Польское пространство

В математической дисциплине общей топологии польское пространство — это сепарабельное полностью метризуемое топологическое пространство ; то есть пространство, гомеоморфное полному метрическому пространству , имеющему счетное плотное подмножество. Польские пространства так называются, потому что они были впервые широко изучены польскими топологами и логиками — Серпинским , Куратовским , Тарским и другими. Однако польские пространства в основном изучаются сегодня, потому что они являются основной средой для дескриптивной теории множеств , включая изучение отношений эквивалентности Бореля . Польские пространства также являются удобной средой для более продвинутой теории меры , в частности, в теории вероятностей .

Распространенными примерами польских пространств являются вещественная прямая , любое сепарабельное банахово пространство , пространство Кантора и пространство Бэра . Кроме того, некоторые пространства, которые не являются полными метрическими пространствами в обычной метрике, могут быть польскими; например, открытый интервал $(0, 1)$ является польским.

Между любыми двумя несчетными польскими пространствами существует изоморфизм Бореля ; то есть биекция , сохраняющая структуру Бореля. В частности, каждое несчетное польское пространство имеет мощность континуума .

Пространства Лузина , пространства Суслина и пространства Радона являются обобщениями польских пространств.

Характеристики

Каждое польское пространство является вторично счетным (в силу того, что оно сепарабельно и метризуемо). ^[1]
Подпространство $Q$ польского пространства $P$ является польским (в индуцированной топологии) тогда и только тогда, когда $Q$ является пересечением последовательности открытых подмножеств $P$ (т. е. $Q$ является $G δ$ -множеством). ^[2]
( Теорема Кантора–Бендиксона ) Если $X$ является польским, то любое замкнутое подмножество $X$ может быть записано как дизъюнктное объединение совершенного множества и счетного множества. Кроме того, если польское пространство $X$ является несчетным, его можно записать как дизъюнктное объединение совершенного множества и счетного открытого множества.
Каждое польское пространство гомеоморфно $G δ$ -подмножеству куба Гильберта (то есть $I N$ , где $I$ — единичный интервал, а $N$ — множество натуральных чисел). ^[3]

Следующие пространства являются польскими:

замкнутые подмножества польского пространства,
открытые подмножества польского пространства,
произведения и непересекающиеся объединения счетных семейств польских пространств,
локально компактные пространства, которые метризуемы и счетны на бесконечности ,
счетные пересечения польских подпространств хаусдорфова топологического пространства,
множество иррациональных чисел с топологией, индуцированной стандартной топологией действительной прямой.

Характеристика

Существует множество характеристик, которые говорят, когда топологическое пространство, поддающееся секундной счетности, метризуемо, например, теорема Урысона о метризации . Проблема определения того, является ли метризуемое пространство полностью метризуемым, более сложна. Топологическим пространствам, таким как открытый единичный интервал (0,1), можно задать как полные метрики, так и неполные метрики, порождающие их топологию.

Существует характеристика полных сепарабельных метрических пространств в терминах игры, известной как сильная игра Шоке . Сепарабельное метрическое пространство полностью метризуемо тогда и только тогда, когда у второго игрока есть выигрышная стратегия в этой игре.

Вторая характеристика следует из теоремы Александрова. Она утверждает, что сепарабельное метрическое пространство вполне метризуемо тогда и только тогда, когда оно является подмножеством своего пополнения в исходной метрике. $G_{\delta}$

Польские метрические пространства

Хотя польские пространства метризуемы, они сами по себе не являются метрическими пространствами ; каждое польское пространство допускает множество полных метрик, порождающих одну и ту же топологию, но ни одна из них не выделяется и не выделяется. Польское пространство с выделенной полной метрикой называется польским метрическим пространством . Альтернативный подход, эквивалентный приведенному здесь, заключается в том, чтобы сначала определить «польское метрическое пространство» как «полное отделимое метрическое пространство», а затем определить «польское пространство» как топологическое пространство, полученное из польского метрического пространства путем забывания метрики.

Обобщения польских пространств

Пространства Лусина

Хаусдорфово топологическое пространство является пространством Лузина (названным в честь Николая Лузина ), если некоторая более сильная топология превращает его в польское пространство.

Существует много способов формирования пространств Лузина. В частности:

Каждое польское пространство — это пространство Лузина ^[4]
Подпространство пространства Лузина является пространством Лузина тогда и только тогда, когда оно является борелевским множеством. ^[5]
Любое счетное объединение или пересечение подпространств Лузина хаусдорфова пространства является пространством Лузина. ^[6]
Произведение счетного числа пространств Лузина является пространством Лузина. ^[7]
Несвязное объединение счетного числа пространств Лузина является пространством Лузина. ^[8]

Пространства Суслина

Топологическое пространство Хаусдорфа является пространством Суслина (названным в честь Михаила Суслина ), если оно является образом польского пространства при непрерывном отображении. Таким образом, каждое пространство Лузина является суслинским. В польском пространстве подмножество является пространством Суслина тогда и только тогда, когда оно является множеством Суслина (образом операции Суслина ). ^[9]

Ниже приведены пространства Суслина:

замкнутые или открытые подмножества пространства Суслина,
счетные произведения и дизъюнктные объединения пространств Суслина,
счетные пересечения или счетные объединения подпространств Суслина хаусдорфова топологического пространства,
непрерывные изображения пространств Суслина,
Борелевские подмножества пространства Суслина.

Они обладают следующими свойствами:

Каждое пространство Суслина является сепарабельным.

Радоновые пространства

Пространство Радона , названное в честь Иоганна Радона , — это топологическое пространство , на котором каждая вероятностная мера Бореля на $M$ является внутренней регулярной . Поскольку вероятностная мера глобально конечна, а следовательно, и локально конечна , каждая вероятностная мера на пространстве Радона также является мерой Радона . В частности, сепарабельное полное метрическое пространство $($ $M$ $,$ $d$ $)$ является пространством Радона.

Каждое пространство Суслина является пространством Радона.

Польские группы

Польская группа — это топологическая группа $G$ , которая также является польским пространством, другими словами, гомеоморфная сепарабельному полному метрическому пространству. Существует несколько классических результатов Банаха , Фрейденталя и Куратовского о гомоморфизмах между польскими группами. ^[10] Во-первых, аргумент Банаха ^[11] применяется mutatis mutandis к неабелевым польским группам: если $G$ и $H$ — сепарабельные метрические пространства с $G —$ польским, то любой гомоморфизм Бореля из $G$ в $H$ является непрерывным. ^[12] Во-вторых, существует версия теоремы об открытом отображении или теоремы о замкнутом графике, принадлежащая Куратовскому: ^[13] непрерывный инъективный гомоморфизм польской подгруппы $G$ на другую польскую группу $H$ является открытым отображением. В результате, примечательным фактом о польских группах является то, что измеримые по Бэру отображения (т. е. для которых прообраз любого открытого множества обладает свойством Бэра ), которые являются гомоморфизмами между ними, автоматически являются непрерывными. ^[14] Группа гомеоморфизмов гильбертова куба $[0,1] N$ является универсальной польской группой в том смысле, что каждая польская группа изоморфна своей замкнутой подгруппе.

Примеры:

Все конечномерные группы Ли со счетным числом компонент являются польскими группами.
Унитарная группа сепарабельного гильбертова пространства (с сильной операторной топологией ) является польской группой.
Группа гомеоморфизмов компактного метрического пространства является польской группой.
Произведение счетного числа польских групп является польской группой.
Группа изометрий сепарабельного полного метрического пространства является польской группой

Смотрите также

Стандартное пространство Бореля

Ссылки

^ Джеминьяни, Майкл С. (1967). Элементарная топология. Архив Интернета. США: Addison-Wesley . С. 142–143.
^ Бурбаки 1989, стр. 197
^ Шривастава 1998, стр. 55
^ Шварц 1973, стр. 94
^ Шварц 1973, стр. 102, Следствие 1 к теореме 5.
^ Шварц 1973, стр. 94, 102, Лемма 4 и следствие 1 теоремы 5.
↑ Шварц 1973, стр. 95, Лемма 6.
^ Шварц 1973, стр. 95, Следствие леммы 5.
^ Бурбаки 1989, стр. 197–199
^ Мур 1976, стр. 8, Предложение 5
↑ Банах 1932, стр. 23.
^ Фройденталь 1936, стр. 54
^ Куратовский 1966, стр. 400.
^ Петтис 1950.

Банах, Стефан (1932). Теория линейных операций . Монография Математическая (на французском языке). Варшава.{{cite book}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )
Бурбаки, Николя (1989). "IX. Использование действительных чисел в общей топологии". Элементы математики: общая топология, часть 2. Springer -Verlag . 3540193723.
Фрейденталь, Ганс (1936). «Einige Sätze ueber топологическая группа». Энн. математики. 37 (1): 46–56. дои : 10.2307/1968686. JSTOR 1968686.
Куратовский, К. (1966). Топология, т. I. Academic Press. ISBN 012429202X.
Мур, Кэлвин К. (1976). «Расширения групп и когомологии для локально компактных групп. III». Trans. Amer. Math. Soc. 221 : 1–33. doi : 10.1090/S0002-9947-1976-0414775-X .
Петтис, Б. Дж. (1950). «О непрерывности и открытости гомоморфизмов в топологических группах». Ann. of Math. 51 (2): 293–308. doi :10.2307/1969471. JSTOR 1969471.
Роджерс, LCG; Уильямс, Дэвид (1994). Диффузия, марковские процессы и мартингалы, Том 1: Основы, 2-е издание . Джон Уайли и сыновья, ООО
Шварц, Лоран (1973). Радоновские меры на произвольных топологических пространствах и цилиндрические меры . Oxford University Press. ISBN 978-0195605167.
Шривастава, Саши Мохан (1998). Курс по борелевским множествам. Graduate Texts in Mathematics . Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-98412-4. Получено 2008-12-04 .

Дальнейшее чтение

Амброзио, Л., Джильи, Н. и Саваре, Г. (2005). Градиентные потоки в метрических пространствах и в пространстве вероятностных мер . Базель: ETH Zürich, Birkhäuser Verlag. ISBN 3-7643-2428-7.{{cite book}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
Арвесон, Уильям (1981). Приглашение в C*-алгебры . Graduate Texts in Mathematics . Vol. 39. Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 0-387-90176-0.
Кехрис, А. (1995). Классическая описательная теория множеств . Тексты для аспирантов по математике . Т. 156. Springer. ISBN 0-387-94374-9.