Функция Матье

Решения дифференциального уравнения, изученного Эмилем Л. Матье

В математике функции Матье , иногда называемые угловыми функциями Матье , являются решениями дифференциального уравнения Матье

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+(a-2q\cos(2x))y=0,}$

где a, q — действительные параметры. Поскольку мы можем добавить π/2 к x , чтобы изменить знак q , обычно принято устанавливать q ≥ 0 .

Они были впервые введены Эмилем Леонаром Матье , который столкнулся с ними при изучении вибрирующих эллиптических барабанных мембран . ^{[1] [2] [3]} Они имеют приложения во многих областях физических наук, таких как оптика , квантовая механика и общая теория относительности . Они, как правило, возникают в задачах, связанных с периодическим движением, или при анализе граничных задач дифференциальных уравнений в частных производных (PDE) , обладающих эллиптической симметрией. ^[4]

Определение

Функции Матье

В некоторых случаях функция Матье относится к решениям дифференциального уравнения Матье для произвольных значений и . Когда не возникает путаницы, другие авторы используют этот термин для обозначения конкретно - или -периодических решений, которые существуют только для специальных значений и . ^[5] Точнее, для заданных (действительных) таких периодических решений существует бесконечное число значений , называемых характеристическими числами , условно индексируемыми как две отдельные последовательности и , для . Соответствующие функции обозначаются и , соответственно. Иногда их также называют косинусно-эллиптическими и синусно-эллиптическими , или функциями Матье первого рода . ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a_{n}(q)}$ ${\displaystyle b_{n}(q)}$ ${\displaystyle n=1,2,3,\ldots }$ ${\displaystyle {\text{ce}}_{n}(x,q)}$ ${\displaystyle {\text{se}}_{n}(x,q)}$

В результате предположения, что является действительным, как характеристические числа, так и связанные с ними функции являются действительными. ^[6] ${\displaystyle q}$

${\displaystyle {\text{ce}}_{n}(x,q)}$и могут быть далее классифицированы по четности и периодичности (оба по отношению к ), как следует: ^[5] ${\displaystyle {\text{se}}_{n}(x,q)}$ ${\displaystyle x}$

Индексация целым числом , помимо того, что служит для упорядочивания характеристических чисел в порядке возрастания, удобна тем, что и становятся пропорциональными и как . Поскольку является целым числом, это приводит к классификации и как функций Матье (первого рода) целочисленного порядка. Для общих и , кроме этих решений могут быть определены, включая функции Матье дробного порядка, а также непериодические решения. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\text{ce}}_{n}(x,q)}$ ${\displaystyle {\text{se}}_{n}(x,q)}$ ${\displaystyle \cos nx}$ ${\displaystyle \sin nx}$ ${\displaystyle q\rightarrow 0}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\text{ce}}_{n}}$ ${\displaystyle {\text{se}}_{n}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle q}$

Модифицированные функции Матье

Тесно связаны модифицированные функции Матье , также известные как радиальные функции Матье, которые являются решениями модифицированного дифференциального уравнения Матье

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}-(a-2q\cosh 2x)y=0,}$

которое можно связать с исходным уравнением Матье, взяв . Соответственно, модифицированные функции Матье первого рода интегрального порядка, обозначаемые и , определяются из ^[7] ${\displaystyle x\to \pm {\rm {i}}x}$ ${\displaystyle {\text{Ce}}_{n}(x,q)}$ ${\displaystyle {\text{Se}}_{n}(x,q)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{Ce}}_{n}(x,q)&={\text{ce}}_{n}({\rm {i}}x,q).\\{\text{Se}}_{n}(x,q)&=-{\rm {i}}\,{\text{se}}_{n}({\rm {i}}x,q).\end{aligned}}}$

Эти функции являются действительными, когда является действительным. ${\displaystyle x}$

Нормализация

Распространенная нормализация, ^[8] которая будет принята в этой статье, заключается в требовании

${\displaystyle \int _{0}^{2\pi }{\text{ce}}_{n}(x,q)^{2}dx=\int _{0}^{2\pi }{\text{se}}_{n}(x,q)^{2}dx=\pi }$

а также требуют и как . ${\displaystyle {\text{ce}}_{n}(x,q)\rightarrow +\cos nx}$ ${\displaystyle {\text{se}}_{n}(x,q)\rightarrow +\sin nx}$ ${\displaystyle q\rightarrow 0}$

Стабильность

Уравнение Матье имеет два параметра. Для почти всех вариантов выбора параметра, согласно теории Флоке (см. следующий раздел), любое решение либо сходится к нулю, либо расходится к бесконечности.

Параметризуем уравнение Матье как , где . Области устойчивости и неустойчивости разделены кривыми ^[9] ${\displaystyle {\ddot {x}}+k(1-m\cos(t))x=0}$ ${\displaystyle k\in \mathbb {R} ,m\geq 0}$

$${\displaystyle m(k)={\begin{cases}2{\sqrt {\frac {k(k-1)(k-4)}{3k-8}}},&k<0;\\[4pt]{\frac {1}{4}}\left[{\sqrt {(9-4k)(13-20k)}}-(9-4k)\right],&k<{\frac {1}{4}};\\[10pt]{\frac {1}{4}}\left[9-4k\mp {\sqrt {(9-4k)(13-20k)}}\right],&{\frac {1}{4}}<k<{\frac {13}{20}};\\[6pt]{\sqrt {\frac {2(k-1)(k-4)(k-9)}{k-5}}},&{\frac {13}{20}}<k<1;\\[2pt]2{\sqrt {\frac {k(k-1)(k-4)}{3k-8}}},&k>1.\end{cases}}}$$

Теория Флоке

Многие свойства дифференциального уравнения Матье могут быть выведены из общей теории обыкновенных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами, называемой теорией Флоке . Центральным результатом является теорема Флоке :

Теорема Флоке ^[10]  —  Уравнение Матье всегда имеет по крайней мере одно решение , такое что , где — константа, которая зависит от параметров уравнения и может быть действительной или комплексной. ${\displaystyle y(x)}$ ${\displaystyle y(x+\pi )=\sigma y(x)}$ ${\displaystyle \sigma }$

Естественно связать характеристические числа с теми значениями , которые приводят к . ^[11] Отметим, однако, что теорема гарантирует существование по крайней мере одного решения, удовлетворяющего , только когда уравнение Матье на самом деле имеет два независимых решения для любого заданного , . Действительно, оказывается, что при равном одному из характеристических чисел уравнение Матье имеет только одно периодическое решение (то есть с периодом или ), и это решение является одним из , . Другое решение является непериодическим, обозначается и , соответственно, и называется функцией Матье второго рода . ^[12] Этот результат можно формально сформулировать как теорему Айнса : ${\displaystyle a(q)}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \sigma =\pm 1}$ ${\displaystyle y(x+\pi )=\sigma y(x)}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle {\text{ce}}_{n}(x,q)}$ ${\displaystyle {\text{se}}_{n}(x,q)}$ ${\displaystyle {\text{fe}}_{n}(x,q)}$ ${\displaystyle {\text{ge}}_{n}(x,q)}$

Теорема Инса ^[13]  —  Определим в основном периодическую функцию как удовлетворяющую . Тогда, за исключением тривиального случая , уравнение Матье никогда не имеет двух (независимых) в основном периодических решений для одних и тех же значений и . ${\displaystyle y(x+\pi )=\pm y(x)}$ ${\displaystyle q=0}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle q}$

Пример из теоремы Флоке, с , , (действительная часть, красная; мнимая часть, зеленая) ${\displaystyle P(a,q,x)}$ ${\displaystyle a=1}$ ${\displaystyle q=1/5}$ ${\displaystyle \mu \approx 1+0.0995i}$

Эквивалентное утверждение теоремы Флоке состоит в том, что уравнение Матье допускает комплекснозначное решение вида

${\displaystyle F(a,q,x)=\exp(i\mu \,x)\,P(a,q,x),}$

где — комплексное число, показатель Флоке (или иногда показатель Матье ), а — комплекснозначная периодическая по функция с периодом . Пример изображен справа. ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle P(a,q,x)}$

Другие типы функций Матье

Второй вид

Поскольку уравнение Матье является дифференциальным уравнением второго порядка, можно построить два линейно независимых решения. Теория Флоке утверждает, что если равно характеристическому числу, то одно из этих решений можно считать периодическим, а другое — непериодическим. Периодическое решение — это одно из и , называемое функцией Матье первого рода интегрального порядка. Непериодическое обозначается либо и , соответственно, и называется функцией Матье второго рода (целого порядка). Непериодические решения неустойчивы, то есть они расходятся как . ^[14] ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle {\text{ce}}_{n}(x,q)}$ ${\displaystyle {\text{se}}_{n}(x,q)}$ ${\displaystyle {\text{fe}}_{n}(x,q)}$ ${\displaystyle {\text{ge}}_{n}(x,q)}$ ${\displaystyle z\rightarrow \pm \infty }$

Вторые решения, соответствующие модифицированным функциям Матье и , естественным образом определяются как и . ${\displaystyle {\text{Ce}}_{n}(x,q)}$ ${\displaystyle {\text{Se}}_{n}(x,q)}$ ${\displaystyle {\text{Fe}}_{n}(x,q)=-i{\text{fe}}_{n}(xi,q)}$ ${\displaystyle {\text{Ge}}_{n}(x,q)={\text{ge}}_{n}(xi,q)}$

Дробный порядок

Функции Матье дробного порядка можно определить как те решения и , нецелые числа, которые превращаются в и при . ^[7] Если иррационально, они непериодичны; однако они остаются ограниченными при . ${\displaystyle {\text{ce}}_{p}(x,q)}$ ${\displaystyle {\text{se}}_{p}(x,q)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \cos px}$ ${\displaystyle \sin px}$ ${\displaystyle q\rightarrow 0}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle x\rightarrow \infty }$

Важным свойством решений и для нецелых чисел является то, что они существуют для одного и того же значения . Напротив, когда — целое число, и никогда не встречаются для одного и того же значения . (См. теорему Айнса выше.) ${\displaystyle {\text{ce}}_{p}(x,q)}$ ${\displaystyle {\text{se}}_{p}(x,q)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle {\text{ce}}_{p}(x,q)}$ ${\displaystyle {\text{se}}_{p}(x,q)}$ ${\displaystyle a}$

Эти классификации суммированы в таблице ниже. Аналогичные модифицированные функции Матье определяются аналогично.

Явное представление и вычисление

Первый вид

Функции Матье первого рода можно представить в виде рядов Фурье : ^[5]

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{ce}}_{2n}(x,q)&=\sum _{r=0}^{\infty }A_{2r}^{(2n)}(q)\cos(2rx)\\{\text{ce}}_{2n+1}(x,q)&=\sum _{r=0}^{\infty }A_{2r+1}^{(2n+1)}(q)\cos \left[(2r+1)x\right]\\{\text{se}}_{2n+1}(x,q)&=\sum _{r=0}^{\infty }B_{2r+1}^{(2n+1)}(q)\sin \left[(2r+1)x\right]\\{\text{se}}_{2n+2}(x,q)&=\sum _{r=0}^{\infty }B_{2r+2}^{(2n+2)}(q)\sin \left[(2r+2)x\right]\\\end{aligned}}}$

Коэффициенты разложения и являются функциями , но не зависят от . Подстановкой в ​​уравнение Матье можно показать, что они подчиняются трехчленным рекуррентным соотношениям в нижнем индексе. Например, для каждого находим ^[16] ${\displaystyle A_{j}^{(i)}(q)}$ ${\displaystyle B_{j}^{(i)}(q)}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\text{ce}}_{2n}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}aA_{0}-qA_{2}&=0\\(a-4)A_{2}-q(A_{4}+2A_{0})&=0\\(a-4r^{2})A_{2r}-q(A_{2r+2}+A_{2r-2})&=0,\quad r\geq 2\end{aligned}}}$

Будучи рекуррентным соотношением второго порядка по индексу , всегда можно найти два независимых решения и такие, что общее решение может быть выражено в виде линейной комбинации двух: . Более того, в этом частном случае асимптотический анализ ^[17] показывает, что один из возможных вариантов фундаментальных решений обладает свойством ${\displaystyle 2r}$ ${\displaystyle X_{2r}}$ ${\displaystyle Y_{2r}}$ ${\displaystyle A_{2r}=c_{1}X_{2r}+c_{2}Y_{2r}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}X_{2r}&=r^{-2r-1}\left(-{\frac {e^{2}q}{4}}\right)^{r}\left[1+{\mathcal {O}}(r^{-1})\right]\\Y_{2r}&=r^{2r-1}\left(-{\frac {4}{e^{2}q}}\right)^{r}\left[1+{\mathcal {O}}(r^{-1})\right]\end{aligned}}}$

В частности, конечно, тогда как расходится. Записывая , мы видим, что для того, чтобы представление ряда Фурье сходилось, должно быть выбрано таким образом, что Эти выборы соответствуют характеристическим числам. ${\displaystyle X_{2r}}$ ${\displaystyle Y_{2r}}$ ${\displaystyle A_{2r}=c_{1}X_{2r}+c_{2}Y_{2r}}$ ${\displaystyle {\text{ce}}_{2n}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle c_{2}=0.}$ ${\displaystyle a}$

Однако в общем случае решение трехчленной рекуррентности с переменными коэффициентами не может быть представлено простым способом, и, следовательно, нет простого способа определить из условия . Более того, даже если приближенное значение характеристического числа известно, его нельзя использовать для получения коэффициентов путем численной итерации рекуррентности в сторону увеличения . Причина в том, что пока только приближает характеристическое число, не является тождественным и расходящееся решение в конечном итоге доминирует для достаточно больших . ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle c_{2}=0}$ ${\displaystyle A_{2r}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle c_{2}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle Y_{2r}}$ ${\displaystyle r}$

Чтобы преодолеть эти проблемы, требуются более сложные полуаналитические/численные подходы, например, использование расширения непрерывной дроби , ^{[18] [5]} приведение рекуррентного соотношения к задаче собственных значений матрицы , ^[19] или реализация алгоритма обратной рекуррентности. ^[17] Сложность трехчленного рекуррентного соотношения является одной из причин, по которой существует мало простых формул и тождеств, включающих функции Матье. ^[20]

На практике функции Матье и соответствующие характеристические числа можно вычислить с помощью предварительно упакованного программного обеспечения, такого как Mathematica , Maple , MATLAB и SciPy . Для малых значений и низкого порядка их также можно выразить пертурбативно как степенные ряды , что может быть полезно в физических приложениях. ^[21] ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle q}$

Второй вид

Существует несколько способов представления функций Матье второго рода. ^[22] Одно из представлений — в терминах функций Бесселя : ^[23]

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{fe}}_{2n}(x,q)&=-{\frac {\pi \gamma _{n}}{2}}\sum _{r=0}^{\infty }(-1)^{r+n}A_{2r}^{(2n)}(-q)\ {\text{Im}}[J_{r}({\sqrt {q}}e^{ix})Y_{r}({\sqrt {q}}e^{-ix})],\quad {\text{where }}\gamma _{n}=\left\{{\begin{array}{cc}{\sqrt {2}},&{\text{ if }}n=0\\2n,&{\text{ if }}n\geq 1\end{array}}\right.\\{\text{fe}}_{2n+1}(x,q)&={\frac {\pi {\sqrt {q}}}{2}}\sum _{r=0}^{\infty }(-1)^{r+n}A_{2r+1}^{(2n+1)}(-q)\ {\text{Im}}[J_{r}({\sqrt {q}}e^{ix})Y_{r+1}({\sqrt {q}}e^{-ix})+J_{r+1}({\sqrt {q}}e^{ix})Y_{r}({\sqrt {q}}e^{-ix})]\\{\text{ge}}_{2n+1}(x,q)&=-{\frac {\pi {\sqrt {q}}}{2}}\sum _{r=0}^{\infty }(-1)^{r+n}B_{2r+1}^{(2n+1)}(-q)\ {\text{Re}}[J_{r}({\sqrt {q}}e^{ix})Y_{r+1}({\sqrt {q}}e^{-ix})-J_{r+1}({\sqrt {q}}e^{ix})Y_{r}({\sqrt {q}}e^{-ix})]\\{\text{ge}}_{2n+2}(x,q)&=-{\frac {\pi q}{4(n+1)}}\sum _{r=0}^{\infty }(-1)^{r+n}B_{2r+2}^{(2n+2)}(-q)\ {\text{Re}}[J_{r}({\sqrt {q}}e^{ix})Y_{r+2}({\sqrt {q}}e^{-ix})-J_{r+2}({\sqrt {q}}e^{ix})Y_{r}({\sqrt {q}}e^{-ix})]\end{aligned}}}$

где , а и — функции Бесселя первого и второго рода. ${\displaystyle n,q>0}$ ${\displaystyle J_{r}(x)}$ ${\displaystyle Y_{r}(x)}$

Модифицированные функции

Традиционный подход к численной оценке модифицированных функций Матье заключается в использовании ряда произведений функций Бесселя. ^[24] Для больших и форма ряда должна выбираться тщательно, чтобы избежать ошибок вычитания. ^{[25] [26]} ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle q}$

Характеристики

Существует относительно немного аналитических выражений и тождеств, включающих функции Матье. Более того, в отличие от многих других специальных функций, решения уравнения Матье в общем случае не могут быть выражены в терминах гипергеометрических функций . Это можно увидеть, преобразовав уравнение Матье в алгебраическую форму с помощью замены переменной : ${\displaystyle t=\cos(x)}$

${\displaystyle (1-t^{2}){\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}-t\,{\frac {dy}{dt}}+(a+2q(1-2t^{2}))\,y=0.}$

Поскольку это уравнение имеет нерегулярную особую точку на бесконечности, его нельзя преобразовать в уравнение гипергеометрического типа. ^[20]

Качественное поведение

Примеры графиков функций Матье первого рода

Участок для варьирования ${\displaystyle {\text{ce}}_{1}(x,q)}$ ${\displaystyle q}$

Для малых и ведут себя аналогично и . Для произвольных они могут значительно отклоняться от своих тригонометрических аналогов; однако они остаются периодическими в целом. Более того, для любого действительного и имеют ровно простые нули в , а так как нули группируются около . ^{[27] [28]} ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle {\text{ce}}_{n}}$ ${\displaystyle {\text{se}}_{n}}$ ${\displaystyle \cos nx}$ ${\displaystyle \sin nx}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle {\text{ce}}_{m}(x,q)}$ ${\displaystyle {\text{se}}_{m+1}(x,q)}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle 0<x<\pi }$ ${\displaystyle q\rightarrow \infty }$ ${\displaystyle x=\pi /2}$

При и модифицированные функции Матье ведут себя как затухающие периодические функции. ${\displaystyle q>0}$ ${\displaystyle x\rightarrow \infty }$

В дальнейшем можно ссылаться на факторы и из разложений Фурье для и (см. Явное представление и вычисление). Они зависят от и , но независимы от . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle {\text{ce}}_{n}}$ ${\displaystyle {\text{se}}_{n}}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x}$

Размышления и переводы

Ввиду их четности и периодичности, они обладают простыми свойствами относительно отражений и переносов на кратные : ^[7] ${\displaystyle {\text{ce}}_{n}}$ ${\displaystyle {\text{se}}_{n}}$ ${\displaystyle \pi }$

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\text{ce}}_{n}(x+\pi )=(-1)^{n}{\text{ce}}_{n}(x)\\&{\text{se}}_{n}(x+\pi )=(-1)^{n}{\text{se}}_{n}(x)\\&{\text{ce}}_{n}(x+\pi /2)=(-1)^{n}{\text{ce}}_{n}(-x+\pi /2)\\&{\text{se}}_{n+1}(x+\pi /2)=(-1)^{n}{\text{se}}_{n+1}(-x+\pi /2)\end{aligned}}}$

Можно также записать функции с отрицательными знаками через функции с положительными знаками : ^{[5] [29]} ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle q}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\text{ce}}_{2n+1}(x,-q)=(-1)^{n}{\text{se}}_{2n+1}(-x+\pi /2,q)\\&{\text{ce}}_{2n+2}(x,-q)=(-1)^{n}{\text{ce}}_{2n+2}(-x+\pi /2,q)\\&{\text{se}}_{2n+1}(x,-q)=(-1)^{n}{\text{ce}}_{2n+1}(-x+\pi /2,q)\\&{\text{se}}_{2n+2}(x,-q)=(-1)^{n}{\text{se}}_{2n+2}(-x+\pi /2,q)\end{aligned}}}$

Более того,

${\displaystyle {\begin{aligned}&a_{2n+1}(q)=b_{2n+1}(-q)\\&b_{2n+2}(q)=b_{2n+2}(-q)\end{aligned}}}$

Ортогональность и полнота

Подобно своим тригонометрическим аналогам и , периодические функции Матье и удовлетворяют соотношениям ортогональности ${\displaystyle \cos nx}$ ${\displaystyle \sin nx}$ ${\displaystyle {\text{ce}}_{n}(x,q)}$ ${\displaystyle {\text{se}}_{n}(x,q)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&\int _{0}^{2\pi }{\text{ce}}_{n}{\text{ce}}_{m}\,dx=\int _{0}^{2\pi }{\text{se}}_{n}{\text{se}}_{m}\,dx=\delta _{nm}\pi \\&\int _{0}^{2\pi }{\text{ce}}_{n}{\text{se}}_{m}\,dx=0\end{aligned}}}$

Более того, при фиксированном и рассматриваемом как собственное значение, уравнение Матье имеет форму Штурма–Лиувилля . Это подразумевает, что собственные функции и образуют полный набор, т.е. любая - или -периодическая функция от может быть разложена в ряд по и . ^[4] ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle {\text{ce}}_{n}(x,q)}$ ${\displaystyle {\text{se}}_{n}(x,q)}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\text{ce}}_{n}(x,q)}$ ${\displaystyle {\text{se}}_{n}(x,q)}$

Интегральные тождества

Решения уравнения Матье удовлетворяют классу интегральных тождеств относительно ядер , которые являются решениями ${\displaystyle \chi (x,x')}$

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\chi }{\partial x^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}\chi }{\partial x'^{2}}}=2q\left(\cos 2x-\cos 2x'\right)\chi }$

Точнее, если решает уравнение Матье с заданными и , то интеграл ${\displaystyle \phi (x)}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle q}$

${\displaystyle \psi (x)\equiv \int _{C}\chi (x,x')\phi (x')dx'}$

где — путь в комплексной плоскости , также решает уравнение Матье с теми же и , при условии соблюдения следующих условий: ^[30] ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle q}$

• ${\displaystyle \chi (x,x')}$решает ${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\chi }{\partial x^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}\chi }{\partial x'^{2}}}=2q\left(\cos 2x-\cos 2x'\right)\chi }$
• В рассматриваемых регионах существует и является аналитическим ${\displaystyle \psi (x)}$ ${\displaystyle \chi (x,x')}$
• ${\displaystyle \left(\phi {\frac {\partial \chi }{\partial x'}}-{\frac {\partial \phi }{\partial x'}}\chi \right)}$имеет одинаковое значение в конечных точках ${\displaystyle C}$

Используя соответствующую замену переменных, уравнение для можно преобразовать в волновое уравнение и решить. Например, одно из решений — . Примерами тождеств, полученных таким образом, являются ^[31] ${\displaystyle \chi }$ ${\displaystyle \chi (x,x')=\sinh(2q^{1/2}\sin x\sin x')}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{se}}_{2n+1}(x,q)&={\frac {{\text{se}}'_{2n+1}(0,q)}{\pi q^{1/2}B_{1}^{(2n+1)}}}\int _{0}^{\pi }\sinh(2q^{1/2}\sin x\sin x'){\text{se}}_{2n+1}(x',q)dx'\qquad (q>0)\\{\text{Ce}}_{2n}(x,q)&={\frac {{\text{ce}}_{2n}(\pi /2,q)}{\pi A_{0}^{(2n)}}}\int _{0}^{\pi }\cos(2q^{1/2}\cosh x\cos x'){\text{ce}}_{2n}(x',q)dx'\qquad \ \ \ (q>0)\end{aligned}}}$

Тождества последнего типа полезны для изучения асимптотических свойств модифицированных функций Матье. ^[32]

Существуют также интегральные соотношения между функциями первого и второго рода, например: ^[23]

${\displaystyle {\text{fe}}_{2n}(x,q)=2n\int _{0}^{x}{\text{ce}}_{2n}(\tau ,-q)\ J_{0}\left({\sqrt {2q(\cos 2x-\cos 2\tau )}}\right)d\tau ,\qquad n\geq 1}$

справедливо для любого сложного и реального . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle q}$

Асимптотические разложения

Для , , и верны следующие асимптотические разложения : ^[33] ${\displaystyle q>0}$ ${\displaystyle {\text{Im}}(x)=0}$ ${\displaystyle {\text{Re}}(x)\rightarrow \infty }$ ${\displaystyle 2q^{1/2}\cosh x\simeq q^{1/2}e^{x}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{Ce}}_{2n}(x,q)&\sim \left({\frac {2}{\pi q^{1/2}}}\right)^{1/2}{\frac {{\text{ce}}_{2n}(0,q){\text{ce}}_{2n}(\pi /2,q)}{A_{0}^{(2n)}}}\cdot e^{-x/2}\sin \left(q^{1/2}e^{x}+{\frac {\pi }{4}}\right)\\{\text{Ce}}_{2n+1}(x,q)&\sim \left({\frac {2}{\pi q^{3/2}}}\right)^{1/2}{\frac {{\text{ce}}_{2n+1}(0,q){\text{ce}}'_{2n+1}(\pi /2,q)}{A_{1}^{(2n+1)}}}\cdot e^{-x/2}\cos \left(q^{1/2}e^{x}+{\frac {\pi }{4}}\right)\\{\text{Se}}_{2n+1}(x,q)&\sim -\left({\frac {2}{\pi q^{3/2}}}\right)^{1/2}{\frac {{\text{se}}'_{2n+1}(0,q){\text{se}}_{2n+1}(\pi /2,q)}{B_{1}^{(2n+1)}}}\cdot e^{-x/2}\cos \left(q^{1/2}e^{x}+{\frac {\pi }{4}}\right)\\{\text{Se}}_{2n+2}(x,q)&\sim \left({\frac {2}{\pi q^{5/2}}}\right)^{1/2}{\frac {{\text{se}}'_{2n+2}(0,q){\text{se}}'_{2n+2}(\pi /2,q)}{B_{2}^{(2n+2)}}}\cdot e^{-x/2}\sin \left(q^{1/2}e^{x}+{\frac {\pi }{4}}\right)\end{aligned}}}$

Таким образом, модифицированные функции Матье экспоненциально затухают для больших действительных аргументов. Аналогичные асимптотические разложения можно записать для и ; они также экспоненциально затухают для больших действительных аргументов. ${\displaystyle {\text{Fe}}_{n}}$ ${\displaystyle {\text{Ge}}_{n}}$

Для четных и нечетных периодических функций Матье и связанных с ними характеристических чисел можно также вывести асимптотические разложения для больших . ^[34] Для характеристических чисел в частности, можно иметь с приблизительно нечетным целым числом, т.е. ${\displaystyle ce,se}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N\approx N_{0}=2n+1,n=1,2,3,...,}$

${\displaystyle {\begin{aligned}a(N)={}&-2q+2q^{1/2}N-{\frac {1}{2^{3}}}(N^{2}+1)-{\frac {1}{2^{7}q^{1/2}}}N(N^{2}+3)-{\frac {1}{2^{12}q}}(5N^{4}+34N^{2}+9)\\&-{\frac {1}{2^{17}q^{3/2}}}N(33N^{4}+410N^{2}+405)-{\frac {1}{2^{20}q^{2}}}(63N^{6}+1260N^{4}+2943N^{2}+41807)+{\mathcal {O}}(q^{-5/2})\end{aligned}}}$

Обратите внимание на симметрию здесь при замене и на и , что является существенной особенностью разложения. Члены этого разложения были получены явно вплоть до члена порядка . ^[35] Здесь только приблизительно нечетное целое число, поскольку в пределе все минимальные сегменты периодического потенциала становятся фактически независимыми гармоническими осцилляторами (следовательно, нечетное целое число). При уменьшении становится возможным туннелирование через барьеры (на физическом языке), что приводит к расщеплению характеристических чисел (в квантовой механике называемых собственными значениями), соответствующих четным и нечетным периодическим функциям Матье. Это расщепление получается с помощью граничных условий ^[35] (в квантовой механике это обеспечивает расщепление собственных значений на энергетические зоны). ^[36] Граничные условия таковы: ${\displaystyle q^{1/2}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle -q^{1/2}}$ ${\displaystyle -N}$ ${\displaystyle |q|^{-7/2}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle q\to \infty }$ ${\displaystyle \cos 2x}$ ${\displaystyle N_{0}}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle a\to a_{\mp }}$

${\displaystyle \left({\frac {dce_{N_{0}-1}}{dx}}\right)_{\pi /2}=0,\;\;ce_{N_{0}}(\pi /2)=0,\;\;\left({\frac {dse_{N_{0}}}{dx}}\right)_{\pi /2}=0,\;\;se_{N_{0}+1}(\pi /2)=0.}$

Налагая эти граничные условия на асимптотические периодические функции Матье, связанные с приведенным выше разложением, получаем ${\displaystyle a}$

${\displaystyle N-N_{0}=\mp 2\left({\frac {2}{\pi }}\right)^{1/2}{\frac {(16q^{1/2})^{N_{0}/2}e^{-4q^{1/2}}}{[{\frac {1}{2}}(N_{0}-1)]!}}\left[1-{\frac {3(N_{0}^{2}+1)}{2^{6}q^{1/2}}}+{\frac {1}{2^{13}q}}(9N_{0}^{4}-40N_{0}^{3}+18N_{0}^{2}-136N_{0}+9)+\dots \right].}$

Соответствующие характеристические числа или собственные значения затем следуют путем разложения, т.е.

${\displaystyle a(N)=a(N_{0})+(N-N_{0})\left({\frac {\partial a}{\partial N}}\right)_{N_{0}}+\cdots .}$

Вставка соответствующих выражений выше дает результат

${\displaystyle {\begin{aligned}a(N)\to a_{\mp }(N_{0})={}&-2q+2q^{1/2}N_{0}-{\frac {1}{2^{3}}}(N_{0}^{2}+1)-{\frac {1}{2^{7}q^{1/2}}}N_{0}(N_{0}^{2}+3)-{\frac {1}{2^{12}q}}(5N_{0}^{4}+34N_{0}^{2}+9)-\cdots \\&\mp {\frac {(16q^{1/2})^{N_{0}/2+1}e^{-4q^{1/2}}}{(8\pi )^{1/2}[{\frac {1}{2}}(N_{0}-1)]!}}{\bigg [}1-{\frac {N_{0}}{2^{6}q^{1/2}}}(3N_{0}^{2}+8N_{0}+3)+\cdots {\bigg ]}.\end{aligned}}}$

Для них есть собственные значения, связанные с четными собственными функциями Матье или (т.е. с верхним знаком минус) и нечетными собственными функциями Матье или (т.е. с нижним знаком плюс). Явные и нормализованные разложения собственных функций можно найти в ^[35] или. ^[36] ${\displaystyle N_{0}=1,3,5,\dots }$ ${\displaystyle ce_{N_{0}}}$ ${\displaystyle ce_{N_{0}-1}}$ ${\displaystyle se_{N_{0}+1}}$ ${\displaystyle se_{N_{0}}}$

Аналогичные асимптотические разложения можно получить для решений других периодических дифференциальных уравнений, например, для функций Ламе и вытянутых и сжатых сфероидальных волновых функций .

Приложения

Дифференциальные уравнения Матье появляются в широком диапазоне контекстов в инженерии, физике и прикладной математике. Многие из этих приложений попадают в одну из двух общих категорий: 1) анализ частных дифференциальных уравнений в эллиптической геометрии и 2) динамические задачи, которые включают силы, периодические либо в пространстве, либо во времени. Примеры в пределах обеих категорий обсуждаются ниже.

Уравнения с частными производными

Функции Матье возникают, когда разделение переменных в эллиптических координатах применяется к 1) уравнению Лапласа в 3 измерениях и 2) уравнению Гельмгольца в 2 или 3 измерениях. Поскольку уравнение Гельмгольца является прототипическим уравнением для моделирования пространственного изменения классических волн, функции Матье могут использоваться для описания различных волновых явлений. Например, в вычислительной электродинамике их можно использовать для анализа рассеяния электромагнитных волн на эллиптических цилиндрах и распространения волн в эллиптических волноводах . ^[37] В общей теории относительности точное решение уравнения поля Эйнштейна в виде плоской волны может быть дано в терминах функций Матье.

Совсем недавно функции Матье были использованы для решения особого случая уравнения Смолуховского , описывающего статистику стационарного состояния самодвижущихся частиц . ^[38]

Оставшаяся часть этого раздела посвящена анализу двумерного уравнения Гельмгольца. ^[39] В прямоугольных координатах уравнение Гельмгольца имеет вид

${\displaystyle \left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}\right)\psi +k^{2}\psi =0,}$

Эллиптические координаты определяются как

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=c\cosh \mu \cos \nu \\y&=c\sinh \mu \sin \nu \end{aligned}}}$

где , , а — положительная константа. Уравнение Гельмгольца в этих координатах имеет вид ${\displaystyle 0\leq \mu <\infty }$ ${\displaystyle 0\leq \nu <2\pi }$ ${\displaystyle c}$

${\displaystyle {\frac {1}{c^{2}(\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu )}}\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial \mu ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial \nu ^{2}}}\right)\psi +k^{2}\psi =0}$

Постоянные кривые представляют собой конфокальные эллипсы с фокусным расстоянием ; следовательно, эти координаты удобны для решения уравнения Гельмгольца на областях с эллиптическими границами. Разделение переменных с помощью дает уравнения Матье ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \psi (\mu ,\nu )=F(\mu )G(\nu )}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {d^{2}F}{d\mu ^{2}}}-\left(a-{\frac {c^{2}k^{2}}{2}}\cosh 2\mu \right)F=0\\&{\frac {d^{2}G}{d\nu ^{2}}}+\left(a-{\frac {c^{2}k^{2}}{2}}\cos 2\nu \right)G=0\\\end{aligned}}}$

где - константа разделения. ${\displaystyle a}$

В качестве конкретного физического примера уравнение Гельмгольца можно интерпретировать как описание нормальных мод упругой мембраны при равномерном натяжении . В этом случае налагаются следующие физические условия: ^[40]

• Периодичность по отношению к , т.е. ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \psi (\mu ,\nu )=\psi (\mu ,\nu +2\pi )}$
• Непрерывность смещения через межфокусную линию: ${\displaystyle \psi (0,\nu )=\psi (0,-\nu )}$
• Непрерывность производной через межфокусную линию: ${\displaystyle \psi _{\mu }(0,\nu )=-\psi _{\mu }(0,-\nu )}$

Для заданного это ограничивает решения до решений вида и , где . Это то же самое, что и ограничение допустимых значений , для заданного . Ограничения на тогда возникают из-за наложения физических условий на некоторую ограничивающую поверхность, такую ​​как эллиптическая граница, определяемая . Например, зажим мембраны в накладывает , что в свою очередь требует ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle {\text{Ce}}_{n}(\mu ,q){\text{ce}}_{n}(\nu ,q)}$ ${\displaystyle {\text{Se}}_{n}(\mu ,q){\text{se}}_{n}(\nu ,q)}$ ${\displaystyle q=c^{2}k^{2}/4}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \mu =\mu _{0}>0}$ ${\displaystyle \mu =\mu _{0}}$ ${\displaystyle \psi (\mu _{0},\nu )=0}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{Ce}}_{n}(\mu _{0},q)=0\\{\text{Se}}_{n}(\mu _{0},q)=0\end{aligned}}}$

Эти условия определяют нормальные режимы работы системы.

Динамические проблемы

В динамических задачах с периодически меняющимися силами уравнение движения иногда принимает форму уравнения Матье. В таких случаях знание общих свойств уравнения Матье — особенно в отношении устойчивости решений — может быть существенным для понимания качественных особенностей физической динамики. ^[41] Классическим примером в этом направлении является перевернутый маятник . ^[42] Другие примеры:

• колебания струны с периодически изменяющимся натяжением ^[41]
• устойчивость железнодорожных рельсов при движении по ним поездов
• сезонно-вынужденная динамика населения
• явление параметрического резонанса в вынужденных осцилляторах
• движение ионов в квадрупольной ионной ловушке ^[43]
• эффект Штарка для вращающегося электрического диполя
• теория Флоке устойчивости предельных циклов

Квантовая механика

Функции Матье играют роль в некоторых квантово-механических системах, особенно в системах с пространственно-периодическими потенциалами, таких как квантовый маятник и кристаллические решетки .

Модифицированное уравнение Матье также возникает при описании квантовой механики сингулярных потенциалов. Для частного сингулярного потенциала радиальное уравнение Шредингера ${\displaystyle V(r)=g^{2}/r^{4}}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dr^{2}}}+\left[k^{2}-{\frac {\ell (\ell +1)}{r^{2}}}-{\frac {g^{2}}{r^{4}}}\right]y=0}$

можно преобразовать в уравнение

${\displaystyle {\frac {d^{2}\varphi }{dz^{2}}}+\left[2h^{2}\cosh 2z-\left(\ell +{\frac {1}{2}}\right)^{2}\right]\varphi =0.}$

Преобразование достигается с помощью следующих замен

${\displaystyle y=r^{1/2}\varphi ,r=\gamma e^{z},\gamma ={\frac {ig}{h}},h^{2}=ikg,h=e^{I\pi /4}(kg)^{1/2}.}$

Решая уравнение Шредингера (для этого конкретного потенциала) в терминах решений модифицированного уравнения Матье, можно получить рассеивающие свойства, такие как S-матрица и поглощательная способность . ^[44]

Смотрите также

• Почти оператор Матье
• Функция Бесселя
• Дифференциальное уравнение Хилла
• Перевернутый маятник
• Функция Ламе
• Список математических функций
• Монохроматическая электромагнитная плоская волна

Примечания

1. Матье (1868).
2. Морзе и Фешбах (1953).
3. Бримакомб, Корлесс и Замир (2021)
4. Gutiérrez-Vega (2015).
5. Арскотт (1964), глава III
6. Арскотт (1964) 43–44
7. McLachlan (1947), глава II.
8. Арскотт (1964); Иянага (1980); Градштейн (2007); Это также нормализация, используемая системой компьютерной алгебры Maple .
9. Бутиков, Евгений И. (апрель 2018 г.). «Аналитические выражения для областей устойчивости в диаграмме Айнса–Стретта уравнения Матье». American Journal of Physics . 86 (4): 257–267. Bibcode :2018AmJPh..86..257B. doi : 10.1119/1.5021895 . ISSN  0002-9505.
10. Арскотт (1964), стр. 29.
11. В общем случае неверно, что периодическая функция обладает свойством . Однако это оказывается верным для функций, являющихся решениями уравнения Матье. ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle y(x+\pi )=-y(x)}$
12. Маклахлан (1951), стр. 141-157, 372
13. Арскотт (1964), стр. 34
14. Маклахлан (1947), стр. 144
15. Маклахлан (1947), стр. 372
16. Маклахлан (1947), стр. 28
17. Wimp (1984), стр. 83-84
18. Маклахлан (1947)
19. Хаос-Кадор и Лей-Ку (2001)
20. Temme (2015), стр. 234
21. Мюллер-Кирстен (2012), стр. 420-428.
22. Мейкснер и Шефке (1954); Маклахлан (1947)
23. Malits (2010)
24. Цзинь и Чжан (1996)
25. Ван Бюрен и Буасверт (2007)
26. Бибби и Петерсон (2013)
27. Мейкснер и Шефке (1954), стр.134
28. Маклахлан (1947), стр. 234–235.
29. Градштейн (2007), стр. 953
30. Арскотт (1964), стр. 40-41
31. Градштейн (2007), стр. 763–765
32. Арскотт (1964), стр. 86
33. Маклахлан (1947), глава XI
34. Маклахлан (1947), стр. 237; Дингл и Мюллер (1962); Мюллер (1962); Дингл и Мюллер (1964)
35. Дингл и Мюллер (1962)
36. Мюллер-Кирстен (2012)
37. Бибби и Петерсон (2013); Баракат (1963); Себак и Шафаи (1991); Кречмар (1970)
38. Солон и др. (2015)
39. см. Виллацен и Вун (2011), стр. 61–65
40. Маклахлан (1947), стр. 294–297.
41. Мейкснер и Шефке (1954), стр. 324–343.
42. Руби (1996)
43. Март (1997)
44. Мюллер-Кирстен (2006)

Ссылки

• Арскотт, Феликс (1964). Периодические дифференциальные уравнения: введение в Матье, Ламе и родственные функции. Pergamon Press. ISBN 9781483164885.
• Баракат, Р. (1963), «Дифракция плоских волн на эллиптическом цилиндре», Журнал акустического общества Америки , 35 (12): 1990–1996, Bibcode : 1963ASAJ...35.1990B, doi : 10.1121/1.1918878
• Бибби, Малкольм М.; Петерсон, Эндрю Ф. (2014). Точное вычисление функций Матье . Морган и Клейпул. doi :10.2200/S00526ED1V01Y201307CEM032. ISBN 9781627050852. S2CID  28354918.
• Хаос-Кадор, Л.; Лей-Ку, Э. (2002), «Возврат к функциям Матье: матричная оценка и производящие функции», Revista mexicana de física , 48 (1): 67–75
• Дингл, Роберт Б.; Мюллер, Харальд Дж. В. (1964). «Форма коэффициентов последних членов асимптотических разложений характеристических чисел функций Матье и сфероидальных волн». Журнал королевской и теневой математики . 216 : 123–133. ISSN  0075-4102.
• Градштейн, Израиль Соломонович ; и др. (февраль 2007 г.). Джеффри, Алан; Цвиллингер, Дэниел (ред.). Таблица интегралов, рядов и произведений . Перевод Scripta Technica, Inc. (7-е изд.). Academic Press, Inc. ISBN 978-0-12-373637-6. МР  2360010.
• Гутьеррес-Вега, Хулио К. (2015), «Функции Матье», в книге Николаса Дж. Хайэма и др. (ред.), The Princeton Companion to Applied Mathematics , Princeton University Press, стр. 159–160
• Iyanaga, Shōkichi; Kawada, Yukiyosi, ред. (1980) [1977]. Энциклопедический словарь математики, том I. Перевод со 2-го японского издания, мягкая обложка издания 1977 года (1-е изд.). MIT Press . ISBN 978-0-262-59010-5. МР  0591028.
• Jin, JM; Zhang, Shan Jjie (1996). Вычисление специальных функций . Нью-Йорк: Wiley. ISBN 9780471119630.
• Кретцшмар, Дж. Г. (1970), «Распространение волн в полых проводящих эллиптических волноводах», Труды IEEE по теории и технике микроволн , 18 (9): 547–554, Bibcode : 1970ITMTT..18..547K, doi : 10.1109/TMTT.1970.1127288
• Malits, Pinchas (2010), «Соотношения между функциями Матье первого и второго рода», Интегральные преобразования и специальные функции , 21 (6): 423–436, doi :10.1080/10652460903360499, S2CID  122033386
• Март, Рэймонд Э. (апрель 1997 г.). «Введение в масс-спектрометрию с квадрупольной ионной ловушкой». Журнал масс-спектрометрии . 32 (4): 351–369. Bibcode :1997JMSp...32..351M. doi : 10.1002/(SICI)1096-9888(199704)32:4<351::AID-JMS512>3.0.CO;2-Y . S2CID  16506573.
• Матье, Э. (1868), «Mémoire sur Le Mouvement Vibratoire d'une Membrane de forme Elliptique», Journal de Mathématiques Pures et Appliquées : 137–203.
• Маклахлан, Н. У. (1951). Теория и применение функций Матье . Oxford University Press. Примечание: Перепечатано литографическим способом в Великобритании в University Press, Oxford, 1951 г. с исправленных листов первого издания (1947 г.).
• Мейкснер, Йозеф; Шефке, Фридрих Вильгельм (1954). Mathieusche Funktionen und Sphäroidfunktionen (на немецком языке). Берлин: Springer-Verlag. дои : 10.1007/978-3-662-00941-3. ISBN 978-3-540-01806-3.
• Морзе, Филип МакКорд; Фешбах, Герман (1953-01-01). Методы теоретической физики: Ч. 1 (Переиздание). Бостон, Массачусетс: McGraw-Hill Inc., США. ISBN 9780070433168.
• Мюллер-Кирстен, Харальд Дж. В. (2012). Введение в квантовую механику: уравнение Шредингера и интеграл по траектории (2-е изд.). World Scientific. ISBN 978-981-4397--73-5.
• Дингл, РБ; Мюллер, HJW (1962). «Асимптотические разложения функций Матье и их характеристические числа». Журнал для королевы и математики . 1962 (211): 11–32. дои : 10.1515/crll.1962.211.11. ISSN  0075-4102. S2CID  117516747.
• Мюллер, HJW (1962). «Об асимптотических разложениях функций Матье». Журнал для королевы и математики . 1962 (211): 179–190. дои : 10.1515/crll.1962.211.179. ISSN  0075-4102. S2CID  118909645.
• Себак, А.; Шафай, Л. (1991), «Обобщенные решения для электромагнитного рассеяния эллиптическими структурами», Computer Physics Communications , 68 (1–3): 315–330, Bibcode : 1991CoPhC..68..315S, doi : 10.1016/0010-4655(91)90206-Z
• Solon, AP; Cates, ME; Tailleur, J. (2015), «Активные броуновские частицы и частицы, движущиеся и падающие: сравнительное исследование», The European Physical Journal Special Topics , 224 (7): 1231–1262, arXiv : 1504.07391 , Bibcode : 2015EPJST.224.1231S, doi : 10.1140/epjst/e2015-02457-0, S2CID  53057662
• Темме, Нико М. (2015), «Специальные функции», в книге Николаса Дж. Хайэма и др. (ред.), The Princeton Companion to Applied Mathematics , Princeton University Press, стр. 234
• Van Buren, Arnie L.; Boisvert, Jeffrey E. (2007). «Точное вычисление модифицированных функций Матье целого порядка». Quarterly of Applied Mathematics . 65 (1): 1–23. doi : 10.1090/S0033-569X-07-01039-5 . ISSN  0033-569X.
• Лью Ян Вун LC, Виллацен М (2011). Разделимые краевые задачи в физике . Wiley-VCH. doi :10.1002/9783527634927. ISBN 978-3-527-41020-0.(бесплатный онлайн-доступ к приложению о функциях Матье)
• Wimp, Jet (1984). Вычисления с рекуррентными соотношениями . Pitman Publishing. стр. 83–84. ISBN 0-273-08508-5.
• Вольф, Г. (2010), «Функции Матье и уравнение Хилла», в Олвер, Фрэнк В.Дж .; Лозье, Дэниел М.; Бойсверт, Рональд Ф.; Кларк, Чарльз В. (ред.), Справочник по математическим функциям NIST , Издательство Кембриджского университета, ISBN 978-0-521-19225-5, г-н  2723248.
• Brimacombe, Chris; Corless, Robert M.; Zamir, Mair (2021). «Вычисление и применение функций Матье: историческая перспектива». SIAM Review . 63 (4): 653–720. arXiv : 2008.01812 . doi : 10.1137/20M135786X . ISSN  0036-1445. S2CID  220969117.

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Функция Матье». Математический мир .
• Список уравнений и тождеств для функций Матье functions.wolfram.com
• «Функции Матье», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Тимоти Джонс, Уравнения Матье и идеальная ловушка РФ-Поля (2006)
• Уравнение Матье , EqWorld
• Цифровая библиотека математических функций NIST: функции Матье и уравнение Хилла