Состояние продукта матрицы

Графическое обозначение Пенроуза (обозначение тензорной диаграммы) состояния матричного произведения пяти частиц.

Состояние продукта матрицы ( MPS ) — это квантовое состояние множества частиц (в N узлах), записанное в следующей форме:

${\displaystyle |\Psi \rangle =\sum _{\{s\}}\operatorname {Tr} \left[A_{1}^{(s_{1})}A_{2}^{(s_{2})}\cdots A_{N}^{(s_{N})}\right]|s_{1}s_{2}\ldots s_{N}\rangle ,}$

где – комплексные квадратные матрицы порядка (эта размерность называется локальной размерностью). Индексы охватывают состояния вычислительной базы. Для кубитов это так . Для кудитов (систем уровня d) это . ${\displaystyle A_{i}^{(s_{i})}}$ ${\displaystyle \chi }$ ${\displaystyle s_{i}}$ ${\displaystyle s_{i}\in \{0,1\}}$ ${\displaystyle s_{i}\in \{0,1,\ldots ,d-1\}}$

Это особенно полезно для работы с основными состояниями одномерных квантовых спиновых моделей (например, модель Гейзенберга (квантовая) ). Параметр связан с запутанностью между частицами. В частности, если состояние является состоянием-продуктом (т.е. вообще не запутано), его можно описать как состояние матричного продукта с . ${\displaystyle \chi }$ ${\displaystyle \chi =1}$

Для состояний, которые трансляционно-симметричны, мы можем выбрать:

${\displaystyle A_{1}^{(s)}=A_{2}^{(s)}=\cdots =A_{N}^{(s)}\equiv A^{(s)}.}$

В общем случае любое состояние можно записать в форме МПС (с экспоненциальным ростом числа частиц N ). Однако МПС практичны, когда они малы – например, не зависят от числа частиц. За исключением небольшого числа конкретных случаев (некоторые из которых упомянуты в разделе «Примеры»), такое невозможно, хотя во многих случаях оно служит хорошим приближением. ${\displaystyle \chi }$ ${\displaystyle \chi }$

Разложение MPS не уникально. Введение см. в ^[1] и. ^[2] В контексте конечных автоматов см. ^[3] Акцент на графическом обосновании тензорных сетей см. во введении. ^[4]

Получение МПС

Один из способов получить MPS-представление квантового состояния — использовать разложение Шмидта N - 1 раз. В качестве альтернативы, если известна квантовая схема , которая подготавливает состояние многих тел, можно сначала попытаться получить представление схемы в виде оператора матричного произведения. Локальными тензорами в операторе матричного произведения будут четыре индексных тензора. Локальный тензор MPS получается путем сжатия одного физического индекса локального тензора MPO с состоянием, которое вводится в квантовую схему в этом месте.

Примеры

Состояние Гринбергера-Хорна-Цайлингера

Состояние Гринбергера-Хорна-Цайлингера , которое для N частиц можно записать как суперпозицию N нулей и N единиц .

${\displaystyle |\mathrm {GHZ} \rangle ={\frac {|0\rangle ^{\otimes N}+|1\rangle ^{\otimes N}}{\sqrt {2}}}}$

может быть выражено как состояние матричного продукта с точностью до нормализации, с

${\displaystyle A^{(0)}={\begin{bmatrix}1&0\\0&0\end{bmatrix}}\quad A^{(1)}={\begin{bmatrix}0&0\\0&1\end{bmatrix}},}$

или, что то же самое, используя обозначения из: ^[3]

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}|0\rangle &0\\0&|1\rangle \end{bmatrix}}.}$

В этой записи используются матрицы, элементы которых являются векторами состояния (вместо комплексных чисел), а при умножении матриц используется тензорное произведение для их записей (вместо произведения двух комплексных чисел). Такая матрица строится как

${\displaystyle A\equiv |0\rangle A^{(0)}+|1\rangle A^{(1)}+\ldots +|d-1\rangle A^{(d-1)}.}$

Обратите внимание, что тензорное произведение не является коммутативным .

В этом конкретном примере произведение двух матриц A равно:

${\displaystyle AA={\begin{bmatrix}|00\rangle &0\\0&|11\rangle \end{bmatrix}}.}$

штат W

W состояние , т. е. суперпозиция всех вычислительных базисных состояний веса Хэмминга один.

${\displaystyle |\mathrm {W} \rangle ={\frac {1}{\sqrt {3}}}(|001\rangle +|010\rangle +|100\rangle )}$

Несмотря на то, что состояние является симметричным по перестановкам, его простейшее представление MPS таковым не является. ^[1] Например:

${\displaystyle A_{1}={\begin{bmatrix}|0\rangle &0\\|0\rangle &|1\rangle \end{bmatrix}}\quad A_{2}={\begin{bmatrix}|0\rangle &|1\rangle \\0&|0\rangle \end{bmatrix}}\quad A_{3}={\begin{bmatrix}|1\rangle &0\\0&|0\rangle \end{bmatrix}}.}$

Модель АКЛТ

Волновая функция основного состояния AKLT, которая является историческим примером подхода MPS:, ^[5] соответствует выбору ^[6]

${\displaystyle A^{+}={\sqrt {\frac {2}{3}}}\ \sigma ^{+}={\begin{bmatrix}0&{\sqrt {2/3}}\\0&0\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle A^{0}={\frac {-1}{\sqrt {3}}}\ \sigma ^{z}={\begin{bmatrix}-1/{\sqrt {3}}&0\\0&1/{\sqrt {3}}\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle A^{-}=-{\sqrt {\frac {2}{3}}}\ \sigma ^{-}={\begin{bmatrix}0&0\\-{\sqrt {2/3}}&0\end{bmatrix}}}$

где – матрицы Паули , или ${\displaystyle \sigma {\text{'s}}}$

${\displaystyle A={\frac {1}{\sqrt {3}}}{\begin{bmatrix}-|0\rangle &{\sqrt {2}}|+\rangle \\-{\sqrt {2}}|-\rangle &|0\rangle \end{bmatrix}}.}$

Модель Маджумдара – Гоша

Основное состояние Маджумдара – Гоша можно записать как MPS с

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}0&\left|\uparrow \right\rangle &\left|\downarrow \right\rangle \\{\frac {-1}{\sqrt {2}}}\left|\downarrow \right\rangle &0&0\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}\left|\uparrow \right\rangle &0&0\end{bmatrix}}.}$

Смотрите также

• Группа ренормализации матрицы плотности
• Вариационный метод (квантовая механика)
• Перенормировка
• Цепь Маркова
• Тензорная сеть

Рекомендации

1. Перес-Гарсия, Д.; Верстраете, Ф.; Вольф, ММ (2008). «Представления состояния матричного продукта». Квантовая инф. Вычислить . 7 : 401. arXiv : quant-ph/0608197 .
2. Верстраете, Ф.; Мург, В.; Сирак, Дж.И. (2008). «Состояния произведения матриц, прогнозируемые состояния запутанных пар и методы вариационной ренормгруппы для квантовых спиновых систем». Достижения физики . 57 (2): 143–224. arXiv : 0907.2796 . Бибкод : 2008AdPhy..57..143В. дои : 10.1080/14789940801912366. S2CID  17208624.
3. Кроссуайт, Грегори; Бэкон, Дэйв (2008). «Конечные автоматы для кэширования в алгоритмах матричного произведения». Физический обзор А. 78 (1): 012356. arXiv : 0708.1221 . Бибкод : 2008PhRvA..78a2356C. doi : 10.1103/PhysRevA.78.012356. S2CID  4879564.
4. Биамонте, Джейкоб; Бергхольм, Вилле (2017). «Тензорные сети в двух словах». arXiv : 1708.00006 [квант-ph].
5. Аффлек, Ян; Кеннеди, Том; Либ, Эллиот Х.; Тасаки, Хэл (1987). «Строгие результаты по основным состояниям валентной связи в антиферромагнетиках». Письма о физических отзывах . 59 (7): 799–802. Бибкод : 1987PhRvL..59..799A. doi : 10.1103/PhysRevLett.59.799. ПМИД  10035874.
6. Шольвёк, Ульрих (2011). «Ренормгруппа матрицы плотности в эпоху состояний матричного произведения». Анналы физики . 326 (1): 96–192. arXiv : 1008.3477 . Бибкод : 2011АнФиз.326...96С. дои : 10.1016/j.aop.2010.09.012. S2CID  118735367.

Внешние ссылки

• Обзорная статья с открытым исходным кодом, посвященная алгоритмам, приложениям и программному обеспечению тензорных сетей.
• Состояние матричного продукта
• Практическое введение в тензорные сети: состояния матричного продукта и прогнозируемые состояния запутанной пары
• Размахивание руками и интерпретирующий танец: вводный курс по тензорным сетям
• Тензорные сети в двух словах: введение в тензорные сети