Сфероид Маклорена

Shape of a spinning body of self-gravitating fluid

Сфероид Маклорена — сплющенный сфероид , который возникает, когда самогравитирующее жидкое тело однородной плотности вращается с постоянной угловой скоростью. Этот сфероид назван в честь шотландского математика Колина Маклорена , который сформулировал его для формы Земли в 1742 году. ^[1] На самом деле фигура Земли гораздо менее сплющена, чем предполагает формула Маклорена, поскольку Земля не является однородной, а имеет плотное железное ядро. Сфероид Маклорена считается простейшей моделью вращающихся эллипсоидальных фигур в гидростатическом равновесии , поскольку он предполагает однородную плотность.

формула Маклорена

Угловая скорость сфероида Маклорена как функция эксцентриситета

Для сфероида с экваториальной большой полуосью и полярной малой полуосью угловая скорость о определяется формулой Маклорена ^[2] ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle c}$

${\displaystyle {\frac {\Omega ^{2}}{\pi G\rho }}={\frac {2{\sqrt {1-e^{2}}}}{e^{3}}}(3-2e^{2})\sin ^{-1}e-{\frac {6}{e^{2}}}(1-e^{2}),\quad e^{2}=1-{\frac {c^{2}}{a^{2}}},}$

где — эксцентриситет меридиональных сечений сфероида, — плотность, — гравитационная постоянная . Формула предсказывает две возможные фигуры равновесия: одна из них приближается к сфере ( ), когда , а другая — к очень сплющенному сфероиду ( ), когда . Максимальная угловая скорость достигается при эксцентриситете , и ее значение равно , так что выше этой скорости фигуры равновесия не существуют. Угловой момент равен ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle e\rightarrow 0}$ ${\displaystyle \Omega \rightarrow 0}$ ${\displaystyle e\rightarrow 1}$ ${\displaystyle \Omega \rightarrow 0}$ ${\displaystyle e=0.92996}$ ${\displaystyle \Omega ^{2}/(\pi G\rho )=0.449331}$ ${\displaystyle L}$

${\displaystyle {\frac {L}{\sqrt {GM^{3}{\bar {a}}}}}={\frac {\sqrt {3}}{5}}\left({\frac {a}{\bar {a}}}\right)^{2}{\sqrt {\frac {\Omega ^{2}}{\pi G\rho }}}\ ,\quad {\bar {a}}=(a^{2}c)^{1/3}}$

где — масса сфероида, а — средний радиус , радиус сферы того же объема, что и сфероид. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {\bar {a}}}$

Стабильность

Для сфероида Маклорена с эксцентриситетом больше 0,812670 ^[3] эллипсоид Якоби с тем же угловым моментом имеет более низкую полную энергию. Если такой сфероид состоит из вязкой жидкости (или при наличии реакции гравитационного излучения), и если он испытывает возмущение, которое нарушает его вращательную симметрию, то он будет постепенно удлиняться в форму эллипсоида Якоби, рассеивая при этом свою избыточную энергию в виде тепла (или гравитационных волн ). Это называется вековой неустойчивостью ; см. неустойчивость Робертса-Стюартсона и неустойчивость Чандрасекара-Фридмана-Шутца . Однако для подобного сфероида, состоящего из невязкой жидкости (или при отсутствии реакции излучения), возмущение приведет просто к незатухающим колебаниям. Это описывается как динамическая (или обычная ) устойчивость .

Сфероид Маклорена с эксцентриситетом больше 0,952887 ^[3] динамически нестабилен. Даже если он состоит из невязкой жидкости и не имеет возможности терять энергию, подходящее возмущение будет расти (по крайней мере, изначально) экспоненциально. Динамическая неустойчивость подразумевает вековую неустойчивость (а вековая устойчивость подразумевает динамическую устойчивость). ^[4]

Смотрите также

• эллипсоид Якоби
• Сфероид
• Эллипсоид

Ссылки

1. Маклорен, Колин. Трактат о флюксиях: В двух книгах. 1. Т. 1. Руддиманс, 1742.
2. Чандрасекар, Субраманьян. Эллипсоидальные фигуры равновесия. Т. 10. Нью-Хейвен: Издательство Йельского университета, 1969.
3. Пуассон, Эрик; Уилл, Клиффорд (2014). Гравитация: ньютоновская, постньютоновская, релятивистская. Cambridge University Press . стр. 102–104. ISBN 978-1107032866.
4. Литтлтон, Рэймонд Артур (1953). Устойчивость вращающихся жидких масс. Cambridge University Press. ISBN 9781316529911.