Поверхность Макбита

В теории римановых поверхностей и гиперболической геометрии поверхность Макбита , также называемая кривой Макбита или кривой Фрике–Макбита , является поверхностью Гурвица рода 7 .

Группа автоморфизмов поверхности Макбита — это простая группа PSL(2,8) , состоящая из 504 симметрий. ^[1]

Построение группы треугольников

Фуксова группа поверхности может быть построена как главная конгруэнтная подгруппа группы треугольника (2,3,7) в подходящей башне главных конгруэнтных подгрупп. Здесь выбор кватернионной алгебры и порядка кватерниона Гурвица описан на странице группы треугольника. Выбирая идеал в кольце целых чисел, соответствующая главная конгруэнтная подгруппа определяет эту поверхность рода 7. Ее систола составляет около 5,796, а число систолических петель составляет 126 согласно расчетам Р. Фогелера. ${\displaystyle \langle 2\rangle }$

Полученную триангулированную поверхность можно реализовать как невыпуклый многогранник без самопересечений. ^[2]

Историческая справка

Эта поверхность была первоначально открыта Робертом Фрике  (1899), но названа в честь Александра Мюррея Макбита из-за его более позднего независимого повторного открытия той же кривой. ^[3] Элкис пишет, что эквивалентность между кривыми, изученными Фрике и Макбитом, «возможно, впервые была замечена Серром в письме Абхьянкару от 24.7.1990 ». ^[4]

Смотрите также

• Клейн квартик
• Первый триплет Гурвица

Примечания

1. Вольфарт (1985).
2. Боковски и Кунц (2018).
3. Макбит (1965).
4. Элки (1998).

Ссылки

• Берри, Кевин; Треткофф, Марвин (1992), «Матрица периодов кривой Макбита седьмого рода», Кривые, якобианы и абелевы многообразия, Амхерст, Массачусетс, 1990 , Провиденс, Род-Айленд: Contemp. Math., 136, Amer. Math. Soc., стр. 31–40, doi : 10.1090/conm/136/1188192, MR  1188192.
• Боковски, Юрген; Кунц, Михаэль (2018), «Регулярное отображение Гурвица (3,7) рода 7: полиэдральная реализация», Искусство дискретной и прикладной математики , 1 (1), статья № 1.02, doi : 10.26493/2590-9770.1186.258 , MR  3995533.
• Бухалансе, Эмилио; Коста, Антонио Ф. (1994), «Изучение симметрий поверхности Макбита», Математические труды , Мадрид: Editorial Complutense, стр. 375–385, MR  1303808.
• Elkies, ND (1998), "Вычисления кривых Шимуры", в Buhler, Joe P. (ред.), Алгоритмическая теория чисел: Третий международный симпозиум, ANTS-III , Lecture Notes in Computer Science, т. 1423, Springer-Verlag, Lecture Notes in Computer Science 1423, стр. 1–47, arXiv : math.NT/0005160 , doi :10.1007/BFb0054849, ISBN 3-540-64657-4.
• Фрике, Р. (1899), «Ueber eine einfache Gruppe von 504 Operationen», Mathematische Annalen , 52 (2–3): 321–339, doi : 10.1007/BF01476163, S2CID  122400481.
• Гофманн Р. (1989), «Точки Вейерштрасса на кривой Макбита», Вестник Моск. унив. Сер. Я Мат. Мех. , 104 (5): 31–33, МР  1029778Перевод в МГУ. Матем. Вестник. 44 (1989), № 5, 37–40.
• Макбит, А. (1965), «О кривой рода 7», Труды Лондонского математического общества , 15 : 527–542, doi :10.1112/plms/s3-15.1.527.
• Фогелер, Р. (2003), «О геометрии поверхностей Гурвица», диссертация Университета штата Флорида.
• Вольфарт, К. (1985), «Кривая Макбита и модульная группа», Glasgow Math. Дж. , 27 : 239–247, номер doi : 10.1017/S0017089500006212 , MR  0819842. Исправление, том. 28, нет. 2, 1986, с. 241, МР 0848433.