Тензор напряжений Максвелла

Математическое описание в электромагнетизме

Тензор напряжений Максвелла (названный в честь Джеймса Клерка Максвелла ) — это симметричный тензор второго порядка в трех измерениях, который используется в классическом электромагнетизме для представления взаимодействия между электромагнитными силами и механическим импульсом . В простых ситуациях, таких как точечный заряд, свободно движущийся в однородном магнитном поле, легко вычислить силы, действующие на заряд, из закона силы Лоренца . Когда ситуация становится более сложной, эта обычная процедура может стать непрактично сложной, поскольку уравнения охватывают несколько строк. Поэтому удобно собрать многие из этих членов в тензоре напряжений Максвелла и использовать тензорную арифметику для поиска ответа на поставленную задачу.

В релятивистской формулировке электромагнетизма девять компонентов тензора напряжений Максвелла появляются, отрицаясь, как компоненты электромагнитного тензора напряжений-энергий , который является электромагнитным компонентом полного тензора напряжений-энергий . Последний описывает плотность и поток энергии и импульса в пространстве-времени .

Мотивация

Как указано ниже, электромагнитная сила записывается в терминах и . Используя векторное исчисление и уравнения Максвелла , симметрия ищется в терминах, содержащих и , а введение тензора напряжений Максвелла упрощает результат. ${\displaystyle \mathbf {E} }$ ${\displaystyle \mathbf {B} }$ ${\displaystyle \mathbf {E} }$ ${\displaystyle \mathbf {B} }$

1. Начиная с закона силы Лоренца

   $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {F} &=q(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} )\\[3pt]&=\int (\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} )\rho \mathrm {d} \tau \end{aligned}}}$$сила на единицу объема равна

   $${\displaystyle \mathbf {f} =\rho \mathbf {E} +\mathbf {J} \times \mathbf {B} }$$
2. Далее, и можно заменить полями и , используя закон Гаусса и закон Ампера : ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \mathbf {J} }$ ${\displaystyle \mathbf {E} }$ ${\displaystyle \mathbf {B} }$ $${\displaystyle \mathbf {f} =\varepsilon _{0}\left({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {E} \right)\mathbf {E} +{\frac {1}{\mu _{0}}}\left({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {B} \right)\times \mathbf {B} -\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\times \mathbf {B} }$$
3. Производную по времени можно переписать в нечто, что можно интерпретировать физически, а именно в вектор Пойнтинга . Используя правило произведения и закон индукции Фарадея , получаем и теперь мы можем переписать как тогда, собрав члены с и получаем $${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}(\mathbf {E} \times \mathbf {B} )={\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\times \mathbf {B} +\mathbf {E} \times {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}={\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\times \mathbf {B} -\mathbf {E} \times ({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {E} )}$$ ${\displaystyle \mathbf {f} }$ $${\displaystyle \mathbf {f} =\varepsilon _{0}\left({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {E} \right)\mathbf {E} +{\frac {1}{\mu _{0}}}\left({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {B} \right)\times \mathbf {B} -\varepsilon _{0}{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\mathbf {E} \times \mathbf {B} \right)-\varepsilon _{0}\mathbf {E} \times ({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {E} ),}$$ ${\displaystyle \mathbf {E} }$ ${\displaystyle \mathbf {B} }$ $${\displaystyle \mathbf {f} =\varepsilon _{0}\left[({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {E} )\mathbf {E} -\mathbf {E} \times ({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {E} )\right]+{\frac {1}{\mu _{0}}}\left[-\mathbf {B} \times \left({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {B} \right)\right]-\varepsilon _{0}{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\mathbf {E} \times \mathbf {B} \right).}$$
4. Кажется, что в симметрии и «отсутствует» один член , что может быть достигнуто путем вставки из-за закона Гаусса для магнетизма : Исключая завитки (которые довольно сложно вычислить), использование тождества векторного исчисления приводит к: ${\displaystyle \mathbf {E} }$ ${\displaystyle \mathbf {B} }$ ${\displaystyle \left({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {B} \right)\mathbf {B} }$ $${\displaystyle \mathbf {f} =\varepsilon _{0}\left[({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {E} )\mathbf {E} -\mathbf {E} \times ({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {E} )\right]+{\frac {1}{\mu _{0}}}\left[({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {B} )\mathbf {B} -\mathbf {B} \times \left({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {B} \right)\right]-\varepsilon _{0}{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\mathbf {E} \times \mathbf {B} \right).}$$ $${\displaystyle {\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\nabla }}(\mathbf {A} \cdot \mathbf {A} )=\mathbf {A} \times ({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {A} )+(\mathbf {A} \cdot {\boldsymbol {\nabla }})\mathbf {A} ,}$$ $${\displaystyle \mathbf {f} =\varepsilon _{0}\left[({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {E} )\mathbf {E} +(\mathbf {E} \cdot {\boldsymbol {\nabla }})\mathbf {E} \right]+{\frac {1}{\mu _{0}}}\left[({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {B} )\mathbf {B} +(\mathbf {B} \cdot {\boldsymbol {\nabla }})\mathbf {B} \right]-{\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\nabla }}\left(\varepsilon _{0}E^{2}+{\frac {1}{\mu _{0}}}B^{2}\right)-\varepsilon _{0}{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\mathbf {E} \times \mathbf {B} \right).}$$
5. Это выражение содержит все аспекты электромагнетизма и импульса и его относительно легко вычислить. Его можно записать более компактно, введя тензор напряжений Максвелла , Все, кроме последнего члена, можно записать как тензорную дивергенцию тензора напряжений Максвелла, что дает: Как и в теореме Пойнтинга , второй член в правой части приведенного выше уравнения можно интерпретировать как производную по времени плотности импульса электромагнитного поля, тогда как первый член является производной по времени плотности импульса для массивных частиц. Таким образом, приведенное выше уравнение будет законом сохранения импульса в классической электродинамике; где был введен вектор Пойнтинга $${\displaystyle \sigma _{ij}\equiv \varepsilon _{0}\left(E_{i}E_{j}-{\frac {1}{2}}\delta _{ij}E^{2}\right)+{\frac {1}{\mu _{0}}}\left(B_{i}B_{j}-{\frac {1}{2}}\delta _{ij}B^{2}\right).}$$ ${\displaystyle \mathbf {f} }$ $${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}=\mathbf {f} +\varepsilon _{0}\mu _{0}{\frac {\partial \mathbf {S} }{\partial t}}\,,}$$ $${\displaystyle \mathbf {S} ={\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {E} \times \mathbf {B} .}$$

В приведенном выше соотношении для сохранения импульса есть плотность потока импульса и играет роль, аналогичную теореме Пойнтинга . ${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}}$ ${\displaystyle \mathbf {S} }$

Вышеприведенный вывод предполагает полное знание обоих и (как свободных, так и связанных зарядов и токов). Для случая нелинейных материалов (таких как магнитное железо с BH-кривой) необходимо использовать нелинейный тензор напряжений Максвелла. ^[1] ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \mathbf {J} }$

Уравнение

В физике тензор напряжений Максвелла — это тензор напряжений электромагнитного поля . Как выведено выше, он определяется как:

${\displaystyle \sigma _{ij}=\epsilon _{0}E_{i}E_{j}+{\frac {1}{\mu _{0}}}B_{i}B_{j}-{\frac {1}{2}}\left(\epsilon _{0}E^{2}+{\frac {1}{\mu _{0}}}B^{2}\right)\delta _{ij}}$,

где — электрическая постоянная , — магнитная постоянная , — электрическое поле , — магнитное поле , — дельта Кронекера . С гауссовыми величинами это определяется как: ${\displaystyle \epsilon _{0}}$ ${\displaystyle \mu _{0}}$ ${\displaystyle \mathbf {E} }$ ${\displaystyle \mathbf {B} }$ ${\displaystyle \delta _{ij}}$

${\displaystyle \sigma _{ij}={\frac {1}{4\pi }}\left(E_{i}E_{j}+H_{i}H_{j}-{\frac {1}{2}}\left(E^{2}+H^{2}\right)\delta _{ij}\right)}$,

где - магнитное поле . ${\displaystyle \mathbf {H} }$

Альтернативный способ выражения этого тензора:

${\displaystyle {\overset {\leftrightarrow }{\boldsymbol {\sigma }}}={\frac {1}{4\pi }}\left[\mathbf {E} \otimes \mathbf {E} +\mathbf {H} \otimes \mathbf {H} -{\frac {E^{2}+H^{2}}{2}}\mathbb {I} \right]}$

где — диадическое произведение , а последний тензор — единичная диада: ${\displaystyle \otimes }$

${\displaystyle \mathbb {I} \equiv {\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}=\left(\mathbf {\hat {x}} \otimes \mathbf {\hat {x}} +\mathbf {\hat {y}} \otimes \mathbf {\hat {y}} +\mathbf {\hat {z}} \otimes \mathbf {\hat {z}} \right)}$

Элемент тензора напряжений Максвелла имеет единицы импульса на единицу площади в единицу времени и дает поток импульса, параллельный оси th, пересекающий поверхность, нормальную к оси th (в отрицательном направлении) в единицу времени. ${\displaystyle ij}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$

Эти единицы также можно рассматривать как единицы силы на единицу площади (отрицательное давление), а элемент тензора можно также интерпретировать как силу, параллельную оси th, испытываемую поверхностью, нормальной к оси th, на единицу площади. Действительно, диагональные элементы дают натяжение (тягу), действующее на дифференциальный элемент площади, нормальный к соответствующей оси. В отличие от сил, вызванных давлением идеального газа, элемент площади в электромагнитном поле также испытывает силу в направлении, которое не является нормальным к элементу. Этот сдвиг задается недиагональными элементами тензора напряжений. ${\displaystyle ij}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$

Недавно было показано, что тензор напряжений Максвелла является действительной частью более общего комплексного тензора электромагнитных напряжений, мнимая часть которого учитывает реактивные электродинамические силы. ^[2]

В магнитостатике

Если поле только магнитное (что в значительной степени справедливо, например, для двигателей), некоторые члены отпадают, и уравнение в единицах СИ принимает вид:

${\displaystyle \sigma _{ij}={\frac {1}{\mu _{0}}}B_{i}B_{j}-{\frac {1}{2\mu _{0}}}B^{2}\delta _{ij}\,.}$

Для цилиндрических объектов, таких как ротор двигателя, это еще больше упрощается:

${\displaystyle \sigma _{rt}={\frac {1}{\mu _{0}}}B_{r}B_{t}-{\frac {1}{2\mu _{0}}}B^{2}\delta _{rt}\,.}$

где — сдвиг в радиальном направлении (наружу от цилиндра), — сдвиг в тангенциальном направлении (вокруг цилиндра). Это тангенциальная сила, которая вращает двигатель. — плотность потока в радиальном направлении, — плотность потока в тангенциальном направлении. ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle B_{r}}$ ${\displaystyle B_{t}}$

В электростатике

В электростатике эффекты магнетизма отсутствуют. В этом случае магнитное поле исчезает, т.е. , и мы получаем электростатический тензор напряжений Максвелла . Он задается в компонентной форме как ${\displaystyle \mathbf {B} =\mathbf {0} }$

${\displaystyle \sigma _{ij}=\varepsilon _{0}E_{i}E_{j}-{\frac {1}{2}}\varepsilon _{0}E^{2}\delta _{ij}}$

и в символической форме

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=\varepsilon _{0}\mathbf {E} \otimes \mathbf {E} -{\frac {1}{2}}\varepsilon _{0}(\mathbf {E} \cdot \mathbf {E} )\mathbf {I} }$

где обычно — соответствующий тензор идентичности . ${\displaystyle \mathbf {I} }$ ${\displaystyle {\big (}}$ ${\displaystyle 3\times 3{\big )}}$

Собственное значение

Собственные значения тензора напряжений Максвелла определяются по формуле:

${\displaystyle \{\lambda \}=\left\{-\left({\frac {\epsilon _{0}}{2}}E^{2}+{\frac {1}{2\mu _{0}}}B^{2}\right),~\pm {\sqrt {\left({\frac {\epsilon _{0}}{2}}E^{2}-{\frac {1}{2\mu _{0}}}B^{2}\right)^{2}+{\frac {\epsilon _{0}}{\mu _{0}}}\left({\boldsymbol {E}}\cdot {\boldsymbol {B}}\right)^{2}}}\right\}}$

Эти собственные значения получаются путем итеративного применения леммы об определителе матрицы в сочетании с формулой Шермана–Моррисона .

Отмечая, что матрица характеристического уравнения, может быть записана как ${\displaystyle {\overleftrightarrow {\boldsymbol {\sigma }}}-\lambda \mathbf {\mathbb {I} } }$

${\displaystyle {\overleftrightarrow {\boldsymbol {\sigma }}}-\lambda \mathbf {\mathbb {I} } =-\left(\lambda +V\right)\mathbf {\mathbb {I} } +\epsilon _{0}\mathbf {E} \mathbf {E} ^{\textsf {T}}+{\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {B} \mathbf {B} ^{\textsf {T}}}$

где

${\displaystyle V={\frac {1}{2}}\left(\epsilon _{0}E^{2}+{\frac {1}{\mu _{0}}}B^{2}\right)}$

мы устанавливаем

${\displaystyle \mathbf {U} =-\left(\lambda +V\right)\mathbf {\mathbb {I} } +\epsilon _{0}\mathbf {E} \mathbf {E} ^{\textsf {T}}}$

Применив лемму об определителе матрицы один раз, мы получаем

${\displaystyle \det {\left({\overleftrightarrow {\boldsymbol {\sigma }}}-\lambda \mathbf {\mathbb {I} } \right)}=\left(1+{\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {B} ^{\textsf {T}}\mathbf {U} ^{-1}\mathbf {B} \right)\det {\left(\mathbf {U} \right)}}$

Повторное применение дает:

${\displaystyle \det {\left({\overleftrightarrow {\boldsymbol {\sigma }}}-\lambda \mathbf {\mathbb {I} } \right)}=\left(1+{\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {B} ^{\textsf {T}}\mathbf {U} ^{-1}\mathbf {B} \right)\left(1-{\frac {\epsilon _{0}\mathbf {E} ^{\textsf {T}}\mathbf {E} }{\lambda +V}}\right)\left(-\lambda -V\right)^{3}}$

Из последнего множимого в правой части мы сразу видим, что это одно из собственных значений. ${\displaystyle \lambda =-V}$

Чтобы найти обратную величину , воспользуемся формулой Шермана-Моррисона: ${\displaystyle \mathbf {U} }$

${\displaystyle \mathbf {U} ^{-1}=-\left(\lambda +V\right)^{-1}-{\frac {\epsilon _{0}\mathbf {E} \mathbf {E} ^{\textsf {T}}}{\left(\lambda +V\right)^{2}-\left(\lambda +V\right)\epsilon _{0}\mathbf {E} ^{\textsf {T}}\mathbf {E} }}}$

Вынося член определителя за скобки, нам остается найти нули рациональной функции: ${\displaystyle \left(-\lambda -V\right)}$

${\displaystyle \left(-\left(\lambda +V\right)-{\frac {\epsilon _{0}\left(\mathbf {E} \cdot \mathbf {B} \right)^{2}}{\mu _{0}\left(-\left(\lambda +V\right)+\epsilon _{0}\mathbf {E} ^{\textsf {T}}\mathbf {E} \right)}}\right)\left(-\left(\lambda +V\right)+\epsilon _{0}\mathbf {E} ^{\textsf {T}}\mathbf {E} \right)}$

Таким образом, как только мы решим

${\displaystyle -\left(\lambda +V\right)\left(-\left(\lambda +V\right)+\epsilon _{0}E^{2}\right)-{\frac {\epsilon _{0}}{\mu _{0}}}\left(\mathbf {E} \cdot \mathbf {B} \right)^{2}=0}$

получаем два других собственных значения.

Смотрите также

• исчисление Риччи
• Плотность энергии электрических и магнитных полей
• Вектор Пойнтинга
• Электромагнитный тензор энергии-напряжения
• Магнитное давление
• Магнитное натяжение

Ссылки

1. Брауэр, Джон Р. (2014-01-13). Магнитные приводы и датчики. John Wiley & Sons. ISBN 9781118754979.
2. Ньето-Весперинас, Мануэль; Сюй, Сяохао (12 октября 2022 г.). «Комплексная теорема Максвелла о тензоре напряжений: мнимый тензор напряжений и реактивная сила орбитального импульса. Новый пейзаж, лежащий в основе электромагнитных оптических сил». Light: Science & Applications . 11 (1): 297. doi :10.1038/s41377-022-00979-2. PMC 9556612 . PMID  36224170. 

• Дэвид Дж. Гриффитс , «Введение в электродинамику», стр. 351–352, Benjamin Cummings Inc., 2008
• Джон Дэвид Джексон, «Классическая электродинамика, 3-е изд.», John Wiley & Sons, Inc., 1999
• Ричард Беккер, «Электромагнитные поля и взаимодействия», Dover Publications Inc., 1964