М-тест Вейерштрасса

Критерий сходимости ряда

В математике тест Вейерштрасса M — это тест для определения того, сходится ли бесконечный ряд функций равномерно и абсолютно . Он применяется к рядам, членами которых являются ограниченные функции с действительными или комплексными значениями , и аналогичен тесту сравнения для определения сходимости рядов действительных или комплексных чисел. Он назван в честь немецкого математика Карла Вейерштрасса (1815-1897).

Заявление

M-тест Вейерштрасса. Предположим, что ( f _n ) — последовательность действительных или комплексных функций, определенных на множестве A , и что существует последовательность неотрицательных чисел ( M _n ), удовлетворяющая условиям

• ${\displaystyle |f_{n}(x)|\leq M_{n}}$для всех и вся , и ${\displaystyle n\geq 1}$ ${\displaystyle x\in A}$
• ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }M_{n}}$сходится.

Затем серия

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }f_{n}(x)}$

сходится абсолютно и равномерно на A.​

Ряд, удовлетворяющий гипотезе, называется нормально сходящимся . Результат часто используется в сочетании с равномерной предельной теоремой . Вместе они говорят , что если, в дополнение к указанным выше условиям, множество A является топологическим пространством и функции f _n непрерывны на A , то ряд сходится к непрерывной функции.

Доказательство

Рассмотрим последовательность функций

${\displaystyle S_{n}(x)=\sum _{k=1}^{n}f_{k}(x).}$

Так как ряд сходится и M _n ≥ 0 для любого n , то по критерию Коши , ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }M_{n}}$

${\displaystyle \forall \varepsilon >0:\exists N:\forall m>n>N:\sum _{k=n+1}^{m}M_{k}<\varepsilon .}$

Для выбранного N ,

${\displaystyle \forall x\in A:\forall m>n>N}$

${\displaystyle \left|S_{m}(x)-S_{n}(x)\right|=\left|\sum _{k=n+1}^{m}f_{k}(x)\right|{\overset {(1)}{\leq }}\sum _{k=n+1}^{m}|f_{k}(x)|\leq \sum _{k=n+1}^{m}M_{k}<\varepsilon .}$

(Неравенство (1) следует из неравенства треугольника .)

Последовательность S _n ( x ) является последовательностью Коши в R или C , и по полноте она сходится к некоторому числу S ( x ) , которое зависит от x . Для n  >  N мы можем записать

${\displaystyle \left|S(x)-S_{n}(x)\right|=\left|\lim _{m\to \infty }S_{m}(x)-S_{n}(x)\right|=\lim _{m\to \infty }\left|S_{m}(x)-S_{n}(x)\right|\leq \varepsilon .}$

Поскольку N не зависит от x , это означает, что последовательность S _n частичных сумм сходится равномерно к функции S. Следовательно, по определению, ряд сходится равномерно. ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }f_{k}(x)}$

Аналогично можно доказать, что сходится равномерно. ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }|f_{k}(x)|}$

Обобщение

Более общая версия M-теста Вейерштрасса справедлива, если общая область значений функций ( f _n ) является банаховым пространством , в этом случае посылка

${\displaystyle |f_{n}(x)|\leq M_{n}}$

должен быть заменен на

${\displaystyle \|f_{n}(x)\|\leq M_{n}}$,

где — норма в банаховом пространстве. Пример использования этого теста в банаховом пространстве см. в статье Производная Фреше . ${\displaystyle \|\cdot \|}$

Смотрите также

• Пример М-теста Вейерштрасса

Ссылки

• Рудин, Уолтер (1991). Функциональный анализ. Международная серия по чистой и прикладной математике. Том 8 (Второе издание). Нью-Йорк, Нью-Йорк: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC  21163277.
• Рудин, Уолтер (май 1986). Действительный и комплексный анализ . McGraw-Hill Science/Engineering/Math. ISBN 0-07-054234-1.
• Рудин, Уолтер (1976). Принципы математического анализа . McGraw-Hill Science/Engineering/Math.
• Уиттекер, ET ; Уотсон, GN (1927). Курс современного анализа (четвертое издание). Cambridge University Press. стр. 49.