных системах. От диссипативных структур к порядку через флуктуации . Wiley, Нью-Йорк. ISBN 978-0471024019.
7. Хакен, Х. (1983). Самоорганизация в неравновесных системах. От диссипативных структур к порядку через флуктуации . Берлин: Springer Verlag. ISBN 978-3-642-88338-5.
8. Del'Haye, P. ; Schliesser, A.; Arcizet, O.; Wilken, T.; Holzwarth, R.; Kippenberg, TJ (2007). "Генерация оптической частотной гребенки из монолитного микрорезонатора". Nature . 450 (7173): 1214–1217. arXiv : 0708.0611 . Bibcode :2007Natur.450.1214D. doi :10.1038/nature06401. PMID  18097405. S2CID  4426096.
9. Haelterman, M.; Trillo, S.; Wabnitz, S. (1992). «Диссипативная модуляционная неустойчивость в нелинейном дисперсионном кольцевом резонаторе». Optics Communications . 91 (5–6): 401–407. Bibcode : 1992OptCo..91..401H. doi : 10.1016/0030-4018(92)90367-Z.
10. Брамбилла, М.; Кастелли, Ф.; Гатти, А.; Луджиато, Луизиана; Прати, Ф. (1993). «Неустойчивости и снижение квантового шума в нелинейно-оптическом смешении». Труды СУССП . 41 : 115–136.
11. Гиббс, Х. М. (1985). Оптическая бистабильность: управление светом светом . Academic Press, Inc., Орландо, Флорида. ISBN 978-0122819407.
12. Gomila, D.; Jacobo, A.; Matias, MA; Colet, P. (2007). "Структура фазового пространства двумерных возбудимых локализованных структур" (PDF) . Physical Review E . 75 (2): 026217. arXiv : nlin/0703011 . Bibcode :2007PhRvE..75b6217G. doi :10.1103/PhysRevE.75.026217. hdl :10261/6146. PMID  17358415. S2CID  38460064.
13. Scroggie, AJ; Firth, WJ; McDonald s, GS; Tlidi, M.; Lugiato, LA; Lefever, R. (1994). «Формирование узора в пассивной полости Керра». Хаос, солитоны и фракталы . 4 (8–9): 1323–1354. Bibcode :1994CSF.....4.1323S. CiteSeerX 10.1.1.594.1475 . doi :10.1016/0960-0779(94)90084-1. 
14. Лео, Ф.; Коэн, С.; Кокерт, П.; Горза, СП; Эмплит, П.; Хельтерман, М. (2010). «Временные резонаторные солитоны в одномерных средах Керра как биты в полностью оптическом буфере». Nature Photonics . 4 (7): 471–476. Bibcode :2010NaPho...4..471L. doi :10.1038/nphoton.2010.120.
15. Бонифачо, Р.; Лугиато, Л.А. (1978). «Неустойчивости когерентно управляемого поглотителя в кольцевой полости». Lettere al Nuovo Cimento . 21 (15): 510–516. doi :10.1007/bf02763162. S2CID  120619908.
16. Segard, B.; Macke, B. (1988). «Самопульсация в собственной оптической бистабильности с двухуровневыми молекулами». Physical Review Letters . 60 (5): 412–415. Bibcode : 1988PhRvL..60..412S. doi : 10.1103/PhysRevLett.60.412. PMID  10038540.
17. Udem, T.; Holzwarth, R.; Hänsch t, ​​TW (2002). "Оптическая частотная метрология". Nature . 416 (6877): 233–237. Bibcode :2002Natur.416..233U. doi :10.1038/416233a. hdl : 11858/00-001M-0000-000F-C239-D . PMID  11894107. S2CID  4416086.
18. Джонс, DJ; Диддамс, SA; Ранка, JK; Стенц, A.; Винделер, RS; Холл, JL; Кердифф, ST (2000). «Управление фазой несущей-огибающей фемтосекундных лазеров с синхронизацией мод и прямой оптический синтез частоты». Science . 288 (5466): 635–639. Bibcode :2000Sci...288..635J. doi :10.1126/science.288.5466.635. PMID  10784441.
19. Herr, T.; Gorodetsky, ML; Kippenberg, TJ (2015). "Глава 6: Диссипативные солитоны Керра в оптических микрорезонаторах". В Grelu, Philippe (ред.). Nonlinear Optical Cavity Dynamics: From Microresonators to Fiber Lasers . Wiley-VCH Verlag GmbH. стр. 129–162. arXiv : 1508.04989 . doi : 10.1002/9783527686476.ch6. ISBN 9783527413324.
20. Chembo, YK (2016). «Оптические частотные гребенки Керра: теория, применение и перспективы». Нанофотоника . 5 (2): 214–230. Bibcode : 2016Nanop...5...13C. doi : 10.1515/nanoph-2016-0013 .
21. Herr, T.; Brasch, V.; Jost, JD; Wang, CY; Kondratiev, NM; Gorodetsky, ML; Kippenberg, TJ (2014). «Временные солитоны в оптических микрорезонаторах». Nature Photonics . 8 (2): 145–152. arXiv : 1211.0733 . Bibcode :2014NaPho...8..145H. doi :10.1038/nphoton.2013.343. S2CID  118546909.
22. Matsko, AB; Savchenkov, AA; Liang, W.; Ilchenko, VS; Seidel, D.; Maleki, L. (2011). "Mode-locked Kerr frequency combs". Optics Letters . 36 (15): 2845–7. Bibcode :2011OptL...36.2845M. doi :10.1364/OL.36.002845. PMID  21808332.
23. Herr, T.; Brasch, V.; Gorodetsky, ML; Kippenberg, TJ (2012). «Синхронизация солитонных мод в оптических микрорезонаторах». arXiv : 1211.0733v1 [physics.optics].(версия arXiv Ref.18)
24. Chembo, YK; Menyuk, CR (2013). "Пространственно-временной формализм Лугиато-Лефевера для генерации гребня Керра в резонаторах с модами шепчущей галереи". Physical Review A. 87 ( 5): 053852. arXiv : 1210.8210 . Bibcode : 2013PhRvA..87e3852C. doi : 10.1103/PhysRevA.87.053852. S2CID  16050188.
25. Coen, S.; Randle, HG; Sylvestre, T.; Erkintalo, M. (2013). «Моделирование октавных частотных гребенок Керра с использованием обобщенной модели среднего поля Лугиато-Лефевера». Optics Letters . 38 (1): 37–39. arXiv : 1211.1697 . Bibcode :2013OptL...38...37C. doi :10.1364/OL.38.000037. PMID  23282830. S2CID  7248349.
26. Летохов, ВС; Сучков, АФ (1966). "Динамика генерации гигантского когерентного светового импульса". Sov. Phys. JETP . 23 (4): 764. Bibcode : 1966JETP...23..764L.
27. Лугиато, ЛА; Кастелли, Ф. (1992). «Квантовое шумоподавление в пространственной диссипативной структуре». Physical Review Letters . 68 (22): 3284–3286. Bibcode :1992PhRvL..68.3284L. doi :10.1103/PhysRevLett.68.3284. PMID  10045663.
28. Датт, А.; Люк, К.; Манипатруни, С.; Гаэта, А. Л .; Нуссенцвейг, П.; Липсон, М. (2015). «Оптическое сжатие на кристалле». Physical Review Applied . 3 (4): 044005. arXiv : 1309.6371 . Bibcode : 2015PhRvP...3d4005D. doi : 10.1103/PhysRevApplied.3.044005. S2CID  16013174.
29. Гатти, А.; Брамбилла, Э.; Лугиато, Луизиана (2008). Вольф, Э. (ред.). Квантовая визуализация . Прогресс в оптике. Том. ЛИ. стр. 251–348. doi : 10.1016/S0079-6638(07)51005-X. ISBN 9780444532114.
30. Колобов, МИ (1999). «Пространственное поведение неклассического света». Reviews of Modern Physics . 71 (5): 1539–1589. Bibcode :1999RvMP...71.1539K. doi :10.1103/RevModPhys.71.1539.
31. Луджиато, Луизиана; Прати, Ф.; Брамбилла, М. (2015). «Глава 28: Модель Луджиато Лефевера». Нелинейные оптические системы . Издательство Кембриджского университета. дои : 10.1017/CBO9781107477254.032. ISBN 9781107477254.
32. Кастелли, Ф.; Брамбилла, М.; Гатти, М.; Прати, Ф.; Лугиато, Луизиана (2017). «LLE, формирование паттернов и новый когерентный источник» (PDF) . Европейский физический журнал Д. 71 (4): 84. Бибкод : 2017EPJD...71...84C. doi : 10.1140/epjd/e2017-70754-1. hdl : 2434/502714 . S2CID  126088543.
33. Лугиато, ЛА; Прати, Ф.; Городецкий, МЛ; Киппенберг, Т.Дж. «От LLE к солитонным керровским частотным гребенкам на основе микрорезонаторов». Философские труды Лондонского королевского общества .